OEUVRES
DE
I ARLES HERMI
P UU LIG E S
SOUS LES AUSPICES DK L’ACADEMIE DES SCIENCE
Par fiMILE PICARD,
MK MB 1(1! DE L’lNSTIXUT.
TOME III.
AVERTISSEIENT.
publication des OEuvrcs dTlermite se poursuit da
es conditions, grace auzeledevoue de M. Henry Bo
ne continue son precieux concours, et aux soil
lauthier-Villars.
s Memoires ici reproduits vont de 1872 k 1880. C<
commence toutefois par un travail inedit Sur I'exte
eorime de Sturm a un systerne d’ equations simulta
Lt de la jeunesse d’Hermite, retrouve recemment
apiers de Liouville. On lira aussi dans ce Tome d
OEUVRES
DE
CHARLES HERMIT!
TOME III.
SUR
/EXTENSION DU THEOREME DE M. ST1
A UN SYSTEMS D’EQUATIONS SIMULTANEES (‘
Memoire inedit.
0I2UVR1
diverses valeurs que peu
lorsqu’en conservant les
naires quelconques aux
ainsi qu’en designant par
de deux equations simult
valeurs multiples de l’ir
qui me semblait devoir jo
/ F ;
dz dans la t
grand nombre d’autres qu
se rapportent aux foncti
m’amenaient encore a cet
qu’elles n’ouvrent un jour
vertes. Mais, arrete a plui
semblent bien au-dessus
jamais donne d’j faire q
principes que se rattachei
Memoire. Je dois indiqu
vertes par M. Sylvester p
dans le theoreme de M. Stu
comme m’ayant ouvert v
SUR L’EXTENSION DU THEOREJ
Le determinant de ce systeme sera
degre m, que nous representerons aii
A = Aq -f- X Ai X 2 A2 -+-. .
Comme le systeme (i) est symetr
toujours ses racines reelles; cette prof
pour la premiere fois par M. Cauchy
megaliths seculaires du mouvement
fondamentale dans ce Memoire. Mais
velle sous laquelle nous pr^sentons le
Soit A(S*) ce que devient le polyi
liquation F(a? 4-5) = o, au lieu de
de ses variations pour une valeur d
nombre des racines reelles de l’equati
prises entre deux limites quelconques
supposant > £ 0 par la difference
Les coefficients des diverses puissa
A(ij), sontainsides fonctions entieres
non identique, mais analogue a celui
M. Sturm et qui conduisent absolume
Considerons en second lieu deux &
4
OEUVRES DE CHARL1
systeme que nous reunirons de la m
(>),
(2),
( 3 ),
(2),
( 3 ),
(4 )>
( 3 ),
( 4 ),
( 5 ),
(m),
(m-M),
(m h- 2
ce qui donne un systeme a m 2 colon
sir. Cela pose, retranchons des tei
quantite X, et formons le determinai
nome en \ du degre m- que nous re
A == A o “4“ X A i —1— A ~ Aj -+-
et qui nous conduira a etendre le tl
equations simultanees.
Considerons pour cela les deux ir
cisse et l’ordonnee d’un point raj
laires, de sorle qu 5 a chaque solutior
que
X — Xi
corresponde un point determine. L J
SUR l’eXTENSION DU THEOREMS DE M. STUI
II. La demonstration des theoremes que nous
oer repose, dans le cas des equations a une inconi
le cas des equations simultanees, sur Fexpression
racines des deux premiers termes A 0 et A, des for
d'abord cette recherche pour les equations a un
suivant la methode propre au second cas et dont
principe avec plus de facilite.
La quantite A 0 est evidemment la valeur du p
\ = o; c’est done le determinant du systeme
s„
So,
S3,
■ • , S
So,
S3,
s*.
• • i S/^+i,
S 3 ,
Sft,
S5,
• .'1 S/^+o,
S ni)
Syn-t -1 ,
S//Z-+- 2 ? • •
■ • 1 S0//1-1
Quant a A,, il suffit d’un peu d’attention pour
e’est la somme prise en signe contraire de tous !
a m — i colonnes que fournit le systeme prec^den
abstraction d’une colonne horizontal de rang quel
S/, S i +i , . . ., S/ +m _o, et de la colonne verticale com
termes. D’apres cela, si Fon considere le system
lineaires
I Si 4 - So -^2 “+-S3-3 -I- . . . -I- S m Z /n
6
OEUVRES DE CHARL1
Cela pose, nous observerons qu
auxiliaires ^. . ., on peut r
lions (i) par les deux suivants :
f
Ci-h
?*-+-
?*
X L
?i-t-
x 1
3*3
?3
(2)
■+■
3C 2
?2"+~
X%
?3
l a?i w
i-i
/p«i-1
i+fl!
itn —
3
‘Cl
et
i
=
-
l-\-X
i
-^3
l
=
CC~i Z
L-rX
1 -So -b
2
•^3 '
(3)
i ' 3
=
&3 -
1 -f- X
3 -2-+-
1
=
x m z i + a?
2 ~ i
/v< 3
Z Z‘
comme on le voit immediatement p
des quantites De la r^sulte d’abo
elementaires de la theorie des deterr
des determinants relatifs aux equati
que le second n’est autre que le pre
x* . . . x m \ ainsi, nous avons c(
I Si s 2 s 3
SUR L’EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM.
rir a la methode suivante. Introduisant un nouveau sj
antites auxiliaires vj 0 , vj,, r l2 , . . . ,7) m _i, nous poserons
7)o H- Tr]i -4- a?? r l2 .. -4- x\ n ~ x T),^.-!
7)0-4- .r 2 7)! -f- 7)2 -+- . . .-4 X?~ X y\m~l
F'(^)
^0 3 ?3 7) 2 -f-. . .~4 x” l ~ x 7) /w _ 1
F'(^)
y l o4-^;,T) 1 + .r; ;t r )2 + .. .-4 7), n _ t
F ('Em)
) designant la derivee du premier membre de l’equatio:
: F (x) = o ; maintenant, si Ton substitue les nouyelles
7) aux quantity £ dans les equations ( 2 ), il viendra
I
^F
X^ a?
+t “2f
V 00 -
~ I ~'^ 2 Zj R 7
[
X xm ~ i
.-r-7p,
X &
X^ a? 2
“+" y ii Zj f 7
X^ a? 3
+7)s 2j f
•^1 x m
XT' .^ 2
r ‘°Zw
X^ a? 3
w
x^ a4
+ F
-4.
X x m + x
p.
Xi x nl ~
1 XT' X fn
| Ti * -
X a?"*- 4-1
—I—
X^ x 2m ~ 2
^°Zi F'
F'
r >"-2d p>
1^ • •
• - *]m~ 1 p/
OEUVRES DE CHAU
8
Jes equations (5) prendront la forr
( 6 )
et ne contiendront plus les racines
on le voit, le determinant relatif ;
m (jn -4-1)
ment (— i) - ; il est d’ailleurs <
relatifs aux systemes (a) et (4); 1
pour determinant celui du syste
P(^)F / (^)P(^)...FW;
vante que nous voulions obtenir, s
m (;«-+- 1 )
A 0 = (— i) 2
III. L’introduction des inconnu
objet de nous conduire a la valeui
la resolution des equations (i) et,
quantites A et a celle de —• J’o
tions (3) peuvent £tre mises absc
les equations (6). Multiplions-les
i i i
sun l’extension DU tiieoreme de m. STURM.
a pose, il est facile de voir que la resolution, des
(6) donne des resultats de cette forme, savoir :
—
-b to i
Z//z—1-4- tOo Z /n _2 -T-. .
,. ~b—
. . . . —b tO Z 2 —b tO ; ,
=
!-+• 10 i
Z/;i—2 “+“ tO 2 Z /n _3 -+- . .
, .-b-
. . . .-b tO ffi—* Z j,
= Z,„-
2 —H to 1
Z//I-3+ tOo Z/yj — 4 . .
• -H- &,n-
-3 Zi,
N t~J
II II
-b to i
Z.,
> quantites to etant des fonctions rationnelles et entier
ites <r, et, par suite, des coefficients de l’equation F(^r
nc on fait
Qi(ar) = x wj x m ~--\- to 2 -b.. .-b ta m ^x -b- to m _]
Qi(x) = x m ~ 2 -\- to t ir m -3-h to 2 # ,w “ 4 -b. . .-4- to /rt _ 2 ,
— x ' 2 -h b) 1 x -h to 2 ,
Q m (x) = a?-t-to,,
■ouvera, par la substitution des quantites t\ dans les
(4), les valeurs suivantes :
y (^i)Zi-b Zj -H .. .-b- Z w -i+ Z m
?1 - ’
Y _ (^ 2 ) Zi -4- (.r 2 )Z 2 -4-... -f- Q/^-i (# 2 ) L m —x •+• Z m
10
OEUVRES DE CHAR
enfin, si l’on substitue les valeurs <
trouvees, il viendra, en employant
quer une somme relative aux racine
*m—\
=2
=2
=2
=2
(x) [Q^(.x)Zi -+- Q 2 (x)Z 2
Q a (aQ [Qi(a?)Z t + Qg(aQZ a
x P
Qw-t(g) [Qi(y)Z, Q 2 (ar
x
Qj (.2?) Zi —H Q.o(x ) Zo-+-... —t
x F' 2 (3
Ce sont la les formules auxquell
resolution des equations (i) du p;
pu les obtenir par une methode pi
qu’il n’eut pas ete possible d’appl
composees avec les solutions simi
equations a deux inconnues que
elles donnent, comme on voit, sou
tites designees precedemment par j
SUR L’EXTENSION DU THEOREME DE M. STU1
les racines de l’equation transformee F(x + i) =.
point des quantites F'(# a ), etc., de sorte c
mim- 4-11
Ao(0 = (-1) 1 (* 2 - £)•. .(^i —?) X F'(^
Quant aux polynomes Q<(#), Q 2 (#), . ils
fonctions rationnelles et entieres de £; ainsi en po
il\ (x) -hQl{x)Q}^ (x) h- i = g(l
la fonction § correspondant a une racine x r<
jamais ni s’^vanouir ni changer de signe pour auc
Ces pr^liminaires poses, nous allons d^montrerqi
des diverses puissances de \ dans le polynome A(
memes propri^t^s queles fonctions qui figurent d
de M. Sturm. En premier lieu, l’equation A(£) =
toutes ses racines reelles, il suit d’une consequem
signes de Descartes, que les coefficients de deuxp
cutives de A ne pourront jamais etre supposes nuls
et que si un coefficient s’evanouit, ceux de la ]
dente et suivante de \ seront de signes contraires.
croitre £ d’une maniere continue de £ 0 a £i, des cl
le nombre des variations de A(£) ne pourront su
que ce sera le dernier lerme qui viendra a s’annu]
12
OEUVRES DE CIIAF
comprises entre ces limites; le n
bien —p^, comme nous Pavom
V. Dans la demonstration du t
pour deux equations, nous suppos
rales de leur degre, pour n avoir
ticuliers qui pourraient s’offrir e
defaut. Ces cas particuliers se trou
•evites dans une autre forme sous
tard notre theoreme, et qui, moins
plus facilement aux applications :
utile de presenter d’abord pour d
les calculs des quantites A 0 et A, ;
entier lesformules qui, en general,
abregee, et l’on en saisira tres faci
Nous avons employe, en commer
senter le systeme
SjWl ^20)7
S3k)j
S31O7 ,
SUR L’EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM.
denominateur commun de& valeurs des inconnues ^ sei
es valeurs sont representees par les formules
Z\ = A} Zj -+- Ai Z2 -+* AJ Z3A J Z 4 ,
z* “ AI Zj -+- A| Z 2 -f- A | Z3 -+- A | Z4,
- 3 3 — AJ Zj -h A| Z 2 -t- A| Z 3 -+- A| Z4,
z k = Af Z a -4- A| Z 2 - 4 - A| Z 3 -4- A l Z4,
rait, comme prec^demment,
^ =— (AJ-h A? +Af-nAf).
A 0
, en introduisant quatre inconnues auxiliaires
pourrons remplacer les Equations (8) par les suivanles
?2-i~
?3 +
?4=Z„
Xilx-r-
X~i ^2 "4“
II
-*
JK2?2 -+*
JK 3 C 3 -H
y 1 * £4 — z 3 ,
^iri?l+^2r2?2-t-^3r3?3-t-^4?l= Z 4,
Ki — ^jJKi ( z i -+- Z* —1- JK 1 -3 x iy\ z '+)i
S2 = ^'iy 2(^1 -+- %'i z i •+* y 2 z i-+- x±y-i -34),
£3 = ^3jK3 ( Si - 4 - a?3 ^2 -+- yz Z-i ■+■ ^3 yz ^4 ),
?4 = ^4JK4 (-1 *4- ^4^2 -+-yw -3 H- ^4jK4 * 4)1
OEUVRES DE CHA
14
dF d<& dF d®
dy ox dx dy’
liaires ' 0 n' r i 2 ? *^3
et introduisons
Y] \ par ces forinu
(n)
7] 1 —1~ X\ I
A<
71t-4-a7 2 T j2
r. 2 — -
Kz =
Ai
vii -h- a? 3 *r i2 -
A(
—
r (1 -+- a?4T j2 -
On trouvera, par la substitutio
se transforment ainsi :
«2i
X
_4_ r l3
V oc-
+1! 2i
-+■ ^
*2?
, v x .y
+ 1t AT
—j— 7j,
*2?
XT’ x-y
4- If);
en represen tan t pour abreger, p
SUR L’EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM
aisement pour sa valeur
dont voici l’expression en fonction des coefficients
proposees. A cet effet, soit
F (a?, y) = a x~ 2 b xy 4- cy-
y) = aa?*+ a(3-h yjr 2 -+-. . •,
les termes non ecrits etant d’un degre inferieur;
abreger,
A = —
B — a c — rty,
C = a b — a (3,
B*-4AC = G> (*)•
On trouvera par un calcul facile
< 2Lx”‘Iq’ ZiT“
done
Le cas d’exception a nos formules se pr^senterai
i 6
OEUVRES DE CHAR
On retrouve bien ici la propri
s’evanouir pour deux solutions e
exemple, = x 2 et y { — 70 , d
deviennent identiques et il s’annuL
VI. Resolvons, par rapport auxi
leurs valeurs auront la forme suiva
7), = aZi -+- pZ 2
— Ct' hi — \r Z2
7)3 = a"Zi + p Zj
7)4 = a w Zi,
et Ton pourrait meme d^montrer (
P = T = <
mais, pour abreger, nous eviteroi
legerement la marche suivie preced
pour les equations a une inconnue
^iO, 7 ) = a + cl' a
y) = P+- P'a
^#0*, 7 ) = -r + Y*
on tronvera. nar la substitution
SUR L’EXTENSION DU THEOREMS DE M. STURM.
valeurs en fonction lineaire de Z,, Z 2 , . . .; valeurs qiu
plus haut representees ainsi :
^i== A]Z 1 - 4 -A|Z 2 -HAJZ 3 -b A J Z 4 ,
= A | Zj AI Z 2 A 3 Z 3 —h A | Z4,
*3 = A? Zi H- A| Z 2 -h A J Z 3 -h A| Z 4 ,
^4 = A £ Z1 -t- AIZ 2 *+■ A£Z 3 -h A £ Z 4 .
relation obtenue existera identiquement quelles que
uantites Z 1? Z 2 , . . ., et, si I’on compare en particuli
cients des carres dans les deux membres, on trouvera d<
■mule a laquelle nous voulions arriver, savoir :
AI -
*-2
y) ■+• 01(a7. j^)h- Q|(ar, y) H~ 5 2
y)
ne ^ se rapportant aux divers couples de solutions
[. Arretons-nous un instant, avant d’aller plus loin, si
squence remarquable des calculs prdc^dents. Rapprt
quations (9) les equations ( i/\) qui en donnent la resol
voyons que les premieres sont satisfaites en annulant
faisant
i8
OEUVRES DE CHARLES
X { ,v { ] ainsi le polynome Q(^,r) pei
logue au quotient de la division du prei
a une seule inconnue par Pinconnue
relation
Q(a?i,ri)=
confirme encore cette analogue, la <
jouant dans celte circonstance commu
d’une derivee. Enfin, nous remarqueron
Q(x 5i y) = o une combinaison lineaire
de Pune des inconnues ait ete elimin
conduira a une equation finale en x <
seulement; c’est ce qu’on verifiera tres
de la regie de M. Minding, on m£me
lion.
Y 1 II. Nous allons maintenant reven
F(#,j) = o, <b(x, y) = o du degre m
niere la plus gen^rale des calcals e
precedents, et qu’il sera Lien facile d
mernes lettres affectees d’indices simpb
analogues, nous considerons en premi
de CTUantltftS. 'C Pt. 7. nn rl
SUR l’eXTENSION DU THEOREME DE M. STU
quantites £ donnera m- equations entre les incon
xoici le type :
m 2 m — 1
2 xi i yZ>cr (ii yJ\' XuyLzij— Z M .
cx) ij
1 0
ou bien encore
m- m — 1
2 -2,;
cr+n-y^. . _ 7
'A'bd JKa) — /j /^,<73
et, en intervertissant l’ordre des deux sommations
m — 1 ;// !
. .^*7 7j Xb >
l,J
Mais nous avons deja introduit la notation S a ^
somme sjmetrique ^ sorte c l ue nOLls
plement
VI — 1
(S')
z
p,<r
Nous fixerons l’ordre dans lcquel toutes les e<
teme s deduiront de celle-la en altribuanl d’abc
20
OEUVRES DE CIIA
Le determinant CD appartiendr;
de Pequation suivante :
m —1
puisqu’ilne differe du systeme (9
horizontales et verticales, mais nc
ane propriety essentielle dece det
de valear lorsqu’on met respective
deito et y^ c’est-a-dire lorsqu’e
lions
F(^,y) = 0 ,
les suivantes :
F(a? h- = °>
Qu’on fasse en effet pour un ii
. tn
n (*,r)=]
le changement en question revien
fonction lineaire des quantites c,
dans le developpement de l’expre
SUR L’EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM.
uivante :
, 7]) = (art — 0(ri—O'*—■»))•• 0(r/« a ~
iquelle nous nous fonderons plus tard.
determination du rapport ^ depend, comme nousTavo
resolution des Equations (8 ; ) par rapport aux inconn
rte que si Ton represente les valenrs de ces quantiles
ile generale
m — 1
ur effectuer sous la forme convenable la resolution des
(8'), introduisons les quantites 7j en posant
m —• 1
you) ’
ndra, par la substitution dans les Equations (o'),
OEUVRES DE C1E
toutes les inconnues disparaitron
tipliee par la somme non^vanouis
Mais ce qu’il importe surtout de
cients qui ne disparaissent pas sc
coefficients des equations propo
appris a calculer dans son admiral
nova algebraica circa systerna t
variabiles propositarum (*). Q
teme il est le produit des detern
et (i \ f ): si done on le designe pa
(£) 2 = o A(a? l5 jKi) A (a?.
equation remarquable et analogu
demment trouvee pour les equati<
vons nous occuper ici d’une dete]
nous avons fait le calcul ci-des
observerons seulement qu’en pa
leurs transformees en x — £, y-
priete vient deja d’etre etablie
tres facile de voir qu’elle a lieu e
+ a r ^ \ ..._. _ „.,
SUR L’EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM.
uvera, par la substitution dans les equations (11 ; ),
7o))Z p , y ^
0 A(#u>, 7^)
des equations (9') et (io') nous tirons la relation
2 ~.r.~
&CdJ(X>
ustera identiquement par rapportaux quantitds Z, lesq
nt seules dans le premier membre. Quant au second me;
l y remplace Sij par la formule posee plus haut, savoir
m — 1
z i,j = ^7V/ ^/>»
i^pendra plus de meme que des quantiles Z, et, en e.
rrds de Z p ^ dans les deux membres, on trouvera
a/v/
A p,</
(&tOl 7o)) ^
^o)7to S' 1 ^(^,7a))'
x = a?i,
y = y i-
Comme cela est tres facile a verifier, nous ne nous y arreterons
pas, et nous arrivons de suite a la demonstration de notre tlieo-
reme. Precedemment nous avons obtenu l’equation
Ao(£, -n) = (a?, — o (yi — T))(a7j — 0(72 — r,)... — 0 (7,,,*— 'Ob'S 2
et de la valeur trouvee pour ^ resulte aussi
A(c, r,) _ g, 7]) _^
AoU- »1) 0(7w- ?]) o 2 A’-(r w , jk w )’
le numerateur 5 * (#<,,,^105 £, vj) designant ce que devientl’expressioi
^ lorsqu’on substitue aux equations proposes leur:
transformees ena; + ^ et + Or, il est evident que la fonctior
& correspondante a deux solutions simultanees reellesne changer;
jamais de signe pour aucune valeur des quantites £ et vp Ges pr^li-
minaires pos^s, nous allons, en premier lieu, reclierclier commen
se modifie le nombre des variations du polynome
*)) — A 0 (^, i)) + )iAi(b 1 ))+---+ (—
lorsqu’on y fait croitre t\ d’une maniere continue de/q 0 a v\ ( , 1
quantite q restant constante et egale a une valeur d^termin^e £ 0 * Et
d’abord, les coefficients de deux puissances cons^cutives de \ n
pourront jamais s’evanouir en m^rne temps, et si un coefficien
s’annule, le pr^c^dent et le suivant seront de signes contraires
C’est, comme nous 1 ’avons d£j& dit, une consequence du theorem
de Descartes et de ce que liquation A(£,7|) = 0 a toujours toute
ses racines reelles.
Ainsi des changements dans le nombre des variations ne pour
ront survenir qu’autant que ce sera le dernier terme qui viendra
s’annuler. Mais, d’apres l’expression de ce dernier terme, les valeui
de y| qui peuveni l’annuler sont uniquement les racines y du sys
t&me des equations proposees, qui sont comprises entre les lirnite
7l Q et vi,.
-M£, Tj) == _y 1 _ y Mt jj, r,) _
A u (;, rj) ?)(y w —J'w)
_ S> *)) _
Ow~ I) ("n —JK w )5 2 A2(ar w , jKwj
pour une valeur de 7) voisine d’une racine jKwl son signe dependra
du senl terme -- ^ ou, d’apres ee que
nous avons etabli relativement au numerateur, du seul facteur
y ^ r ’ ^ eux cas sont a distinguer; en premier lieu,
si x M — £ 0 est positif, ce rapport sera ndgalif pour une valeur de 7]
un peu infdrieure a y w , et positif pour une valeur un peu supe-
rieure; done alors une valuation se change en permanence dans le
polynome A(£, 7j), lorsque r, atteintet depasse la raciney^. Mais
si noussupposons en second lieu x^ — ndgatif, e’est dvidemment
le contraire qui ari'ive : e’est une variation qui s’introduit dans
A(£, 7i) lorsque tj franchit la valeur y M . 11 est facile de conclure
de la la signilication de la difference i>£ iijY)n — ^ oiY)i , c’est-a-clire des
series du nombre des variations du polynome A(^ 05 ^lo)! sur l e
nombre des variations de A(£ 0 , 7j,). Considdrons x M comme
l’abscisse et y w comme l’ordonnde d’un point rapportd a deux
axes rectangulaires dans un certain plan, de sorle qu’a chaque
solution du systeme de nos dqualions corrcsponde un point ddter-
mind. Cela dtant, si nous menons deux paralleles a l’axe des
abscisses par les points clont les coordonndes seraient
^ = £o, ^=£l),
jK = ^o, r = 7h,
les points auxquels correspondent des solutions et qui seront com-
pris dans l’intdrieur des deux paralleles se partageront en deux
groupes selon que leurs abscisses seront plus grandes ou plus
petiles que £ 0 . On voit que ceux du premier groupe seront £t clroite
de l’ordonnee verticale mende par le point (£ 0 , 7 ] 0 ), et les autres a
gauche. Done, lorsque la quantitd 7j varie d’une maniere continue
de '(] 0 a7ii, le polynome A(£, 7j) percl autant de variations qu’il
existe de points dans le premier groupe, et en gagne autant qu’il
en existe dans le second. Soient done respectivement 3L et <DV le
Cela pose, si la quantite £ 0 devient Ob s’accroitra du nombre
des points renfermes dans l’interieur du rectangle, ayant pour
coordonnees de ses sommets
X — £ 0 , X — jjo) 37 = ^1, a? = 5i,
y — r iOi y = riu 7 = Ho, 7 = Hi,
et sera diminue du m^me nombre. En le designant par n, nous
aurons done
r lo — Vjj ==: ( <9^ ft ) — ( Db* — Tl ) — a)Tj (Dio 2 Tl .
Or, cette relation jointe a la precedente conduit immediatement
a notre theoreme qui consiste dans l’equation
^o.-Oo = n
X. On a pu remarquer dans les calculs precedents que les deux
inconnues x et y etaient trait^es de la meme maniere; e’est cette
sym^trie qui nous a engages a nous occuper ainsi avec detail de deux
equations generales du degre m. Mais on va voir que les memes
principes conduisent a une analyse plus simple lorsqu’on considere
deux Equations de la forme
F ( x ) — o,
<P(x)—y,
F(x) £tant un polynome entier et<E>(a;) une fonction ratiormelle
quelconque de x. On obtient d’ailleurs des formules d’une appli¬
cation numerique tr^s facile, et qui n’offrent aucune exception.
Nous admettrons seulement qu’on ait enlev^, dans le poly¬
nome F(a;), les facteurs qui lui seraient communs avec le d^nomi-
nateur de <&(.£), de sorte que toutes les racinesjv soient des quantity
finies. Cela £tant, nommons x t , x 2 , ..., x m les racines de l’dqua-
tion F(#) = o; y t ,y a , les valeurs correspondantes dey,
et T la somme sym^triaue r, x\ - 4 - r, xi - 4 - ... - 4 - x L : otr
T, - X To T 3
To T 3 —X T 4
t 3 T 4 T 5 — X
lorsqu’on substitue x + £ ety-t-y), a la place demetjK, dans les
equations proposEes, etle norabre des solutions simultanees com¬
prises dans 1 ’intErieur d’un rectangle sera encore donne par la
meme formule que ci-dessus :
XI. La demonstration repose toujours sur le calcul du terme
independant et du coefficient de la premiere puissance de ~k dans
la fonction A; nous le presenterons de la maniere suivante.
Formons en premier lieu, entre les quantites et Z, les m Equa¬
tions :
/ +-HU = Zi,
1 ^2 ^2 •+" • • . -V- 3? in Ctti — Z2,
( -2 ') ] + ^ 1 C 2 + - • --H= z 3 ,
I xf - 1 + Cs-K . z„„
semblables aux equations (2) du paragraphe II, puis, entre les
quantitEs ^ et Z, les suivantes analogues aux Equations ( 3 ),
savoir :
I Cl Ol ^i+*| +
C2 = JKa Os «i + a?5 «j-+--
v - / | £3 =y 3 (a?s si-+-a?|
f ^m = y M (x m s l + xf ll z I + .. .-hx"iz in );
on trouvera d’abord, par I’Elimination des quantitEs les rela¬
tions
( S1 z 1 —t— S 2 z 2 .., -+- S hi z ffi — Z1,
S2 •Zl -+■ S3 z% h— ... S^n-l Z,i | = Z2,
' , S 2 Zi -+■ S 4 < 32 -+-* • •■+■ S„H-2 Z »1 = Z„
Smil H- S Zo - 4 - So/rt —1 - 3 . j = Z i ,
Done le determinant de ce dernier systeme, e’est-a-dire precise-
ment A 0 , sera le produit des determinants relatifs aux equations
(2') et (V), ce qui donnera la relation
S,
S.
5 2
53
Si
S,«
S//H -1
s 2
S/;i S /Wt( _i . . . S2 W -
= <x m y,
x >n 5
ou, evidemment,
a?f _1 arj" -1 . . . cc'Z * 1
A 0 = x^y^x^y^. . .x, n y m F^a?,) F'(ar s ).. . F'(a?, ;l ).
Done, designant par A(ij, y,) ce que devient la fonction A, par
rapport aux equations en x + q et r-+-y\, et faisant comme ci-
dessus
HI *0 = A 0 (*, r,) + XA t (L
on aura
Ao($, T)) = (a?i— 0 (jKi — >i)(ar»— 0 Oa — *))• • •
X (*/« — £) (/«-r ( ) F'(.r t ) F'(ar 2 )... F'(*,«)-
Le calcul du rapport ^ ddpend, comme nous l’avons ddja vu, de
la resolution des Equations (i'); soit done
*1 = AJ Z,-h AJ Z, + ...h-Ai i Z / „,
13 s = A^ Zi-{- A| Z 2 -+- A^jZ /n ,
3 3 = A? Z 1+ A3 Z s + ... + A? ;i Z, n ,
= Ai" z, -+- Af z, -H...+ A"' z m ,
on aura
( 4 ')
-r;o-l- x 1 7)i -f- xjr l2 -h. . ,-f- x'{ l ~ l r,,,,-,
7]n -4- .r a r M -4-- x\ r ;2 r (/w _,
F'( 27 2 )
tqo -+- -y») V]i -t- ar;„ 7 ] g H-... -+- a ?;»- 1 T)
Eii substituant dans les equations (2'), il vienclra
’■•Sir —-2^
2 -v XT’ 3:12 V’
F +r,1 iF +••• + ^-12 “F
2 37 s a 7" i+1
t + ’‘2p + - +t -- 2— = z »-
•Or ces equations se resolvent immddiateraent coname on va le
voir. Soit, en elFet,
F(jt) = a7" 1 +a,rr"'~ 1 -+- a 2 tr" l -2 + . . .h- a, )M a?+ «,«•
On verifiera sans peine les valeurs suivanles que nous avons omis
de donner explicitement dans le paragraphe IU, savoir :
rjo —Tj/h -+- ct\ Z/; { _] -t- ct-i Z w ,_2 H-... -1- ct m —2 Z 2 -+- ciiu—\ Zj,
"Ol = Z H- Z /n _2 •+• <2 2 Z W |_3 -4- . . . —(- Ct m — 2 Z [,
1 ) Ml—2 = Z 2 —t- ft 1 Z 1,
7 )/«-l = Zj.
Que l’on pose done
Q](a?) = x ln ~ l -+• ai a? wl - s H- a.x" 1 - 3 - 1-.. .-4- a w _ 2 tr-i- a /n _j,
Q 2 (x) = xx'-z-ir - « 2 ;£'«-*• + ..a„,_ 2j
^/n-2 (tr) = tr 2 + «i tr + a 2 <
Q,„~ i (x)-x +a 1}
= Z„
= Z 2 ,
= z 3 ,
lions ( 4 '), les valeurs
Q, (x-,) Z| 4- Lh(xo )Z 2 -f-.. .-4- (x. 2 H- Z, n
_____ ,
Y _ “t f x m )Z| -4- Q 2 (a7 w )Z 3 -i-. .. — Q. m - X (x , n )7^ m -\ -4- Z,„
V)! _ F'(a?,„)
Cela pose, les relations (2') et ( 3 ') donnent la suivanle :
-a=-s
et si Ton met dans le second membre, a la place des quanlites s,
leurs valeurs en fonction lineaire des quantites Z, on trouvera, en
comparant les carres de Z,, Z 2 , les expressions auxquelles
nous voulions parvenir, savoir
A /.. Q?(*.l , Q/(^) , , Q?{*m) .
^iJKi F' 2 (»'i) F'^ar,) x m y m F' 2 (a7, n )*
elles donnent immediatement
At
Ao
= —(A}
*>=-2
xy F' 2 (a7) ’
le signe ^ se rapportant aux diverses solutions simultanees. On
en conclut qu’en passant des equations proposees a leurs transfor-
mees en x \ et y -f- vj, il viendra
Ai(S. g) _ *' x > 0 _
A 0 (£,7)) Zd (x— (7 — Kj) F' 2 (a?j’
expression dans laquelle le numerateur ddsigne par J(x : ^) ne
pourra jamais ni s’evanouir ni changer de signe quel que soit
lorsque la racine x sera reelle, puisqu’elle reprdsente une somme
de carrds. Nous pouvons done appliquer exactementla demonstra¬
tion employee precedemment pour la determination du nombre
des solutions simultanees qui sont comprises dans l’lntdrieur d’un
jouent dans cette question le role de fonctions auxiliaires du theo-
reme de M. Sturm. D’ailleurs aucun cas d’exception ne peut ici se
presenter a moins que liquation F(#) = o n’ait des racines
egales. Mais, meme alors, nous pouvons conserver la fonction
A(£, tj), dont le premier terme A 0 (£ ; tj) disparait, car les deux sui-
vants A ( et A 2 , s’il existe par exemple deux racines egales, se
trouvent prendre la meme forme analytique et jouer le meme role
que les deux premiers. Nous developperons ce qui se rapporte a ce
sujet dans un autre M^moire.
XII. II suffira d’un peu d’attention pour reconnaitre qu’on peut
etendre a un nombre quelconque d’equations simultanees les prin-
cipes appliques prec^demment a deux equations a deux inconnues.
Nons en donnerons un exemple en considerant le systeme suivant:
F(a*) = o,
<-I>(ar) = y,
oil nous supposerons que les fonctions <D et 'I ; sont rationnelles et
ne deviennent infinies pour aucunevaleur satisfaisanl a la premiere
Equation F'(a?) = o. Soient Loujours x,, x 2 , .. ., x m les racines de
cette equation, y t , z s , .. z m les determinations corres-
pondantes des inconnues y et z, et U/la somrae symetrique
nous considererons encore le determinant
u, — x
U 2
Us •
u M
u a
U 3 —X
u 4
U /M+1
A =
u 3
u 4
Us-X .
u,„
U„ l+ t
• Us,,,.-, - A
de m^me forme analytique que les precedents. Cela pose, si Fon
substitue x -f- 5, y + -q, z + £ auxinconnues proposees, il devien-
dra fonction de £, r h et nous le representerons par
A(5, VI, O = A 0 ($,7], O-hXAK?, V],
A 0 ! 7 „ L) = ( JTi— ') i Yi — t ,j I L) i.X 2 —c) [J2 — C ). . .
X F' ( J?i j F’ ( x s )... F' | x m
Aifjj. r„ 1 1 Ar. > ) _^
A 0 <;, r,, rj “ (x — c M J' — f , J ‘ ~ - C 1 F' 2 (o :) ’
le signe ^ s’etendant aux diverses solutions et le numerateui
J(x, q 0 ) etantla fonction deja consideree dansles cas des equation:
a une seule et a deux inconnues. Cela pose, soit, pour un systenu
donne de valeurs de c, r i: v, c(£, r n le nombre des variations di
polynome A(c, r,, ^), nous aliens en premier lieu donner la signi¬
fication de la difference c(c, r 1: ^ 0 ) — r(c, r,, G) ou nous supposon:
G >■ t 0 . Considerons en efFet x, y } z comme les coordonnees rec-
tangulaires d’un point situe dans Fespace, de sorte qu’a chaqu<
solution des trois equations proposees corresponde un point deter¬
mine.
Les deux plans z = et - = comprendront dans leur inter-
valle un certain nombre des points figurant ainsi des solutions
nous les partagerons en quatre groupes de la maniere suivante
Menant dans le plan des xy des paralleles aux axes des x et des j
par le point dont les coordonnees sont x = c, y = r n on voit qu<
ces droites delermineront quatre regions, que nous designeron
par A, B, C, D, et les points dont nous formerons un mdirn
groupe seront ceux qui le projettent dans une mdme region, ou, s
Ton veut, dans l’interieur dbm meme angle. Soient A et G d’un
part, B et D de Fautre, les angles opposes par le sommet; dans le
deux premiers, les expressions (x — ?) (y — r,) seront de mdm
signe et, pour fixer les idees, seront positives; tandisqu’elles seron
negatives dans B et D. D’apres cela, on voit de suite qu’en nom
mant respectivement a, b, c, d , les nombres de points qui appar
tiennent aux regions A, B, C, D, la difference
r n r 0 ) —r(L r„
aura pour vaieur
a -+- c — b — d.
Considerons en second lieu deux valeurs de -q, r l0 et t,,, e
laissant constante la quantite £. Les deux droites y = y) 0 , y = v\
groupes, suivant qu’elles se trouveront a droite ou a gauche de la
parallele a l’axe des y, x = <*, et nous designerons par Ob le nombre
des projections con tenues dans le premier groupe et par Ob' lc
nombre des projections contenues dans le second.
Gela pose, il est clair qu’en passant de •/)„ a yj,, a et d devien-
dront respectivement a H- Ob' et d — OTi.'; b et c en inline temps se
changeront en b -f- Ob et c — Ob. Nous aurons done, d’une part,
p(S, lo, U) — ' J (S, tqo, Ci ) — a-^-c — b — d,
et de l’autre
r(£, 7)i, Co)-K^ »li, ?i) = « + c- b — d4-2(0V— Ob),
et. par suite,
HI r)„, Co) ■+■ Hi ’ll, Cl) - Hi •/)«, Cl) - HI ’ll, Co) = 2 ( 0 b - OV).
II ne nous reste plus maintenant qu’a faire varier la quantitb
or, en passant de £ 0 a £,, Ob' s’augmentera du nombre des projec¬
tions renfermees dans le rectangle ayant pour sommets
jK = 7) 0 , r = 'm, jk = ^o, r==’]i,
et 0 ^ diminuera du m&me nombre. Designons par n ce nombre, il
representera ^videmment combien se trouvent de points figurant
des couples de solution dans l’int^rieur du paralldlepipfede ayant
pour projection verLicale le rectangle dont nous venous de parler
et Lermine par les plans z = £ 0 , z = Or, nous avons a la fois
les relations
K^,7)o,Co) + K^,7|l,Cl)-K?0,7)o,Cl)-^(?0,7U,Co) = 2(Ob-OV),
<, (£l,’) 0 , Co)-H P(5i, V)i, Cl) — <>(5l, 7)o, Cl) — Co) = 2(0b — Ob') — 4 n -
d’ou l’on conclut
r ^(^o,7io,Co) + e(^o,7)„Ci) + K^,’lo,Ci) + ^(^,7) 1 ,Co)']
L- Hl,^, Cl) -P(?o,’l., Co)-r(h,7)o, Co) ~Hl, ’ll, Ci> J
n = -:--
On aura un dnonc <5 plus simple si Ton convient de designer par
Nommant alors pgrs la base inferieure et ]>'q'r's' la base supe-
rieure du parallelepipede, de sorte que les points p et //, (j
et rf, appartiennent respectivement aux mernes ordoimee:
verticales et que les droites pcj,ps soient paralleles aux parLiei
positives des x et desy, on aura la valeur suivante :
11 = ^ |[(/>) — (/>')] — [(?) — (?')] -+■ L('’) - (>’')] — [(*) — (*')]!•
INTEGRATION
DES
FONCTIONS RATIONNELLES' .
Nouvelles Annales de Malhimatiques , 2 e scrie, t. XI, 1B7A, p. 1 45 -1 4 ^•
Annales de VEcolc Normale superieure , i rc serie, t. I, (872, p. 'jn5-2i8.
Cow's d’ Analyse de I’lZcole Poly technique, 1873, p. 2G8 et stiiv.
Soicnl F(a?) et F ( (x) deux polynomes enliers; cn posant, pour
mettre en evidence l’orclre de multiplicity des divers faeteurs,
F(a?) = (x — a) aH l (x — 6)P+ 1 .. .{x —1)^ +1 ,
en admettant pour simplifier que Le degr 6 du numcirateur soil
moindre que le degry de F(a;) ? la clycompositon en fractions
simples donne la formule gdiidrale
¥i(x) = A A, Aq;
F(a?) x — a (x — «) 2 ~ t ~‘'■~ t ~ (x — a)«+-i
B B t Bft
x — b (x — 6) 2 _f "‘ ‘ "” 1_ (x — 6)P- 1 '- 1
u
-l (x — lf
LX
(X — /)X-H ’
( l ) Nous publions ici un extrait du Cours d’Analyse de VEcole Poly technique
Paris, Gauthiers-Villars, 187.3) relatif h I’intdgralion des fonctions rationncllcs;
antdrieurement, la question avait dtd trait^e d’unc maniere plus sommairc par
Ilermite dans deux Notes des Nouvelles Annales et des Annales de I’ltcole
Normale que nous ne reproduisons pas. E. P.
F(ar) Alx-a £l{x — af ' Ad{x—a)»+ l
On en d^duit immediatement cetle expression de l’inlegrale de
toute fonction ralionnelle
/
_iy A -
n AU (x — a) n
ou l’on voit figurer une partie transcendanle et une partie alge-
))ricpie qui donnent lieu aux remarques suivantes.
1 . Nous observerons d’abord qu’en supposant reels les poly-
nomes F(#) etF^a:), les racines du denominateur peuvent etre
imaginaires, de sorte qu’il est necessaire de mettre le resullat
ohlenu sous une forme explicitement reelle. Or, on sait que les
racines imaginaires seront conjuguees deux a deux; de plus,
qu’elles seront de meme ordre de multi plicite, eL qu’en les desi-
gnant par a et b les numerateurs des fractions simples correspon-
dantes
A.,- Bj
(x~ <*)*+»’ (X — 6)i+i
seront respectivement exprimes de la meme maniere en fonction
rationnelle de a et b. Ge seront done aussi des quantiles imagi¬
naires conjuguees, et les termes qui en resultent dans la partie
algebrique de l’integrale, a savoir
_ I A,- i B,-
i (x —-ay’ i (X — by’
donnent, par les reductions ordinaires, une somrne rdelle. Mais,
dans la partie transcendante, ilsera necessaire, pour effectuer cette
reduction, d’employer l’expression des logarithmes des quantiles
imaginaires
log(a 7 — a — 0 v /—"0 = - log [(a; — a)* 4-P 2 ] -+- \/~i arc tang -- — >
’*■ le plus grand des nombres a, p, et qu’on
•- des numerateurs A„, B n , ..., L dont les indices
P,
A log(a? -a) + l] log(a;— b)
= P lo S[(® —*)*-+■ P 2 ] — *Q arc Lang~~ a .
Ce resultat peui egaleinent s’obtenir par l’integration directe cl
la somrae des fractions imaginah’es conjugates
P + Qy/^7 [ P-Q/Z^ a p( ar - et )_ a Qp
x ~ a —P /— ' x — a-t-p/— 1 (x — a) 2 p 2
JEcrivant, en eflet,
/• aPCay-q) —iQg
J (a? — a) 2 -t~P 2
a'o? =
”/
a (a? — a) rf a?
(07 X) 2 p 2
on a d’abord
,Q/
P clx
(x -a) 2 + p 2 ’
f 2 ( x — “) dx _ /* c?[(a7—a) 2 -h 3 2 ]
7 (07- a) 2 4-p 2 “J a) 2 + pr" = lo S[(^ a) 2 H- P 2 ];
faisani ensuitea?— a= ( 3 ^, il viendra
f ft flfo _ r dz
J Ijxt a) 2 p 2 ~ J ^17 = arc l ang5,
et, par suite,
C M* x — a
J T x ~~~ aj 2 -H p 2 == 3l ' C tan g-p-’
de sorte que nous aurons, comme prdeddemment,
f aP(a; — a ) — st Q 3 ,
J ~"(x _ «)*+ p»“ ^ = P Iog[(a? — a) 2 n- p 2 ] _ 2 Q arc tang
II. La formule
/ 5$ * =2 *■<*<—«)-2^5 —
07 — a
F~
montre que le second membresera simplement alg^brique, lorsqu
pom* un inslanl a une fraction rationnelle la quantite
y A log(a* — a) = j' ^ - ---- - clx,
el qn’on prenne la derivee de cetle function rationnelle apres
l’avoir decomposee en fractions simples, on fera ainsi disparaitre
l.outes les fractions partielles dont les denominateurs sont du pre¬
mier degrc. On ne pourra done reproduire l’expression ^ >
la decomposition en fractions simples n’etant possible que d’une
seule maniere.
Remarquons aussi que la partie algebrique del’inlegrale eslde la
forme-- —-~~z -ri -Tbr) etant un polynome ent.ier
(.r~«)“(.r — 6)P.. .{x — Ip- K ' 1 J
qn’on pent facilement ol)tenir, comme on va le voir, a l’aide des
developpemenls en serie suivant les puissances decroissantes de la
variable, de Fintegrale et de la partie transcendante. On forme le
premier en supposant qu'on ait, par la division algebrique,
Zllf) = + + ^ ^ .
Ffa?) x x- x 3 1 ‘' ’’
de la, nous tirons, en elTet, en integrant les deux membres,
C F,(*) . , Wl to,
J F{Z) b x 2X*
Quant au second, il suffit d’employer la serie elementaire
x _ l ft a-
x — a ~ # #2 ~ t ~ #4 ‘ ‘ ’
pour en conclure
puis, en integrant,
SA Jog(# - ft) = SAlog#—— rA a ~
X 9. X 2
(x — a ) a {x — b ft ...(»■ — I ft
. . oi t—SAa to,— 'Zk.a-
= (SA —w)lc.>g.r-+- —-H —-;-1-...,
x 'IX-
oii le terme logarithmique, dans le second membre, doil necessai-
remcnl disparaitre, un tel terme ne pouvant provenir du develop-
pement d’une fonction ratiounelle suivanl les puissauces descen-
dantes dc la variable. Nous avons done la condition
SA = (o,
dont il est souvent fait usage, surtout dans le cas oil le degre
de F|(j;) etant infdrieur de deux unites a celui de F(if), on
a co = o (').
Soit nraintenaiit, pour abreger,
u> n — EA« /l
-= n n ,
a
le polynome 3 (x), que nous nous proposons de determiner, sera
donne par cette expression
§(x) = (x — aft (x — bft .. .{x — lft( — •+• ~ -4- ~ H-. . .\
\ cc CC~ J
oii il est ndeessaire que les termes en nombre inlini contenant x
en denominateur se d^truisent, de sorte qu’il suffira d’en extraire
la par tie entiere. Soit, a cet elfet,
(x — aft (x — bft. .. (x — l ft = x ,n -+-pix" 1 - 1 -+- p- 2 x" l ~’ 1 h-.. .h- p,n j
on trouve sur-le-champ
i{x) = 71.2(a?" 1 ” 1 -f -p x x" l - % -\~. . p m -i)
•+• 7 T-+-• • .-I -Pm-i) ■+■•.Tt /M _i(a 7 H- it,*,
et nous voyons qu’on pourra s’arrdter dans les ddveloppements de
(’) Les quanlitAs A, B, .... L (Slant les riisidus de la fonclion corres-
1 < ( x )
pendant aux diverses racines du denominateur, la somme 2 A a retju de Cauclij'
la denomination d residu integral de c tt fon don.
nous allons reprendre, pav une methode plus approiondie, cette
recherche importante de la partie algebrique de l’integrale
J F (x)
dec.
Nous nous proposons, en effet, de la determiner de maniere a
oblenir la somme effectuee des fractions simples donnees par la
formule generale, de sorte que la connaissance des racines tie
l’equation F(a:) = o ne sera plus necessaire que pour former la
partie transcendante ^ A log (.2? — a).
HI- Dans ce but, on commencera par mettre le denominates
au moyen de la tbeorie des racines egales, sous la forme
Ft a?) = N ' 24 " 1 P /’ 4 * 1 .. .S* 4 * 1 ,
N, P, Q, .. S etant des polynomes tels que l’equation
NPQ...S = 0
n’ait que des racines simples. Nous remplacons ensuite la decom¬
position en fractions simples par celle-ci :
Fi(aQ 3b $ \ 5
F(ar) P/>-t-i Q'/h-i + ‘ *' S* 4 - 1 ’
ou 3 t>, S sont des fonctions enlieres qu’on obtient par
la mdthode suivante.
Jemefonderai sur le procede algebrique que je vais rappeler,
et par lequel, etant donnes deux polynomes premiers entre eux U
et V, on peut en determiner deux autres A et B, tels qu’on ail
AV-f-BU = i.
et, par consequent,
A B _ 1
U + V ~ uv'
Effectuons sur U et V la recherche du plus grand commun divi-
seur de maniere a obtenir ces relations, ou Q, Q,, Q 2 , ... sont les
u = VQ R,
V = RQt -+-R„
R = R 1 Q,4-R 1 .
Les valeurs qu’on en tire, savoir
R = U — VQ,
R l= V(i- 4 -QQ l) -UQ 1 ,
montrent qu’un resle de rang quelconquc s’exprimc an moyen des
polynomes U et Y par une combinaison de la forme
AV-h BU,
oil AelB sont des fonctions entieres. Or, le dernier de ces resles
est, dans l’hypotliese admise, one simple conslanle, cc qui
ddmontre et donne le moyen de former la relation annonccc.
Cela posd, soit
u = v = rvH-i q./h-i . _ _ g*-+i.
nous pouvons derire
t i _ A _B_
UV F(a?) N"" M Re-t-i Qy-i-i... S' f}
puis, en multi pliant par F, ( x ), et faisant ;)£, = AF| (x),
Fi(a?) _ «)u BFi(.r)
Fjx] ~ N' 1 ^ 1 p/H-i Qy-hj.. _gi'-i-i ‘
Maintenanl il est clair qu’en operant sur la fraction
BF t O)
Pi'+‘Q'/-*-i...S''+> ’
comme sur la proposde, on la ddcomposera pareillement en un
OH
terme p^- et une nouvelle fraction dont le ddnominaleur ne ren-
fermera que Ids facteurs de F(.«) antres que N w+I et P/ , ' H . Con¬
tinuant done les indmes opdralions jusquA l’dpuisement complet
de ces facteurs, on rdalisera ainsi la ddcomnosition ciue nous von-
On en tire
Fjfa-) _ Ob , <j? §
F {x} ~ \«+* P/'+‘ + S-'+‘*
cte,
les integrations portant, comme on voit, snr cles expressions toutes
semblables, qu’on traite de la maniere suivante.
IV. J’observe que IN, n’a} r anl pas de facteurs multiples, est pre¬
mier avec la derivee N'; de sorte qu’on pourra determiner deux
polynomes A et B remplissant la condition
Cela etant, nous formerons deux series de fonctions entieres
V 0 , Vi, V*-t,
3b j, 3b 2 , 3b„,
par ces relations, oil K, K,, sont des polynomes entiere-
ment arbitraires, savoir
nV 0 =A3b — NK,
(n — i) Vi = A Db, — NK,.
(/i — 2)V,= A3b, —- NK,,
Y n -.i = A3b„_i — NK,,-!,
puis, en second lieu,
— N'K -V' u ,
3b, = B3b t —N’K, —V',,
SK,„ = BOt,,-!— N'Kn-! —
Je vais maintenant prouver qu’en faisant
U = 3T>n,
V = Vo -+- NV, -+- N* V, 4-... -+- N«-» V*_ i,
d’ou
Jb_ _ U rf_/V_\
N ,1+1 ~ N dx \IS"y ’
J w* dx= fl dlc -
_V
' N" ’
V ... /’ U
de sori.e que ^ csl ]a par lie algebrique de Pintdgrale, et /
la parLie transcendante.
itliminons, a cet effet, A. et B entre les trois dgalites
ee qui donne
(n — i)Vt— ADL,-—• NK/,
Ob,--M = BOb,— N'K/-V/,
r = BN — N'A,
N 9b,-+i = Ob,-a- (n — i)N'V,— NV,-.
Nous mellrons cettc relation sous la forme suivanlc :
Kt _ d_ ( V,- \
N / dx\ N rt ' H '/
et, supposant ensuite i = o, r, a, ..n — i, nous en conclurons,
en ajoulanl membre a membre,
_9b_ __ 3^, _ d_ /Vo _V L _ V,,-! \
N«+i N ~ N«-‘ N
ee qui fait bien voir qu’on satisfait & la condition proposec
Ob __ U d_ fV_\
N'm-i ~ N V, N«/
par les expressions
U = 0b„,
V = V 0 4- NV t 4 - N* V s 4 -... 4- N «-1 V /t _i,
coimue il s’agissait de le ddmonlrer.
J’ai dilqueles polynomes K, K.,, ...,K n _i dtaient arbilraires; on
pourra done en disposer de mani&re que les degr^s de V () , V|, ...,
V„._, soient moindres que le degrd de N; on pourra aussi les sup-
n(n — i)Y] = JbA(n,B —A')— dh A-,
Ces deux suppositions se concilient dans le cas de 1 integiale
/ i *
(a?*—i)«-
que je choisis comme application de la mdthodc. Nous auron
alors
N =
A =
x
N' = 2 X,
B = —i,
jniis successivement
n V 0 = — — )
■2
(B-I)V, = +-
(n — a)V s = —
(n — 3 )V 3 = -f-
( 2 n — i)(m — 3 ) x
211(271 — 2) 2
(211 — 1) (2 11 — 3 ) (211 —
271(211 — 2) (2iz — 4 )
•)
X
2 ’
(2 71 — l) (211 — 3 )
2 71(2 71 — 2 )
(2n — i)(2 71 — 3 ) (2/1 — 5 )
271(271 - 2 ) (2 II — 4 )
d’ou ces valeurs, cju’on retrouvera bientdtpar line autre voic,
u = db tl =(—iy i
(2 71 — 0 ( 2/1 - 3 ) ... 3 . I
2 71(2 71 2 ) . . . 4 • 2
V = V 0 -H NVi-t- N 9 -y 2 -h...+ N /l -’ V n _!
2 Ln
2 71 — I
(2 7 i — 1) (9.n. — 3 ) (a? 2 — i ) 2
271(271 — 2)
- (- O ' 1
(211 — i) (2 71 — 3 ).. .3
2 71(2 71 — 2 ) ... 4
O 2 — i )"- 1
1. Des notions importantes d’Analyse se rattachent a cette
expression, qui va nous servir d’exemple pour l’application des
raethodes generates d’intdgration des fonctions radonnelles. J’ob-
serve d’abord qu’on aura pour la partie Lranscendante et la parlie
algebrique ces expressions
Alog(a?— a) -t- B log(a? h- a ), -— r - - x — —>
( x i —a 1 )' 1
et que, dans la serie
les coefficients w, o)|, (o 2/i s’dvanouissent. En 6crivant, on
efi'et,
I _ I /
(x *— a 1 )"" 1 ' 1 ~~ cp*"-*- \ 1 x-j ’
la formule du binonie donne
r dx _
J (»-— a*y >+ 1 ~
i (n i) ci~
(a;M-i)a? 2 ' t+l (‘in-h 3)a; 2 "-+- ;i
J^a premiere consequence a tirer de U, e’est qu’ayanl
la partie Lranscendante est simplement
et la seconde, e’est que le produit du d^veloppement en s&rie de
l’int^grale par le facteur (a- — a -) n , ne contenant aucune puis¬
sance positive de la variable, le polynome §{x) se r^duit a la partie
enliere de l’expression Alog^j—— a?) n .
pement suivant les puissances croissautes de cette quantite, de 1
fraction lorsqu’on y a fait x = a + z. Or, ayant
(a?*—a 1 )*- 1 1 (?.«-+-.z) " b
nous sommes amends a chercher le coefficient de z n dans le deve
loppement de (2 a z)~ n ~'. Partant, a cet effet, de la formule d
binome
m(m— 1). . .(ni — /i-t-x)
il suffira de supposer, dans le terme general,
a = 9 a, ni =— n — 1,
' obtenir la valeur
( —l) ,; (ft+l)fji. + 2 )... 2 ft
ou je remarquerai que le facteur numerique ■ - — - ^ ^ ~
est aussi le coefficient du terme moyen dans le developpemti:
de la puissance in du binome. On peut done lui substituer
quantity 2 2 "a„,, en posant
ce qui donnera
Cela pose, il ne nous reste plus qu’a determiner la partie ratici
nelle de l’intdgrale, en formant le polynome §(x) au moycn il
termes entiers en x du produit
oelle-ci,
-I- Xm ^ 2.4.6 a 1 1
3.5 (a ? 2 —a 2 ) 3 3.5.7 (a ? 2 — a- ) 4 ’ + "' ’ ' J 1
qu’on d&nontre facilement en prenant les derivees des deux
membres, el employant cetle identity
d f_« 2 "y> "j _ (2/i —i)a 2 "- 2 2 a 2 ' 1
da |( x 1 — a 1 )'<■ J “ (a ; 2 — a ' 1 )' 1 (a ; 2 — a 2 )“+i ‘
La parlie entiere qui resulle de la multiplication par ( x- — a-)“
se prdsente, en elTet, sous la forme
-a 2 )"
_l_ hA a 6(a? 2 — a 2 ) /l ~
-(-!)'
2.4 ... 2 n — 2
el. il vient, par suite, ‘
3 ( x) == 2A* j^(a? 2 — a 2 )"- 1 — | a 2 (a? 2 — u 2 J ,l “ 2 ,
+ M a 4( a7 2__a 2 )«-3-...-f-i)'
3.5
2.4... 2 n — 2
3 . 5 ... 2 n — 1
« 2 M ~ 2
oa, en employant le facteur A sous la forme
. _ (—1)» 1. 3 . 5 .. .(an —1)
~ 20 2 «+i 2.4.6.. .2/1 ’
et renversant 1’ordre des termes, (
- _ an —1 a? 2 —a 2 (2n — i)(an — 3 ) (.-r 2 — a 2 ) 2 1
-'W-—”[ na s 2/l (/i-i)a» + an(an —a)a« n —2 "j
c’est pr<kis<bnent le r^sultat lrouv <5 pr^cddemment, dans le ca:
de a = 1.
II. L’in!
(a? 2 —a 2 J"-*- 1
peut encore s’obtenir au’ moyei
Celte substitution donne en effet
%ady
' (t-r) 2
rl’ou, par consequent,
dx
r dx _ i r
J (a?* —1 J
(/ — o 2ft ^r
r /l+l
et [’integration relative a la nouvelle variable s’efFectue ais^menl
comme il suit. Soit en designant, pour abreger, les coefficients
numeriques par IN,, No, N 3 ,
(j ~ i)-' L — y - n N 1 N 2 j 2,l_2 -+-. • Nijk •+■ r,
nous ecrirons, en rapprochant les termes equidistants des extremes
et isolant le terme du milieu/",
{y - !)*»= (/*«+ I) Hr N! (/»«-! + /) + N s ( 7»^+7»)+... H-Nrt/",
de sorte qu’il viendra
•+• Na (y ,l ~
(/ —1) 2/1
r n+ 1
r/
i
r 3^
el, par suite
/
(/ — !)** dy .
71 — 2
. 7 '
/ /l ~ 2 —
- N* log/.
Cette formule doit coincider, en y remplagant/ par ^ — — , avec
celle que donne la premiere mdtbode, et, en efFet, la partie loga-
rithmique est la m£me, car le coefficient moyen N„ de la puis¬
sance (/ — i) 2/< a prdcisement pour valeur
posant
d’ou
x = a y/^i cot^ cp,
y =. cosep -+- y/—i sin cp.
a I’identite suivante :
4- Ni
-O '*- 1
sin(n — i) cp
n — i
(
-+- No-
sin(/i— a)cp
n — a
) (n -+- 2) ... 2 n n
- cot-
X ( sin 2 — cp -+- -
a. 4
H ~ s
5.5
. (2 n -
■ 2 )
3.5.. .(an. — i)
sin 2 " - c
xnais, sans m’y arrdter, voici un troisieme procede enlieremenl
different des pi'dcddenls, et qni servira de transition pour arriver
aux mdthodes propres essentiellemenl a l’integralion des fonctions
algdbriques.
Soit?^ = (x 2 — a -) m , l’exposanl in diant quelconque, on aura,
en difTdrenlianl deux fois de suite,
x (a? 2 — a 2 )" 1 - 1 ,
(x -— a 2 )" 1-1 -4- (a m — a) a? 2 (a? 2 —
i da
2 m dx
i d*u
2 m dx' 1
Or, on peut ecrire
T //^ jf
= (a? 2 — a 2 ) m — l -t- (a in — a)(a? 2 — a?- 1- a 2 ) (x -— a 2 )" 1-2
= (a 73i — i) (a? 2 — a 2 )" 1 - 1 •+• ci i ( 2 jn — a) ( x a 2 )" l ~ 2 .
de sorle qu’il vient, en raultipliant les deux membres par dx el
integrant,
x da
2 .m dx
— a?(a? 2 — a 2 )" 1 - 1
= (a m — t) J (a? 2 — a 2 )'"- 1 dx -h a 2 (am — a) J (a; 2 — a)" l ~ 2 d%.
Faisons maintenanl
et I on obtiendra
X
, r
dx
o nn*'
afa"
( x- — a 2 J"
= — (211 - 1
U (*
« 2 )“
J (a? 2 —a*)"-*- 1
ou bien
, r
dx
, n r
dx
.r
‘ ina 'J
_^2 yi+1
: — ( a 71
' } J ( xi
'■ — a 2
y* (.r 2 — « 2 )"
et, par consequent, pour
n — t
, 2, 3, ..
' X
- /
’ dx
X
(x- — a-)-
— J
x 2 — a 2
x' 1 —
a 2
n dx
r </a?
X
- a, J
(a? 2 — a 2 ) 3
~~
J (a? 2 —
(a? 2 — « 2 ) 2 ’
r dx
r dx
X
ba '-J
(j;* —a*)*
= 0
J (x 2 CL'
ip “
(x 2 — a 2 ) 3 ’
Ges relations successives conduisent dviderament a exprm
l’integrale relative a un exposant quelconque J ^’
moyen de celle-ci j et d’une fonction rationnelle do
un calcul facile donne en effet pour r^sultat
a Vl
I
dx
(x 2 — a 2 ) ,l+l
(-O'
I.3.5. ..(an — i) T C dx
2 .4.6...an L J
en posant
a a- a. 4
3 (a? 2 —a 2 ) 2
3.5 (a? 2 — a 2 ) 3
, y- - • - (an — a) «*»-*
' 3.5.. .(an — i) (a? 3 —«' J
Et, si l’onveut le demontrer, on observera qu’en changea
en n — i, il vient
a 2 '
-I
dx
(a? 2 —a 2 )"
i .3.. .(an — 3) V C dx - _ ,
a.4. • .( 2/l — 2 ) L^/ xi — a% H *
de sorte qu’en substituant dans la relation generale
r
dx
, C dx
x
nous obtenons la condition
fn{x) =fn-l(00) — (-\)'
a.4. ••(2u — 2 )
3.5...( 2/1 — 1 ) (a? 2 — a*)' 1 ’
qui esl salisfaite d'elle-meme. La fonction f n (%) donne ainsi, pour
la partie ralionnelle de I’intdgrale proposde, l’integrale
(—i) M i.3.5...( 2 11 — 1 ) x
a 2/1 2.4.6... an (a? 2 — a i )' 1
X |^(a? 2 — a 2 )' 1-1 — |a 2 (a? 2 — a 2 ) /l ~ 2 -t- a 4 (a? 2 — a 2 )' 1-3 —.. .jj,
qui, d’apres l’expression du coefficient A, coincide bien avec celle
qui a <$16 obtenue prdcedemment sous la forme y t > el
quanL a la partie transcendante, l’klentite
7.Ct _ I X
a? 2 — a 2 x — a a? -t -a
donne sur-le-cbamp
/
dx
a; 2 — rt 2
_L log ---•
2 ft x -t- a
III. La determination du poljnome dans liquation
dx
h
• = A log -
$(x)
' (a? 2 — a 2 )"’
(a? 2 — a 2 )"- 1-1
a ete obtenue par cette remarque trds simple qu’en I’dcrivant ainsi
§(x) = A (a:* —a 5 )* log -t- —
le developpement suivant les puissances descendantes de la
variable de l’expression (x- — a 2 ) n J — est de la forme
^ + • ••> sans contenir aucune partie entidre en x. Or, il
r6sulte encore de cette remarque une consequence imporlante que
voici. Faisons, pour plus de simplicity, a — 1 , et prenons les ddri-
vees d’ordre n des deux membres dans la relation
OEUVRES DE CHARLES llEEiuITR.
A l’egard du produil ( x 2 — i ) n log ^ > il faudra, en posa
U = o*-i)»,
appliquer la formule
d" UV _ rf*U y
dx’ 1 ~ dx' 1
n d»~* U dV n< n — i)
x " + " 1.9. dx a ~- dx 2
, , . <a!«(a; 2 — 1)" ,
dont le premier terme --J
sera seul a depen<
du logarithms, les autresetant tous rationnels el ra^me entiers.
a elfeclivement
- [log(a? -w)— log(a? — 1)]
= (- ~ (^17] ’
;- "fn-a- ^ . cont i ent en facteur ( x~ — 1 ) a , le proi
ci fi a? (&)
est entier ea x . Reunissant ces termes au polynome —;
les faisant passer dans le premier membre, que je ddsignerai a
par F rt (#), nous parviendrons a cette relation.
„ . . d n (x -■— 1 ) /l . x -hi
f »W = A ' log-—
a laquelle je m’arrdterai un moment. Elle montre qu’en m
pliant par le polynome du n lkma degrd
d n (x z — 1 y
la seine inti a
log^
\ x 3 .u® 5 a? 5 ' ' ’ 1 / 1
le produitmanque des puissances —, -b, -E, et il en rd
CC X~“ X ® x^
qu’en divisant F fl (a?) par ~ 1 ■ ” > le quotient, ovdonnt
qm est inleressant eniui-meme, recevra plus tard une application
importante. II met en evidence une propriety entierement caracte-
ristique des expressions d — X y vn ' auxquelles on donne le nom
de polynomes de Legendre, et qu’on d^signe par X„ en posant
^ _ i iy i
11 2 .4.6. . . 2 n dx< L
Ges fonctions, inlroduites en Analyse par I’illustre gdomctre a
1’occasion de ses rechercbes sur I’attraction des sphdroides et la
figure des planetes, sont d’une grande importance, et donnent lieu
a plusieurs theoremes remarquables, dont l’un nous servira de nou-
velle application du procdde de l’integration par parties, fonde sur
la formule
J dx <*+» v ; J dx' 1 ^
oil
0 _ U — —— d "~ lV -4- — d "~~ V _i
dx 11 dx dx ,l ~ l dx 2 dx' 1 -' 1
Soit, en efTet, V = (x -— i)" +1 , en supposant que U soit un
polynome arbitraire de degre />, I’intdgrale du second membrc dis-
paraitra, et nous obliendrons d’abord
r T . d"+-U x-— r)"+ l ,
/ U- ; - —!■ - dx =
J dx "*- 1
.{’observe ensuile que, les ddrivees successives de (a? a — i ) //+f
jusqu’a celle d’ordre /?., contenant en facteur x- — i, 0 s’dvanouit
pour x = i et x = — i, et il en r^sulte que l’int^grale ddfinie
dx ' 1 -*- 1
difference des valeurs de 0 pour x = i et x = — i, est nulle.
Le th£or6me exprime par liquation
n —t- t , telle que J on ait aussi
l
UF ( cc ) dx = o,
on en conclurait, quelle que soit la constante k ,
f UF {x)dx — k f + UX rt+1 dx — o,
J-1 i
ou bien
J + U [F(a?) — /cX /l+1 ] dx = o.
Or, en prenant de maniere que F(#) — /fX H+) s’abaissc
n lL ‘ mi! degre, en posant alors
U = F(a?) — /c X /i+1 ,
nous trouvons la condition suivante :
/;
U 2 dx = o.
Elle exige evidemment que CJ s’evanouisse idenliquemcnl;
autrement, l’integrale ne serait jamais nulle, tous les clem<
etant positifs, etil en r^sulle
F(«) = /fX„ +1 .
INTEGRATION
DES
FONCTIONS TRANSCENDANTES.
Stir I’integrale des fonctions circulaires (Proceedings of (he London
mathematical Society, t. IV, 1872, pp. 164-175).
Cours d’Analyse de I’lZcole Poly technique, 1873, pp. 3 ao- 35 t.
En designant par /(#) une fonction ralionnelle de la vai'iable,
el par/(sin#, cos#) une fonction ralionnelle de sin# el cos#, les
scales expressions, dans le champ infini des quantites iranscen-
danles, dont nous puissions aborder Emigration sont celles-ci :
/(sin x, cos#), e Uix f{x), e <£lt f{ sin#, cos#),
cl nous n’aurons point, pour parvenir a notre but, a exposer des
principes nouveaux, ni des mdthodes propres qui en soienl la con¬
sequence. Onva relrouver, en effet, d’une part la decomposition
en fractions simples, et de 1’autre le procddd pour obtenir, lors-
qu’elle est possible sous forme algdbrique, l’intdgrale d’une fonc¬
tion dependant de la racine carrde d’un polynome. II ne sera pas
toutefois sans profit d’employer ainsi, dans des conditions diffd-
rentes, les mdlhodes qui nous sont dejk familidres; elles recevront
de ces applications un nouveau jour qui en fera mieux saisir la
portde et le caractdre. On verra surtout comment cette recherche
des procddds d’intdgration conduit naturellement k approfondir,
au point de vue de l’Analyse gdndrale, la nature des expressions
( f ‘ #. cos#), ciui ontle tvne des fonctions ndriodiciues, en nrd-
Cours, des fonctions a double periode.
De
l’integrale j' /(
sin a?, cos a?) dx.
1. Nous partirons de la transformation en une fonction ration-
nelle de la quantite transcendante /(sin#, cos#), qu’on obtient ei
posant
e xJ~ — Zm
De la resulte, en effet,
. — t z 2 -+- t
Sin.r = -— - . ■■ cos# = —-->
de sorte qu’on peut faire
/(sin#, cos#) =
Fi (*) .
V(z)>
F(.s) et Fi(/) designent des polynomes entiers en z. Cela posd, j
vais montrer que de la decomposition en fractions simples de I
fraction rationnelle ^.-^y resulte une decomposition en elemen
simples, de la fonction transcendante qui en donnera semblahlt
ment et d’une maniere immediate I’integration. Consid^rant, dai
ce but, la quantite ——
je pose
i qui estle type des fractions simple.
a =
ce qui sera toujours possible en exceptant le cas de a = o, cl
remarque qu’on aura
c’est une consequence, en effet, de la relation
X /—
cot — = y —
mise sous la forme
lormauon au groupe aes iracuons partienes
A A A n
z — — (z — a)>
en un poJynome entier et chi degre n -)-
pouvons faire
cot 2 .
d cot#
dx
mais nous
cot 3 # = — cot#
i d 2 cot#
a d # 2 r
el la relation identique
, . . . i d cot*#
cot /i ' +1 # = — cot /,_1 # — T -;-
k dx
monlre que, de proche en proche, on exprimera lineairement coV 1 x
au moyen des derivdes successives de cotx jusqu’a celle cl’ordre
n — i. Nous parvenons done a ce nouveau r^sultat, savoir
A At A„
z — a (z — af " + " ‘— a )n+i
d cot~(#— -a) d n cot^(# — a)
= C + X cot ~ (# — «) H- , 1 m- An ^ ,
les constantes C, Jl>, „l M , ..dependantlineairement des divers
numcrateurs A, A l? ..A n . Ce point <5labli, je mettrai en Evidence,
si elles existent, les racines nulles du polynome F(s) en faisant
F (z) =z»‘+i(z — a)' l+i (z — b)i>+'.. ,(z—l)s+i t
et je modifierai la forraule gdnerale de decomposition en fractions
simples en reunissanta la partie enti£re du quotient les frac¬
tions partielles en ’ • • •> > de manure k avoir
F^iz) A Aj A,,
F a + il—^ + - • • + (/-■<;)»*"
B B, , B,
+ (*_ 6j 2 + ••• +
sauces entieres, mais posilives ou negatives, de .3. Mainlenanlnous
conclurons de cette formule elementaire, en revenant a la vale in*
3 = e^ -1 , l 5 expression, suivanle de la fonction/(sin#, cos#). La
quantite »f(#), devenant d’abord
a/ce ,cx ^~i = £«/,(cos/ra? -+- "7 sinAa?),
nous donne une premiere parlie, que je designerai par U(#), el
qui en sera considdree comme la parlie entiere. Les fractions par-
tielles donnent ensuite une seconde parlie <&(#), qui, cn posanl
az=e^~, £ = .... I —
aura la forme suivante :
!>(#) = const.-)- cA.o cot-(a?— a) -+-
- lib cot - (a? — (3) -t- alb,
d cot - (a? — P)
d n cot r (ar — a)
di> cot - (a? — p)
■ /cot 7 (a? — X) -f- J/,
d cot - (a7 — X)
d“ cot •- (a? — X)
La determination des coefficients JU, alb, ..., X ,, alb ,, ... ren-
dra plus complete encore I’analogie de la formule que nous venous
d’obtenir
/(sin37, cosa?) = n(a7)-+-<[>(a7),
avec celle de la decomposition des fractions rationnelles cn frac¬
tions simples.
II. Je ferai, dans ce but, en ayant en vue le groupe des coeffi¬
cients eAo, Jl,, ..., eAo/i, # = a-f-/i, et je ddvelopperai les deux
membres suivant les puissances croissantes de h. Or, les series
provenant ainsi de la partie entiere et de cot ^(# — pi), . . .,
avons, en effel,
h*_
36o '
er, corame Ja derivee de h prise par rapport a x estl’unite, on
deduira successivement de cetie relation
d cot - (x — a)
2
dx
d 2 cot - (a? — a)
dx 2
•x i A 2
A 2 6 120
JL_ _
A 3 Go
et, en general, si l’on n’^crit point les puissances positives de h,
d n cot - (x — a)
dx' 1
2
Le developpement du second membre H(x) -h <£(#) sc compo-
sant ainsi (les termes
~h~ ~h? i) J hn+l J
et d’une s^rie infinie de puissances positives de h, nous obtiendrons
les coefficients X, X t , ..X«, en formant la partie du ddveloppe-
ment du premier membre /(sin x, cc.sx) qui est compos^e des
seules puissances negatives de h. Supposons a cet efTet
f [sin (a •+- A), cos(a -4- A)] =z — ~
r . 2 A 2
~1~
1 • 2... re A w
A ,l+I
on aura imm<§diatement
X> — — A, X>)= — Ai,
2 ’ 2
X>/j == — A ,i,
et j’ajoute que, si l’on mulliplie membre a membre l’^galitd pr<§c^~
, d cot-(# —a)
r . h '
- cot - (# — a)-
+ r-.y i T
dx
h a dn cot i (a?-a)
n dx' L
d i cot - (a? — a)
\ dx-
on trouvc pour le coefficient divise par deux, du terme en pre¬
cis ement
A-> cot - (#— «) -f- <Jt>i •
d cot ~ (# — a)
d" cot - [x — a)
dx
- A ft -
dx n
Le groupe total des elements simples , se rapportant a la quantile
■£=aqui rend infmie la fonction proposee, estainsi le denii-r^sidu
correspondant a h= o, de l’expression
/[sin(a -+- A.), cos(ct -4- A)] cot —---
resultat analogue, comme on voit, a un theoreme de Lagrange.
III. Apres avoir jusqu’ici suivi pas a pas la thdorie de la decom¬
position des fractions rationnelles en fractions simples, nous
aJlons introduire une consideration nouvelle qui a son origin e
dans la propriite caracteristique de la transcendante/(sin x, cos a; )
d’etre p^riodique. Je remarque que, d’apres la relation
x
cot — = cot# cosec#,
2 7
la fonction $(#) s’exprime en termes de deux formes, a savoir
/' l cot(# —a) ^ rf rt cosec(#—a)
dx n dx a ’
les premiers ayant pour pdriode u et les autres se reproduisanl en
signe contraire lorsqu’on change x en x + tc. Or, a l’dgard de
H(#) = E«/ r (cosA:# -t- /— 1 sinA:#),
et
0(#) = Sa 2 / r (cosgi/ca; -+- \J— i sin'i/c^)
?)(a?) = S« 2 /t-i-i[cos(a/f -+- i)a? -+- /— i" sin(a/f -+- 1 )#],
en rdunissant d’une part les termes contenant les multiples pairs,
etde l’autre les multiples impairs de la variable, on aura de meme
0(a? -t- tc) = 0(a?), 7) (#-)-•*) =—7j(a;).
De la riisulte la decomposition de la fonction proposee en deux
parties %(oc), H(^), de sorte qu’on aura
/(sina?, cos.r) = 0(a?) H(a?),
avec les conditions
0(a? - 4 - it) = H(a?-t-7c)=—H(a?),
les expressions des nouvelles functions introduites etant
0 (a?) — 0(a7)H~JloCOt(a7 a) - 4 - 0 A 0 \ -4- •
T
ft.
ll
!
. , „ d COt(37 — fi)
-4- 'll!) COt(37 — (2) ~h ll!u -^—— 4-.
, dt>Q,oi(x— P)
dxo
lS , -s . (J d coi(x— \)
■4- 4^ COt(37 — X) -+- 41.1
. 1 .
() d*cot(x —X)
”~ l ~ > '- A dx s
et
, v » , , . ^cosec(^—a)
11 (x) = 7) ( x) -4- X cosec( x— a) - 4 -Xi-^-1-..
n d n co?,ec(x — a)
1 C/ ‘ Vi dx n
„ , . 0 . „ dcos<-:c(3?—8)
H-'li 1 .7Cosdc(a7—[3) - 4 - till i--— - 4 -..
(1 di> cosdc(a?—P)
dxi‘
, . ' ., „ c?cosec(a?—X)
cosec(a; —- - -
^ f cosdc(a7—X)
■ +i ~‘ dx‘
Nous voyons done apparailre deux elements simples dislincts,
cota? et cosec .2 ou appartenant en propre aux fonctions
dont la periodicite est celle de @(x) ou H(#) au lieu de col - ciui
uons rationneues. Kj esc par les applications qu on reconnaura sui
loul l’utilite de ces distinctions et, pour commencer par un c;
facile, i’envisagerai d’abord la fonction ---
’ >* 0 cosa — cos#
J’observe en premier lieu qu’en introduisant la variab
z = e x ^~ l , il vienl
I __ 2Z
cosa — cos# %z cosa — i—s 2
Or, les racines du denominateur sont evidemment les quanliti
le numerateur est seulementdu premier degre ; ain
la partie entiere II(s) n’existe point, et nous aurons
cosa — cos#
Calculant maintenant les residus pour x = a el x = — a, j’oi
tiens les quantites
sina
el, par suite, en divisant par 2 les valeurs
de sorte qu’il vienl
cosa — cos# 2 sm
ma \
On trouve d’ailleurs sans peine que C= 0 ; mais voici, pour cl
cas moins faciles, une determination directe et immediate de cei
constante. Supposons, en general,
F t z \
/(sin#, cos#) =
F(s) ne contenant point le facteur z et etant de degrd au moi
egal a celui de F ( (z), la partie d^signde par <&(x) existera sei
/(sin.r, cos a?) = C -H Jb cot - (a? — a) -+- Jbi
li cot •- (x — fi) -+- lilii -
d cot- (x — (3)
-1--C cot - ( 2 ? — X) -4- .£t
d cot - {x — X)
Or, je dis qu’en appelant Get H les yaleurs de pour z nul
el infini, on aura
En elfel, la relation
G = i(G-MI).
x — ol /- 6 KJC a ' v 1 -4- r y- ze a v 1 H— t
cot-= \f — i-—- = y — i-=-
OcW —1 | jr q —a v/— l j
fail voir qu’en supposant z nul el infini. toutes les quantiles
col - - - - - se reduisent a — \J — i et -)- \/ — i; elle montre aussi
que leurs ddrivees des divers ordres s’dvanouissent; nous avons
done
G = C — (<JU -+- ii*) -+-... -+• -G) \/— 1 1
II = C-hC^-h il!,+...-i-0 t/ 17 *,
et, par consequent,
G — I I /— ^ Gh-I-I
cAs> —t— lili —i- • •. -+■ -1 — -v — t, G — .
^ U 2
Dansl’exemple considere tout a l’heure, on Lrouve sur-le-champ
G = o, H = o, de sorte que C est nul coinme nous l’avons dit.
Soil, en second lieu, l’expression
les nombres m et n dtant entiers. Si I’on suppose m > n, on voit
tant de cette identite
je prends pour k l’entier iinmedialemenl superieur a ---,
sorte qu’on ait
z etant positif et moindre que I’unite. li en resulie quo
i)n — m = izn et m — (ik — i) n — ’i(\ — z) n\
ainsi, dans la fraction da second membre, ie numeraleur esl
degre inferieur au ddnominateur. L’idenlite employee se veri
d’ailleurs sur-le-champ, car, en remplacanl z par l’exponeulie
elle se transforme dans l’equalion bien connuc
sin m.x
sinna;
= % cos (m — n ) x -+- % cos (m — 3 n) x . . .
-+- 2 cos[m — ('ik
— i)n ].» —
sin(2/:/i— ni)x
sin rtx
Nous obtenons ainsi
II (x) = 2 cos (m — n)x -4-2 cos(m — 3 n)x -+-...4- 2 cos [m — (2 k — 1)/
et
ou simplemenl
en supposant maintenant m inferieur a n , en valeur absolue.
Cela (itabli, les racines de l’equation z- n — t = o sont donn
par la formule 5 = e 11 * \ /rprenantles valeurso, 1 , 2 , 2 a —
et si l’on fait a = — , le riisidu de lafonction - , n — 1 - ■■■ correspond
rt sm/i* 1
, sin/na ( — 1 ) k sin /?ia ,
aa: = a sera -= -—=- : —: et n u bL no is. nar en 11
*(*) = —
s\n(-.i Jen — m)r
$(x) = -
Mais ayant
sin n x
— > (—i V c sin ni a col - (x — a).
in ‘ i
<i>{x -+- n) = (— iyn+n
la fonction appartienclra & l’espece &(x) on H(a?), suivant que
m-\-n sera pair ou impair, de sorte qu’il vient, pour le premier
cas,
sin nx
sin mx
= ~ 1 — i)* sin/na cot(ir — a),
et pour le second,
sin/?ia;___ i (— i ) A sin /na
sin/i# ■iiijLu sin(# — a)
Or, dans les deux cas, les lermes des sommes qui correspondent
aux valeurs k et k n sont egaux; on pent done, en doublant, se
borner a prendre k= i, — », le residu relatif k k=o
dtanl nul.
Soit encore l’expression
cot(r — a) col (x — p) ... cot (a; — X);
en ddsignanl par n le nombre des quantiles a, [3, ..., x, X et faisant
a — e CL 'f-'^ b = e^~\ ..., /= on aura, pour transformde
en -s,
/ - w (a* + l*)
^ (32 — a*) (** — 6*). . .(z*— l*)‘
On voit que le numerateur et le ddnominaleur sont de mdme
degrd; ainsi il n’existe pas de partie enlibre et nous avons seule-
ment a calculer <t>(.z). Or, les in racines du ddnominateur sont,
d’unc part, « 2 a ' /_1 , e^ -1 , .. e ) ' v/_1 , et, en outre, ces mbmes quan¬
tities changdes de signe, c’esl-a-dire giX+iriyZ-i.
d’ailleurs, ayant <]> (x + tc) = <t> (x), la fonction proposde appar-
tient au type &(x) et ses dldments simples, oil ligurent les argu¬
ments a et a + Tt, 6 et (3 +tc, ..., se rdduiront a ceux-ci*:
cot(x — a 1 ), cotl# — S'). cotfa?—X).
$(#) = C ~r~ <-X> cot(o? — a) 4- llii cot(or — [i) -4- .. .4- cot(o7 — X),
al., ill), -i^etantlesresidus de<h(.2?) pour.r = a, x—fi, ..., ,x = X )
c’est-a-dire
4\d = cot(a — [3) cot(a — y). . .cot(a — X ),
lib = cot ((3 — a ) cot( j3 — y)...cot( (3 — X ),
£ = cot(X — a ) cot(X — (3).. .cot(X — x).
Enfln la constante C s’obtient par l’equation elablie page 63,
C= ^ (G H), au moyen des valeurs
g=(-v^) b ,
cpte prend la transformee en s, pour z nul et infini, cc qui donnc
simplemenL C = cos
On traitera de la mcine maniere l’expression plus generate
F(sina 7 , coso?)
sin (o? — a) sin(o7 — ( 3 ).. .sin(o? — X)
ou le num^rateur est un polynome enlier en sina; et cos#, et, s
nous supposons qu’il soit homogene et de degrd n —i, on sen
ainen^ a la relation suivante :
F(sino;, cos.r)
sin (a? — a) sin(o?— [ 3 ;.. .sin(o7 — X)
_ F(sin a, cosa) r
sin (a — ( 3 ) sin (a — y). . .sin (a — X) sin(o? — a)
F(sin( 3 , cos( 3 ) I
-t_ sin(J 3 — a) sin ((3 —■ y).. .sin ([3 — X) sin(o? — [ 3 )
F(sinX, cosX) i
sin(X — a) sin (X — (3). . ,sin(,X — x) sin (o? — X)
Nous en ddduirons, en chassant le denominateur,
sin (a — [3) sin (a — y)..
sin(o? — a)sin(o? — y)..
— r— -T—- F(sina
. sin(a — X) s
.sin(07-X)
, cosa)
, cos (i )
sin( [3 — a) sin ({3 — y). .
• sin(P -X) 1 ( “ in p
sin(o? — a)sin(o? — )..
. sin f a? — x'l _ . . .
resultalqui se rapporle a la thdorie de ^interpolation comme don-
nant l’expression de la fonction F(sin.r, cos#), ou entrent n coef¬
ficients arbitrages, aa moyen de a valeurs qu’elle prend pour
x = a, x = [3, ...,# = X.
V. C’est pour obtenir 1’integrale de la fonction Iranscendante
/(sin#, cos#) qu’a etc dtablie la formule de decomposition en
elements simples, dont je ne multiplierai pas davantage les appli¬
cations; sous ce point de vue, voici mainlenant les consequences
ik tirer de la formule gendrale
/(sins?, cos#) = Il(#) -(-<£(#).
En premier lieu, et & I’egard de
I-I (x) — Say/cosA# -I- /— i sin A#),
nous observons qu’on a
a? sin A# , , dcoskx . . ,
--- = AcosA#, - ; -=—A sin A#,
dx ’ dx
d’ou, par consequent,
/ , , sin kx r • 7 , cos A#
cos kx dx — — -j — , I sin kx cLx — - j —•
Ainsi l’integration rcproduit une expression de undine forme que
la fonction proposde, sauf an terme proportionnel a la variable pro-
venant de la partie constante qu’elle peut contenir.
Soil, par exemple, II(#) = cos"#; I’egalite 2Cos,r = -——
donnera, en 1’eievanl & la puissance n, et rapprochanl les tenues
dquidistants des extremes,
1 n cos' 4 #
\
Distinguons maintenant les deux cas de n pair et impair; nous
aurons, dans le premier, avec le terme constant,
•2 n ~ l cos' 1 # = cos nx h -cos(n— 2)# 4-
n (n — 1)
cos (n — + - • •
1.2
68
OEUVBES DE CHARLES IIERMITE.
el, par consequent,
2”- AOS'** dz = + - ? in(,l ~ a)j +
J n i n — 2 i . ■•>. n — 4
1 n(n-i)... (j+i)
— 4 )oo
dans le second, il viendra
2' 1 - 1 cos' 1 a; = cos/i# 4- — cos(n — 2) # 4- -— cos(/z — .{)# -
cos#,
d’ou celte formule ou la 'variable ne sort plus du signe sinus
_, C „ , sinn.r n sin (n — 2)#
2 "- 1 / cos "x dx — -!-‘---4.. .
J n in — 2
On traitera de m^me Texpression plus gendrale
sin a .r cos 6 #
' z -— 1
s -xz /— I
mais I’integrale j sin a cos b xdx s’oblient encore par un autre pr«
cede fonde sur l’identite suivante :
sin®- 1 # cos 6 -*- 1 #
- — - = (a — 1) sin® -2 # cos 6 + 2 #— (b 4- 1)sin®#cos 6 #
= (a — 1) sin“~ 2 # cos 6 #(i — sin 2 a;) — (64-1) si n«# cos'
— (a — t) sin®- 2 # cos 6 # — (a 4- b ) sin®# cos 6 a?.
id ^udiuite
a celle-ci
J sin a x cos b x dx
J' sin a -- 2 «cos 6 x dx,
oil n esl un entier quelconque. Si Ton suppose a impair, le cal
est lermine, car, en faisant a = 2 n-hi, on obtienfc immedb
ment
f sina;cos b x dx z= — .
J 6 + 1
Dans le cas de a pair, nous prendrons 2 n = a, et Ton oper
ensuite sur 1 integrate j' cos b x dx , au moyen de la relation
b j'c.os b x dx = (6 — 1 ) J^cos b ~ 2 x dx -+- sina; cos 6 " 1 a?,
qui ramene, soit k Jcosxdx = sin 3 ;, soit a Jdx = x.
En consid^rant en second lieu l’expression J $( 3 ?) dx, j’ecri
pour abr^ger, comine a propos des fonctions ralionnelles, p. I
= C+ 2 ai b col ^( a? —
d n cot * (x — a)
d cot ~(x — a)
maintenant on voit comment la composition de cette formule cc
duit immddialement au rdsultat. Nous n’avons, en effet, qi
determiner la seule integrate J" cot^(# — a.) dx ; or, on a
x a cos ~(x a) log sin I (a; —a)
et, par consequent,
r.
x — a
de sorte que
J$>(x) dx — Cx -+- 2eta log sin ~ (x — a) 4 -^V^ eAoi cot -(a? — a
d n ~ x cot - (x — a)
Les relations
Q(x) <Jta.cot(a;— a)-+-^Jloi
d cot(a; — a)
clx '
H(a?) JU cosec (a? — a) 4-^ «
d cosec (x — a)
donneront pareillement
j *0 (x) dx «Ro log sin (x — a) 4-^^ <JUi cot (a? — a) -1- . . .
2 a?"— 1 cot (a? — a)
“'•»—’
J' H (x) dx A log tang ~ (x — a) -t-^ dUi coscc(;r — a)
c?"- 1 coscc( x
+Z Xn - d^T-
En eff’et, nous avons deja
J' cot(a?— a) dx = log sin {x — a),
et, quant a l’integrale
J' cosec(a? — a) dx = J'-
elle s’obtient, soit par liquation
) = 2 [ lan Si^ — a) 4-cot ^(a? — a)J,
5in(.r — y.)
d’oii
= J ~ =logi = !og tang i (a; —a).
sin (x — a)
Voici quelques remarques sur ces rdsultats.
Vf. Les expressions qui, en deliors cles termes logarithmiques,
clcot(x — a)
<Jloi cot (x — a) •+• oAd 2 ^
Jto„
d' l ~ l coljx — a)
dir."- 1
cl cos^c (x — a)
<JUi cosec(a? — a) -4- ^-
- Jlo/i
d cosec(.r — *)
dx' l ~ x ’
composenl, avec diverses valeurs des conslanles -to et a, les inLe-
grales j'®(x)doc, £ H {x)dx, onlrespectivement lamfime perio-
dieite que 0(>) et La premiere, commc on I’a vu au para¬
graphed dquivaul k un poljnome enlier dn degre n en cot(a? —a),
la seconde donne lieu a la transformation suivanle. SojL, pour un
moment,
cosdc(a? — a) = « cl cot(a; a) — t\
nous remarquerons qu’on peut dcrire
\ dt
u =— sin (a? — a)
de sorte qu’il vient successivement
a i/i d ® t . \ dt
- =— sin (a? — a) -j—r — cos (a? — a) -
dx ax' 1
‘ dx
dx'
et, en g^ndral
d*u . , s f d* t dt \
= - S .n(*->)( ss - S I
dn
-acos(ar —
dx k
u . , , r d k+ 't -f- 1
— — — sin (a? a ) [y^/c-1-1 1.2 ‘ l " J
. f/c d'n /c(/c — i) (/c — a) d
a ) [ i i.a.3 da?*-* ‘ ’ J
- cos(a? -
OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.
I en resulte qu’on peut donner a l’expression
d’abord la forme
. . . /_ d>‘t d"
sin(ar a) I G -7— -+- G| -7-
- cos (a; — a) ( H
dx' 1 dx "
d'‘~ l t
les coefficients G et H etant constants; ensuite celle-ci
sin (a: — a) F(i) cos(.r — a) F t ( t ),
en designant par F(^) et F ( (<?) des polynomes en L dcs dcgrdi
n -b 1 et n) enlin au moyen des valeurs
cosf x — a) = -
, . du
Xl U ~t~ oiv'2 ~
d ' l ~ 1 u __ 3(1)
ce nouveau polynome 3(t) etant du degre n H- i. Sous ces form<
nouvelles, les quantites qui entrent dans les deux integrales soi
parfois d’une determination plus facile, etj’en donnerai quclqu
exemples.
Soit d’abord I’intdgrale
j"cot n+i x dx,
l’exposant n etant entier et positif; d’apres la metbodc genera
on posera
cot' i+1 a; = C -+- -jlo colz -t- X,
et les coefficients s’obtiendront, soit au moyen des relations
sdrie
x 3 45 *‘’
et subsliluanl dans 1’equation pour identifier.
Or, la variable cota; = £, qui esl indiquee par la forme connue
d’avance de l’inlegrale, en donne facilement la valeur, car ajant
r , r dt
I cot "^ v xdx— — / - -1
J J 1 t -
il suffira d’extraire la partie entire de la fraction si tl est
impair, on formera ainsi l’egalitd
- I) 2
(—OJL
d’oii
.0
et, par consequent,
’ t.' 1 ^ dt _ ij_
1 -H / 2 “ n
- —.. .4- (— 1 ) 2 t — { — 1 ) 2 arctangZ,
/'
cot"' H x dx — —
col".r cot''
e.ot"- /f .r
n — 4
— (— i)~cot.r — (— 1 ) 2 x.
Dans lecas de n pair, il viendra semblablcment
^- 1-1
1 -1- t‘ l
on en conclura alors
j' c.ot H+1 x dx -
= — //*•—a h_ tu~
- (— 1 ) 2 t ■+■
1 -M 2 '
col." a? cot"~ 2 ,r coL n ~ 4 a?
+ (-!)=
n — 1
cot, 2 a?
- — -»
-+- (—i) 2 log sin a;.
Rapprocbanl ces rdsultats cle l’expression donnde par la mdthode
general c, a savoir :
J' cot"" 1 ’ 1 x dx — Ca? •+• 0 A 0 log sin x eil>i cot a?
cAo n —
dcr' 1 ” 1
sant sin# = X dans la formule gdnerale
Jdx = C#-f- 2 ^ Jla log sin ^(x — a)
c?"- 1 cot - (cc — a)
i cot - (# — a) -K . .-f- >. -
la partie transcendante est donnee par les terraes C# et
f cot d (x — a) dx — 2 log sin ^ (a? — a),
dont le dernier prendra la forme suivante. Soient
Y = </1 — X 2 , a = sin«, b = cosa,
- (x — a) dx = f ———— dx -
2 J r — cos(37 — a)
bX — a Y dX
-aX-b Y Y ’
de sorte qu’au lieu de la fonction de troisieme esp^ce amende pi
la methode d’integralion des radicaux carres, a savoir :
. / i — ax — b v
nous sommes conduits a la quantity
bx — aydx..
--— log(r — ax — by).
— ax — by y 0 J 1
Mais j’arrive, sans insister sur ce point ('), a une demicro <*.<
sideration, a la determination de l’intdgrale ddfinie
/ f( sina;, cosa?) dx.
(‘) On a, d’une maniere plus gdndrale,
C (cb ' — be’ )x +( ac' — ca' )y + ab' — ba’ dx , ax - h by -I- <
J (ax -+- by -+- c) {a 1 x b' y -+- c') y ~ a' x h- b' y -t- <
et I’on doit r marau
tic lit
/(sin x, cos a? = II(a;)-t- < I>(30,
j’observe d’abord que la fonction devra elre finie pour Loutes
les valeurs de la variable comprise de zdro a 27c, c’est-a-dire quel,
que soit x, puisqu’on a <D(a? 2 -rt) = <£(#); ainsi dans les ele¬
ments simples col^(#— a), aucune des constantes a ne sera
rdelle. Ceci pose, les terines periodiques de Tintegrate indefinie
des fonctions II(a?) eL <E>(a?), reprenant la meme valeur aux limites
x = o et x — i'x, ne figureronl point dans lc rcsultal, et nous
aurons seulement a considdrer le terme Cx, ainsi que la parlie
logarithmique ^ <Jla log sin ~ (x — a). Du premier rdsulte immddia-
tement la quantity Care; mais les termes transcendants demandent
une attention parliculiere. Comme dans le cas plus simple de
I’expression
dx
l
X O. & y I
la relation
- (x — a) dx — i log sin
ne determine pas sur-le-cbamp, a cause des valeurs multiples des
logarithmes, l’inldgrale ddfinie prise entre des limites donndes x 0l
Xii et j’indiquerai d’abord de quelle maniere on y parvient avaul
de supposer x 0 ~ o el x { = i tc.
Soient
* = 0 + 4/17, sini(a? —a) = X+ Y
Envisageanl X et Y comme les coordonnees OP et MP d’un
point M rapporte (i deux axes rectangulaires Ox et Ojk, je figure
la courbe MM 7 qui sera le lieu de ces points lorsque la variable x
croilra de x 0 ik x K . De cetle manidre, le rayon vecteur OM = R el
Tangle MO# = 9 seronl, a partir du point M, correspondant a
# = #„, des fonctions continues entidrement ddtermindes de la
variable x. Remplagant done cot^ (x — a) par la ddrivde logarith¬
in ique de
maintenant on a, sans aucune ambiguity.
/;
; dK
R :
logOM'— log 0.VI,
r^o=
WOx — MOa,
el l’integrale proposee se trouve determinee. Mais arrivons a
limites zero et 27:; si nous faisons pour un moment
nous aurons
e*H-I
e b — 1
ie-
d’ou
X = Asin-(a? — a), Y=—Bcos-(a?— a),
2 v J 2
X- Y2
de sorie que la courbe MM' est une ellipse. Remarquant qu
est toujours positif, je distingue deux cas, suivant que B \
positif ou ndgatif. Dans lc premier, je pose
d’ou
X = A cos to, Y = Bsincp;
eela etant, lorsque x croitra de zdro a 2 it, celte ellipse sera de
dans le sens direct depuis un point M {Jig. 3 o) jusqu’au poin
situe sur le prolongement du diametre OM. En second
lorsque B est negalif, je fais
SC — a __ 7T
2 “ 2 ~ C? ’
ce qui donne
X=Acostp, Y= — Bsincp;
c’est alors du point M au point la seconde moitid de la cc
M' O x = MO x -+- -;
clans le second, au contraire, il ddcroil, el nous passons de la
valeur MO x a M / Oa? = MOa; — n; les deux rayons vecteurs OM
ct OM' sont d’ailleurs egaux, ce cjui fail disparaitre la partie loga-
rithmique; par consequent, en designant par (6) une quanlite
egale a l’unitd en valeur absolue el du signe de b, nous aurons
pin _ _
/ cot-(a;— a — b \J — i) dx = o.(b) \/ —i.
Jo 2
Voici quelques applicalions de celle formule :
Posons
X=«v/=7
dans la relation
2 sin X __ x — X _^ x -+- X
cosX — cos.-/; — 2 2
£tablie page 62, et soil a = e a ; eile prendra cette forme
2(1 — a' 1 )
1 — 2 a cos a? -
x — a y/—' 1
et nous en conclurons successivemenl pour a < o el a ;> 0, c’esl-
a-dire en-supposant a<i et a >» 1,
J, ■—
(r — a 2 ) dx
r
(1 — a 2 ) dx
Le second cas se ddduil d’ailleurs imm^dialement du premier
par le changemenl de a en
Soit encore 1 ’expression plus g^n^rale
cosma:
cosX — cosx
m dtant un nombre entier quelconque; en faisant
e x^l — 3)
Z 2W_1_ ,
, xz cosX -h £ 2 ) ’
elle devient
CL UU11L1C111 JJCll CUllSCLjUCllL UUL JJCUIAC LUULiL LI 1
Je pars de ces deux identites, faciles a verifier,
sinX
—- = sinX -+- z sin 2 A -+- z- sin 3 X -
. , sin mX — z sin (n
sinX sinaX sin 3 X^
sin/uX 1 z sin (m -+- [)X — sinmX
et je les ajoute membre a membre apres avoir divisd la p
par .s' 71-1 , et multiplie la seeonde par z m+x ; il vient
(z- m - t- [) sinX
z wl_1 (i — iz cos-i- z-)
(z" l -i ) sinX -+- (^ m " 2 -i- z' 1 ~ m ) sin
(z -+- z~ l ) sin(/n — i)X -f- sinmX
z f sin ( m -i- 1 )X — sin ( m — 1)X ]
1 — 2-3 COS X -t- 3 2
et, par consequent, si I’on remplace z par l’exponentiell'
nous aurons
cosma? sinX
cos a; — cosX
n(ar)- 4 -
cosmX sin X
cosa; — cosX
en faisant
7 r(a?) = 2 sinX cos (m — i)a? 2 sinaX cos(«i — a)a; .
-+- 2 sin(m. — i)X cos 2? -j- sinmX.
Le terme constant de la partie entiere est sinmX; on
clura, en faisant coniine plus haut, X = a sj — 1, e a = a.
donne
et
sin mX =
1 — aP- m
2 a " 1 y/— r
, 1 a-' n
cos mk — -—
2 a m
X n (1 — a- ) cos m x dx
-— = 2t ta" 1
1 — ia cosx -+- a 1
X 2Tt (r — a-)cosnixdx nz
r — 2acosa?-+-a 2 ~~ a ,n
pour a < 1,
pour a > 1 .
Je considere en dernier lieu la quantity
sin 2 #
(cos\ — cos x) (cos |J. — cos#)
en posant
2 oAo =
sin X
COS (JL — cosX
I -+- Jlo
-t- a)'o
2 Db =
sin (jl
cosX — cos [JL
Faisant encore
a — e a , b — eP,
nous trouverons, en nous bornant, pour abrdger, au seul cas de
a< o, P<o,
X
4 ab sin 2 a; dx
(l — 2«C0S^H-« 2 )(l-2& cos#-+- b 2 )
= — 2tt — (-jlo ■+■ iib) 4 it y/—■ i;
or, on a facilement
■A, -+- all
f ^—- i -h
d’ou celle formule
X
sin 2 # nf#
(r — la cos# h- a 2 ) (x — %b cos# -+• 5 2 )
TT
I - ’
qni donne nn r^sultat important en d 6 veloppant, les deux membres
suivant les puissances de a et b. Si nous emplojons, k cet effet,
les relations
( — 2 a cos# -+- a ' 1
= sin (m 1)#,
sin#
1 -+- 2 b cos # 6 2 ~ jL J
sin(n -+-])#,
oil m et n reqoivent loutes les valeurs enti&res de z< 3 ro a l’infini,
on parvient a l’^galitd suivante :
a ln b ’> 1 J
sin(/n-+-i)#sin(n-|-i)# dx = tt (1 -+- ab H- a 2 6 2 . .)>
dont le second membre ne renfenne que les puissances du pro-
sin mx sin nx dx =
c
lorsque m et a sont differenls, tandis qu’il vient, si on
egaux,
f
0
sin 2 ma? dx = tt.
On trouve d’ailleurs directement ces relations au
idendtes
2 sin mx sinn x = cos (ni — n)x — cos( in n)x
i sin 2 /??x = i — cos2 mx.
qui donnent les integrales ind^fmies
/ sin
mx sinna? dx =
sin(/?
- n)x sin (//
/ . x sin-2/nx
sm -mxdx= ---;
2 /, in
et, par suite, comme on voit,
X 2TC ~27t
sin mx sin nx dx = o, / sin 2 in x dx =
J o
En partant de celles-ci :
2 sin mx cos nx — sin (m n)x sin (in — n)x
2 cos mx cos nx = cos(m -+- n)x -+- cos(m— n)x
nous aurons semblablement
r 27t
/ sin/na? cos na; dx = o,
m£me dans le cas de m — n, puis
/ cosma? cosna; dx = o, / cos 2 mx dx =
«^o o
Ces integrales defmies, qu’on obtient si facilement,
comme nous allons voir, k d’imnortantes cons^cru nc <
positives d’une ou de plusieurs variables ont pour caractere essen-
tiel d’etre continues lorsqu’elles sont convergentes, et c’est en
admettant cette condition de continuity qu’elles ont et£ employees
dans les applications g^omdtriques, et en particulier dans les theo¬
ries du contact et de la courbure des lignes et des surfaces. Mais
1 ’analyse conduit a des series d’une autre nature, qui, tout en res-
tant convergentes afin d’avoir une limite determinee, ne sont plus
necessairement continues, et peuvent, lorsque la variable croitpar
degr^s insensibles, representer diverses successions de valeurs
appartenant a des fonctions de formes tout a fait diff^rentes. Un
premier exemple en a deja ete donne, et nous avons vu qu’en
faisant
f(x) — sina? -+-
sinSa? ^ sin ox
on a
/(*> = J’
lorsque la variable est comprise entre 2mr ct (2 n -f-i)ir, Landis
qu’on obtient
/(*)=- T
■4
quand on la suppose comprise entre(2 n — i)tt et 2n.Tr, n etant un
nombre entier quelconque. Or, ce rdsultat se rattache a une for-
mule gendrale donnant un nouveau mode d’expression des fonc-
tions d’une grande importance en Analyse, et que je vais indiquer
succinctement.
Soit $(x) une fonction donnde entre les limites x = a, x = b,
avec la seule condition d’etre toujours (Inie; la suivante :
f{ X ) = + ^r 37 )’
le sera de inline depuis x = 0 jusqu’& x = 2 tc, et l’on prouve
qu’elle peut se reprdsenler de la manure suivante :
f(x) = Ao + Aj cos# -h A 2 cos2# -t~.. X. /n cos mx -f-...
ment se determinent les coefficients. Le premier s’obtienl en mid
tipliant les deux membres par dx , et integrant entre les limiu
zero et 2 7 t; ayant, en efiet,
/
^0
cos mx dx — o,
f
sin mx dx = o,
il vient ainsi
a 0 = rVc
^0
x) dx.
J’opere ensuite d’une maniere analogue en multipliant succe
sivement par les facteurs cos mx dx , sin mx dx) les relations pr
cedemment etablies, a savoir :
r
cos mx cos nx dx = o,
r
cosm* sin nx dx = o
montrent que l’inldgration entre les limites zero et 2ix elimine
tous les coefficients de la serie, sauf A /;i et B m , qui seront respc
tivement multiplies par les quantites
et nous trouverons, par consequent,
izk. m = I f(x)cosmxdx, tiB/,,— f f(x) sin nix dx.
do d 0
C’est cette expression de A m et B m , au moyen d’integrales di
nies, qui donne le moyen de s’afiranchir de la condition de C<
tinuite que suppose absolument le mode de determination i
coefficients de la sdrie de Maclaurin
/(*) =/(x.) + + 1 x *** -
(‘) Je renverrai pour la demonstration rigoureuse au Mdmoire cdldhrc
Dirichlet, sur la convergence des sdries trigonometriques qui servenl & re
senior one fnnrHnn arhitraire ontro rloc Ar.-nr.inc t rr.,.n„r,i yin n
/ •*’l pl-K
fi(x)dx-+- / / 2 (a?) dx -+-...-+- / f n (x)dx,
J x x ^.**,1—1
7tA m = / /[ (a?) cos ma? dx -+- / f^(x) cos mx dx.
do d
.271
-+- / f n (x) cos mx dx,
7rB / „= I f i (x) sin mx dx ■+• I (x) sin mx dx-h.. .
d Q d Xi
/ 27T
f„(x) sin nza; cfo?.
Une circonstan.ce qu’il importe aussi de ne pas omettre, c’est
qu’a la limiLe de separation de deux inlervalles, pour x = x { , par
excmple, la s^rie ne pr^sente point l’ambiguitd de la fonction et a
pour valeur -[/< (x { ) - J r f»{x { )]; mais je me bornerai k dnoncer
ces rdsultats et k en faire l’application au cas d’une fonction f(x)
successivement ^gale ii + -7 entre x = o, x = tz, et a — y entre
4 4
.r = ix, x = 2 tz. On trouve alors iminddiatement A 0 ==o; obser-
vanL ensuile qu’on a
X
cos mx dx = o,
X
2 7 T
cos m x dx = 0 ,
nous en concluons semblablement A. w =o; enfin les expressions
. , 1 — cos m tt . , cos nnz — 1
sin mx dx = -> / sin aa? = -
m m
tiB,
2
1 — cos m 7r
m
donnent
/(#) = sin#
sin 3 # ^ sin 5 #
comme nous l’avions obtenue par nne autre voie.
i l’integrale J e w - r /(#) dx.
I. Je me fonderai sur cette remarque que l’expression
_/ A » dit d 1 u
‘“r +4 '5 +A! &
ou u est une fonction quelconque de x, prend, si Ton pose
la forme suivanle :
. . dv . d-v „ d n \
cAfl 9 -H ciUi - b~ cAi>2 —£ ~4~ . . . -4“ (JU/i —
En effet, nous avons successivement u = e~
iv \ d^u /
=e “*('
(0 2 P — 2 10 —;-1 ;—r ) y
dx dx 1 /
et la substitution conduit au resultat annonce, les quantiles <-, 1 -,
X,, ... ayant ces valeurs
<JU = A —Atu>-t-A 2 io 2 —A 3 io 3 -i-...,
^^Aj-iA.io + SAsw 2 -..^-^,
d to
n A ok i d- cAb
G/V92 A 2 ' <3 A3 to —. , . = — y
qu’on obtientdirectement comme il suit. La fonction u etanl quol-
conque, faisons en particular u — e hx ^ on en conclura c= ein+hu^
et la relation
.»(a« + A,^+A«£if-
V dx dx 2
= JU,f» -l- cfto, ^ JL„-
teur exponenuei.
A-t- A t A 4 - A, A 2 4-.. . + A n k”-
— ciU 4- Jla i (co 4 - A) 4 - JLq (co -+- A ) 2 4-... 4 - oRd „ (to 4 - A ) n .
Changeons maintenant h en h — to; nous en concluons
A -+• Aj(— to 4- A) 4 - A 2 (— to 4 - A) 2 4-. . .-4 A /t (— to 4 - h) n
— Jlo -+- o/'lui A -+- <sAo2 A 2 —i—... —[— JU/j A' 1 ,
et l’on yoit que le ddveloppemenl du premier membre suivant les
puissances de h donne bien pour les coefficients Jin, <vl M , ... les
valeurs prdcddemment oblenues.
Cela posd, nous tirerons de la decomposition en fractions simples
de la fraction rationnelle f(x) la transformation suivante de Pex-
pression e t * x f(x). Soil, a cet effet, en ddsignant la partie entidre
par F(^c),
f(x) = F(a 7)+2
A
x — a
1 (x — rt) 2
A „
(x — a)' 1 '
ou plutdt, apres avoir modifid convenablement les conslanles A ( ,
Aa, ..., A„,
f{x) = F(a?) 4-^? A (x — a) 1
+ 2 >
d(x — a) -1
dx
-- 2 >
d"(x — a)~ x #
dx n *
je ferai, cl’aprcs la remarque prdcddente,
e u>x j\(a? — a)- 1 -4 Ai C ^ X ' r j^ -4.. .4- A /t -
Or, en ajoutant membre t\ membre les relations de mdme nature
mil rorrAsnnnrifm f nnv livers o-rminia r1i» fractinns <imnlp rm
ou ies quantites ——- se montrent comme ayant, a 1 ega
fonclion transcendante e 0 iX f(x) ) le raeme rdle d’eldments
que les fractions par rapport a la fonction rationnel
II en r£sulte que l’int^grale J' e w - r f(x) dx se trouve e
d’une part au moyen de celle-ci Je^ x F(x) dx, precec
obtenue sous cette forme :
en second lieu, par les expressions egalement explicites
et, enfin, par la quantite
J"e“> x (x — a ) _1 dx.
ou figure au fond, comme nous allons voir, une seulc e
transcendante.
Soit, a cet effet, pour un instant,
, . r e~ dz
en faisant
on aura
d’ou
— a)]= J
r dx
/ - — gua 0
J x — a
e u>a — «)],
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES.
89
et, par consequent,
La transcendanle j' - - - -- > si l’on fait e z —x, prend la forme
/ dx
iogr et rG ^°^ t denomination de logarithme integral. On a
demontre l’impossibilite de la represenier par des combinaisons
en nombre fini de fonctions alg^briques, logarilhmiques et expo-
nentielles, d’oii rdsulte qu’on doit 1’envisager comrae un ^Idment
analytique sui generis, dont la notion premiere s’est oflerte, ainsi
que celle des Iranscendantes elliptiques el abeliennes, par la voie
du Calcul integral. Elle a ele l’objet de nombreux travaux, mais
nous nous bornerons a mentionner a son dgard une propriete sin-
guli^re qui en montrera le rdle dans rArithmdtique supdrieure.
Elle consisle en ce que l’intdgrale deflnie donne approxi-
mativement la valeur N du nombre des nombres premiers compris
entre a et b, l’approximation eianl d’autanl. plus grande que b est
plus grand par rapport a a, el etant ainsi caraclerisde que la limile
du rapport de l’intdgrale au nombre N est I’unitd pour b infmi.
II. 11 existe une infinite de cas dans lesquels l’inlegrale
/
euxf(x) dx
s’obtient sous forme finie explicite; il suffit pour cela que les
diverses conslantes A, s’^vanouissenl. J’ajoute que ces conditions
sont necessaires si l’on veut que j*e UiX f{x)dx s’exprime au
moyen d’une fonction rationnelle mullipli^e par e u>x . II estaisd, en
elTet, de reconnaUre 1’impossi.bilitd d’unfe relation de la forme sui-
vante :
2 */
e^ x dx
x — a
e<* x $(x),
stantes JU; aussi nous allons en donner une determination nou-
velle, en deduisant a lafois et directement de la formule
e<^ x f{x) = e^ x V(x) X[e^ x {x — a )~ij
le groupe de coefficients <JU, X,, .<JU„.
Soit a cet effet x = a + h\ developpons, comme lout a 1 ’heure,
suivant les puissances negatives; posons
e uih f( a -l- h) = A h~ l -+- A
dl i-i dh-*
dh " + " 2 dh- ~ t_
d’oii, par consequent,
«““«+«/(« + /O = (aa-i+ At ^! + Aj ~ .
Or, dans le second membre, les termes en ••• ne peuvent
provenir que de la quantite e“> x (x — a)~ l et de ses derivees, qui
donnent, en effet, en negligeant les puissances positives,
e^ x (x — a )- 1 =e MI( /r l + ...,
d_
dx
[e u>x (x — a)~ l ] =
, d/i-‘
dh
attendu que la d^rivee de h par rapport a x est l’unite. L’expres-
sion suivante
e“ a (oHe/i-
dh~i d*h-t
_ h-
represente, par consequent, la portion du ddveloppement du
second membre qui renferme les puissances negatives de h : el
l’on Yoit qu’on a
Jl> = A,
cJU i = Aj,
tJloa “ A;
et prenons
on multipliera le d^veloppement de l’exponentielle
i -+- (a b)h -h (a -h b)- -
par la quantity
i a -4- b
abh 2 abh
ce qui donne
e {a+b)hf(h') —
i a 2 -t -& 2
Or, le terme en ^ manquant, nous sommes assures que l’int^-
grale est possible sous forme lime explicile; on a, en ell’et,
~ fii)
el l’on Irouvera semblablement
ax a~x*J V bx b*x 2
e {a+b)x 3(a 2 -f- b-) ei“ +Mx 3 d 2 /e la+b)x \
a -+- h ■> a* /i - //.- 2a i b i dx 2 \ x /
i 3 3(a -t- b)
t-\-b abx~^~ a 2 & 2 # 2
a 2 b 2 x 3 J
III. J’ajouterai succinctement, en vue des inldgrales
J'cos (mx f(x)dx , J 'sin toxf(x) dx;
les consequences auxquelles conduit la relation gdndrale
e^ x f(x) = e<**F(x) -f-^j X[e ax (x — «)-»]-
lorsqu’on y change to en to sj — i . En supposant pour plus de sim-
nl i e mi ft dorian ' 1
'(x — a) -1 ] -I-...
le groupe de coefficients Jb, Jb,, ..Jb„.
Soil a cet effet x = a + h ; developpons, comme tout a 1 ’heure,
suivant les puissances negatives; posons
e tah/(a ■+■ h) = Xh~ x -+- A
dh -1 dh-'-
dh ' dh-
d’oii, par consequent,
e tM a+/i) y( a /j) = e wa^AA-'+ A, Aj
Or, dans le second membre, les termes en ! > ••• ne peuvent
’ h Id- 1
provenir que de la quantite e^ x (x — a)~' et de ses derivdes, qui
donnent, en effet, en ndgligeant les puissances positives,
— a)~ x =e““A- | + ...,
— \e*x(x — a)- 1 ] = e“>‘
dh -1
dh
d a
dx *
[e^iar —
)->] = -
attendu que la derivee de h par rapport & x est Tumid. L’expres-
sion suivante
(jUi~ i-f-Jb,^
-+- iAs>2
d*h -1
did
represente, par consequent, la portion du ddveloppemenl tin
second membre qui renferme les puissances negatives de /1 , el
Ton voit qu’on a
db = A,
JUi = A 1;
oAo2 = A 2,
et prenons
/(®) =
on multipliera le d^veloppement de l’exponentielle
e (a+bth = i-4-(a-i-&) A-+-(«-+- & ) 2 -h • ■ .
par la quantity
ce qui donne
.... i a u
~ "abb? abJT ^ *’
g(a-hW/i f(h) = —— —-j-h. • • •
J v ' a6/i 2 'P.a6
Or, le ternie en ^ inanquant, nous sommes assures que l’inte-
grale est possible sous forme finie explicile; on a, en elfet,
f (\ -— ^ (i — dx = e^+Mx ( —L_ _i— ),
J \ ax/ \ bx) \a-\-b abxj
etl’on trouvera semblablement
f Ja+b)x( !_ i_ + _JL) (,
J \ ax a' l x 2 / \
_3_ 3
bx 6 2 a? !
e la+l>)x . 3 ( a 2 _(_ £ 2 ) e {a+b)x 3
a-hb ‘laP-b* x aa^b* dx 2
3 3(a -t- b) 3
abx # 2 Z> 2 rr 2 a 2 6 2
^r_j_
L fi -+- b t
d 2 / e [a-+b)x\
dx 2 \ a? /
]'
III. J’ajouterai succinctement, en vue des intdgrales
^ cosioiP f(x)clx, J " sin 0)37 f{x)dx\
les consequences auxquelles conduit la relation g^n^rale
e^ x f{x) = e^ a: F(a?) X[e MX (x — «)-i] _f_..
lorsqu’on y change tu en to y/— i. En supposant pour plus de sim-
nllClt Cl P. dnr^nflvanr cnil ainci n n a //nn\ t Iqc
vantes :
costorr fix)
= cosmx F(rr) X[coscoa?(:r— a) -1 ] X'[sintoa?(a? — «)~‘l
-f-^ <JUj ^ [coswa;(a; — a)-'] — ^ <&>! ^ fsine ox(x — a)" 1 ]
sin tax fix)
= sincoa: F(«) -4-^ X [sin <x>xix — a) -1 ] X'[cos coa?(a? — «) -1 ]
<JUi ^[sincoa;(a; - a) -1 ] -4-^^ =A-°i ^ [costo;z(a? —
Nous voyons aussi qu’on obtiendra a la fois pour l’une et pour
l’autre, des valeurs sous forme finie explicite, lorsque les divers
coefficients A, et X 1 s’dvanouiront. Or, X ■+• X'^~— i dtanL le coef¬
ficient de ^ dans le developpement de
e ui>h^l f^ a -t- h) = (cosco/i -+- \J — i sin w/i) f(a -+- h),
il en resulte qu’en supposant reelles, comme nous l’avons admis,
les quantity to et a, ainsi que la fonction f(x) : X et X 1 seront
aussi, a l’dgard des fonctions
costo hf(a-\-h), s\nwhf(a
n
Soil, comme application, l’integrale
CI sinaaA / .
I I cosax - - — j (cose#
si n bx
b x
dx\
j’ecrirai d’abord
%
sin ax
ax
cos bx
sin bx\
bx )
= cos(« -+■ b)x
-4- cos(a — b)x
abx 2
abx-
— sin(a - 4 - b)x
-4- sin (a — b)x
a -h b
abx:
a — b
abx
et nous serons conduits a une combinaison lindaire des cjuatre
quantities
/
I
cos (a - 4 - b )x dx
x^
cos {a — b)x dx
—
/
I
sin(a -4- b)x dx
x 3
sin (a. — b)x dx
x
dont aucune ne peut s’obtenir, l’expression proposee s’exprimant
n^anmoins sous forme finie explicite. Supposons, en efl’et, dans
les formules prec^denles,
/( d7 )=^i’ w=a-+-6;
on aura
cos(a-4- b)x
= — (a -4- b)
sin(a - 4 - b)x d |~cos(« -4- b)x
dx
'cos (a -4-
. ® J ’
puis, en changeant b en — b :
cos (a. — b)x
- {a—b)
sin (a — b)x d |"cos(a—
dx |_ x J
II en r^sulte, en integrant,
P I" cos (a H~ b)x sin (a - 4 - b)x ~1 ^ cos (a -4- b)x
J |_ x* ) “ J — x
/'f"cos(a — ^.sinfa— ^) a7 l dx — cos(a — b)x
Cl sin<?#\ / , sin 6 #\ ,
i l (cos a x - < — - ) f cos bar - I dx
sin (a- s rb)x cos (a- s rb)x
a ■+■ b abx
sin (a — b) x cos (a — b)x
a — b abx
C’est le cas le plus simple d’une proposition generale concer-
nant les reduites successives
x 3 x 1 5 x — x %
l 3 — x ' 1 1 5 — 6 a : 2
de la fraction continue de Lambert
tanga? =
x
Soit, en general, ^ la n u
entiers en #, et posons
c?(x)
r^duite, P et Q etant des polynomcs
P cosa: — Q sin# >
x a 5
l’int^grale j o(ax) cp( 6 #) dx pourra toujours elre obtenue sous
forme finie explicite. La fonction »(#) donne aussi ce resultal
/
dx P sin# -f- Q cos#
cp 2 (#) P cos# -+- Q sin#'
c’est, sous une forme tres simple, la valeur d’une intdgrale qua
nous n’avons point de methode pour aborder, car elle n’apparlient
a aucune des categories consid^rees jusqu’ici; on verra comment
on y parvient facilement, dans le seconde partie du Gours.
Je remarquerai enfin que, en d^signant par F(sin#, cos a?) un
polynome entier en sin# et cos#, l’integrale
/ F(
sin#, cos#)/(#) dx
uusiiiua
des multiples de la variable. La quanlite J ^ x i P ar exemple,
etant d’abord, abstraction faite d’un facteur constant, mise sous la
forme
S'
n"x
d"> ( x~ l )
dx " 1
dx,
sera iinmediatemenl ramenee, au moyen de l’integration par par¬
ties, a celle-ci :
I
d m sin "a?
dx " 1
dx
x
d"’ sin"# t ,
(Jr, —;- est une somnie de cosmus oil une somme de sinus
7 dx' n
de multiples de x, suivant que m -f- n est pair ou impair; dans le
premier cas, 1 ’integrale sc reduil done a J cos ^ ; e t d ans l e
second a f ^^-dz.
De l’integrale J e (ax f(s\nx, cosx)dx.
I. La proprietd caracteristique de la Iranscendante
e u>x /(sin x, cosx),
ou/(sin^r, cos a?) ddsigne une fonclion rationnelle de sin# etcos#,
consiste en ce qu’elle se reproduit multiplide par un facteur con¬
stant e 20 ” 1 , lorsqu’on y change x en x -\-Elle se rapproclie
ainsi des fonclions pdriodiques, et le proeddd d’intdgration rdsul-
tera encore d’une decomposition en elements simples, qu’on
obtient corame il suit. Je pars, k cel effet, de la relation gendrale
etablie page 58 , ii savoir
/(sin.-r, cos«) = ll(.r)-t-•I 1 (a?);
elle nous donne dans la fonction proposee une premiere partie
e cax U(x) i qui en sera semblablement regardde comme la partie
entidre et dont l’iniegration est immediate. En eflet, II(#) etant
composee lindairement des quantites cos kx, sin kx, il suffit d’em-
J
e wx cos kx dx =
^ w COS KX -
r e wx (w sin kx — A'CosAra?)
j e^ x sin kx dx =- -l. ^ 2-
Maintenant nous parviendrons aux elements simples, propre
la nouvelle transcend ante, en appliqnant la relation tie la page
a la seconde partie (a;), c’est-a-dire aux quantitds suivante
d cot - (x — a)
d" cot - (a? -
Jta cot - (x — a) -+- =Adi
- Jls/f —
dx - T ~'“ ' dx' 1
qui, en consequence, prendront cette nouvelle forme
3le ux cot-4 x — a) -+- 3^ ^e^ x cot l - (x — a)J -
dx" L
e u> x C ot - (x ■
-4
Or, en faisantla somme depressions semblables, pour les di
rents systemes de valeurs constantes 3t et. 38, nous trouver
pour formule de decomposition
e^ x /(sinx, cos a?)
= e^lx) -+- St j4 x cot i ( x — a)J -+- 3ti ~ cot 4 a? — a )J -K
-+- % |j? wx co4 (x — (3)J -+- 33 t 4- \^e<* x cot (x — (3) J -+-.
-+- £ |4 x co4 (x — X)J -+- £ x 4- co4 (x — X ) J -+•
C’est, a l’egard de notre fonction, I’equivalent de la decomp
tion en fractions simples des fractions rationnelles; les quan
qui jouentle rdle d’elements simples dtant
e wx cot- (x — a), e^ x col-(x~- (3
e wx cot - (x — X),
il en rdsulte qu’en faisant pour un instant
<p(a?) = J' e ux cot ^ x dx,
sera exprimee, d’une part, par la somme
<p(x — x) -t-SBe“Pcp(a? — (3) -h .. . 3Te w ^ <p(a? — X),
et de 1’autre, au moyen des fonctions explicites de la variable. Les
conditions 5t = o, SB = o, ..., 3T = o sont done suffisantes pour
que la partie non explicite disparaisse, et la valeur ro^me de 1’in¬
tegrate sera connue au moyen des divers coefficients 2b, 5t 2 ,
SBj, SB 2 , .... II importe done d’en avoir une determination directe,
et on I’obtienl comme il suit.
II. En ayant, en vue, pour fixer les idees, le groupe des quan-
tites 31, 3,, ..., 3t rt , nous ferons x = a. h dans la fonction
proposee, et developpant suivant les puissances ascendanles de h,
nous repre'senterons les termes allectes des puissances negatives
de cette quantity sous cetle forme
gto(a-i-/() y[sin(a
— gioa -+- Ai
/»), cos (a -+• /<)]
dh -i
Or, la relation
/(sin a 1 , cosa?)
= e wx II (x) -i- 3t |^e wx cot ~ (a? — a) j -t- 31 j j^e wx cot ^ (a? — a)j| -+-.. .
-t- 30 cot ~ (x — (3)J -+- 30! \e^ x cot (x — (3)"| -I-...
montre que, pour x = a-\- h, la partie suivante du second
membre, savoir
3t e 0iX cot - (x — a)
e^ x coi^(x — a)J-K..
sera seule a donner des puissances negatives de h. Maintenant on
la derivee de h par rapport a x etant l’unite; nous en conclurons
que 1’expression
reprdsente dans le developpement du second membre Ions les
termes contenant des puissances negatives de A, de sorte que l’on
aura
3t=iA, 31,=: i A,, 3t„=-A„.
2 2 2
Pour faire une application de ce resultat, nous considererons la
fonction
(a- i col^) (b - i col?') ,
qui devient infmie pour la seule valeur x — o, de sorte qu’il suf-
fira de la developper suivant les puissances ascendantcs de la
variable. Or, on a
i i H- 6 a 2
=-1- x-t- . . .,
X 12
et pareillement
e**(b- l C0 l-) =-l+
\ Z 2 / X 12
d’ou, en multipliant membre a membre,
e^b ^_I cot f^ = J_
X
12
)
Le terme en
forme
ax
- manque, ainsi A = o; mettant ensuite sous
on en conclut A, = — i ;.par consequent
la
3l = o,
3l t = —
2 / \
\ 2 2 / \ 2 2 /
qui est simplement une constante. Or on a, d’apr&s la r&gle etablie
page 63,
G = (. + I^)(i + Iv^), „-(a_i t ^T)(i-I v '=7),
clone
n(*)=l±it=a6-i,
et nous obtenons, en consequence, la relation
e [a+b)x(^a — L coif) ^6— ieotf )
= e( a+l> )x (ab — — - -i- (e^ a+Mx cot — \ ,
\ 4 / i dx \ i /
d’od cette expression sous forme finie explicite de l’intdgrale du
premier membre, savoir
J' e (a+b)x^ a — i co t f) — - cot f) dx = e^ a+b)x ^ i cot'^J •
Cerdsultat est le cas le plus simple du th^or^me suivant, auquel
nous serons amends dans la seconde partie du Cours. Soit, en
cldsignant par n un nombre entier quelconque,
f O) = (x — i)«(a?-+-i)-<
d*
dx’ 1
[(a? — (a? i)'
■]>
il est aisd de voir que F (x) est un polynome entier en x et en a du
degrd n; cela dtant, je reprdsenterai par §(x, a) ce qu’il devient
en y changeant aiena:^ — i et a en a\J — i, suppressionfaite du
facteur (y/ — i) n . On aura ainsi pour n = i
pour n—i
§{x) — i(x — a),
$(x) — 4(3 a? 4 — 3aa?-i-a 2 -t-i),
or, I mtegrale
J e ia-¥b)x ^ cot £, 2a ^ ef^coi—t o.b^j dx,
ou encore celle-ci, qni s’y ramene
J' e (a+b)x cota?, a) $(coix, b) dx,
s’expriment toujours sous forme finie explicite.
> l’integrale J' /(sina?, cos x), fi(x) dx.
I. Je supposerai que /(sin#, cos#) soitune fonction rationnelle
de sin# et cos#, et /, (#) une fonction rationnelle de #, sans pur-
tie entiere; faisant ensnite, pour abreger,
£p(a?) = /(sina?, cosa?) f\(x),
nous eviterons la consideration de l’infini a priori, comme il s’ofirc
dans F expression proposee
£
«p(a?) dx,
en la remplagant par celle-ci
J £
dx,
en cherchant sa limite lorsqu’on fait croitre ind^finiment s ct */,.
En adoptant en outre pour ces quantity ces formes particulifcrus
£ = a/ n-K, r) = 2(n •+-1)71.
oh m et n sont des nombres entiers, je me fonderai sur une trans¬
formation remarquable etimportante qui a £t6 donnde par Legendre
dans les Exercices de Calcul integral } et par Poisson dans son
Memoire sur les integrals defmies (Journal de VEcole Poly -
technique, X.VII e Cabier. d. 63 oV K.IIp rnnsuto a
— -t-2 (71-4-1J 7T 2(/» —1)7T
/ y(x)dx = / <p(a?)c
— 2 (77? — 2) n;
cp(a?) (/a? 4-. .
/•o r 21T
4 -/ (o(x)dx-h I y(x) dx
J—m d 0
~Un-hl)n
4- / cp(a?) cfo 4-. ..4- / cp (x) dx,
i/ 2u J
on bien, pour abr^ger,
4-2 (/l-Hi)
J cp(a?) dsc = 2u J ^
cp(a?) «?:r.
Gela etant, nous ferons dans le second membre x — z- f- a/nt,
ce qui donnera
^,2(A-4-i)'re pin
I v(x)dx= f y(z 4- 2 /ctc) dz,
J* /,. u t/ 0
et, par consequent,
-!-2 (7J. -J- 1)
ou encore
en posant
-2 -(-1)71: sit
I cp (x)dx= ^ / cp (2 4 -a/cir)
d —2 W. IT ^
„ 2 (n 4-1| TC p 2 7T
/ cp(a?)c£r = /
d *■'0
k = -\-n
<]>(#) = cp(# 4- ik%).
Nous rencontrons ainsi l’expression analytique d’une fonction
pdrioclique qui a ete indiquee dans l’lntroduction, et sous la con¬
dition qu’en faisant croitre indefiniment m el n, la s^rie
<S>(a;) = cp(a?) 4-cp(j? 4-2 tt:) 4-. . .4-cp(a; 4-2 n it)
4- CD (a? - 2TC > )4-. . . 4— CD e a?- 1 TTiTl)
proposee; je ais, en enet, que s exprime par une ioncm
rationnelle de sin# et cos#, lorsqu’on suppose, comme no
l’avons admis,
y(x) = /(sina?, cosx) fi(x).
II. Je me servirai pour le faire voir de la formule suivanle, q
sera demontrde dans le Cours de seconde annde, savoir :
2
X H- TT
4 nnz
T — T
4 fl-K
ou les termes non Merits contiennent en ddnominateur le carrd
les puissances plus elevdes de m et n. Elle fait voir que la sdrie
premier membre appartienta l’espece des suites semi-convergenti
de sorle qu’elle ne representera ~ cot ^ qu’en supposant le rappi
^ dgal a 1’unitd pour m et n infmis. Mais, en general, soiL)y
limite de la constante ^ log — lorsqu’on fait croitre inddfininn
m et /i, ce qui donnera
S -—t— = - cot — -t- X;
^ X -+- 'XK.'TZ 2 2
k = -m
nous remarquerons que cette quantite disparait dans l’expressi
des ddrivdes successives du premier membre, qui sont ainsi i
series absolument convergentes, dont la formule nous donne
valeurs, a savoir :
2
d(x -t- 2^71)-!
dx
d cot —
1 _ 2
2 dx ’
2
d z (x-h 2Thu )- 1
dx*
d 2 cot —
1 2
2 dx 2
tractions simples,
A„
■f''^ =2 ^ + 2 w=ny + ■ ■ - + 2 v^r
ou plutot
/i( „=2a(._ .)-‘ + 2 A -^ £ ^ :t - ,+ - + 2*-
on en conclut sur-le-champ
d n (x — a) •
dx n
2 A -n Acol^-(® —a)
rfcot- (a; — a)
•;2**
dx
d u cot ^ (x — a)
dx' 1
Nous oblenons ainsi une fonotion rationnelle de sin# et cos#;
or, ayant
?0) =/(sina;. cos x) f y {x),
d’oii
k = -¥n
<l>(x)= /(sin®, cosx) ^ /i(x -h 2 kn),
k=Z-W
on voit que <£>(#) est aussi une expression de m£me nature. Ajou-
' <f>(x)clx, ft laquelle se trouve
0
ramende la proposde, la quantity inddtermm<Se X a pour coeffi¬
cient
X 2 n:
(/sin®, cos®) dx\
elle aura done une valeur enti&rement d^terminde sous l’nne ou
l’autre de ces deux conditions
2 A =°
ou
/(sin®, cos®) dx = o.
sin#, cos#)/] (#) dx
quelques remarques qui montreront comment elle diflere dc cellcs
que nous avons precedemment considerees.
III. Soit, en partant de la formule de decomposition en elements
simples,
/(sin#, cos#) = 1T(#) -+- $( 37 ),
nous en conclurons
^/(sin#, cos#) f x (#) dx — J W(x) /, (x) dx 4 - J $>{sc) f\(oc) dx\
or, la premiere partie
f U(x)f 1 (x)dx
nous est deja connue, et il a ete etabli (p. 92 ) qu’elle s’expriinr
au mojen de fonctions explicites et des transcendantes
/ cos mx dx P sinw# dx
X — CL ’ J # —a
m £tant un nombre entier, et les quantites a designanl les racincs
du denominateur de /, ( x) egale a zero. A l’egard de la seconde
int^grale
/*(*)/,(*) dx,
nous ferons, en admettant pour plus de generality une partie
entiere,
//#) = F(#) 4-^ A (# — a)-i
d(x — a)~ :
dx
et elle se trouvera d^compos^e en termes de ces deux formes,
J- -dxn, a)
j^F(x) <F(x) dx et
Ces deux lermes se ddcomposeront eux-memes si l’on emploie
la formule
<J> ( x) cAo co t ^ (x — a ) »Aoj
d cot - (x — a)
c ,i
dx
d 2 cot ~{x — a)
dans les suivants
„ d n col - (x — a)
J FM-^--rf*-,
dx 11
r d m (x — a)'
J dx'“
_ a d n cot - (x — a)
dx n
On lire enfin de l’inldgration par parties, c’est-a-dire de la rela¬
tion
nne derniere resolution donnant, d’une part, des fonclions expli-
cites de la variable, et de 1’autre les intdgrales
j 'cot (x
-a)
d n F ( x )
dx > 1
dx,
/
cot - (a?
d“ l+n (x —a ) -1 ,
- a) - ; ----— dx.
d x m-\-n
Les Elements simples auxquels nous sommes amends, si l’on
observe que est un polynome entier dont le degrd peut
dtre quelconque, sont done les divers termes de ces deux sdries
J' cot^(a?— a)x dx, J" col^(#— a)x^dx, cot ^ (x — a)x z dx,
cot -(x — a) dx col-(a?
I ■ /
a) dx
(x — ct)*
cot- (x — a) dx
J (x — a ) 3
dont les uns rappellent la forme analylique des intdgrales ellip-
tiques et abdliennes de premiere et de seconde esp&ce, les autres
celle des fonclions de troisieme espece. Mais on ne connait enlre
eux aucune relation qui permelte de les ramener les uns aux
antrPS. Pt 11 <5 prmeli lipnt cans rlmitp rlpo trancppnflantpe rli Btinptpa
j /(sin a?, cos x) / t (a?) dx
est d’une nature analjlique plus complexe que toutes celles doi
nous nous sommes deja occupes; toutefois, les calculs par lesque
nous la r^duisons generalement aux elements simples definis prt
cedemment en donneront la valeur sous forme finie explicite lor
qu’ils disparaitront du r^sultat. On en tire aussi cette conclusic
que l’integrale definie prise entre limites — go et + oo depend un
quement des quantites
i:
i d' l (x — a )- 1 ,
cot - (x — a) ---— ax.
x 1 dx"
en excluant l’integrale J cot^(.r— a )x n dx, qui est amem
par la partie entiere F(^c) de la fonction et dont la vale
serait infinie ou indeterminee. Or on peut leur substituer, cornu
nous avons vu, celles-ci :
cos nix cot - (x — a) dx ,
sin mx cot - (x — a) dx ,
i i
- I cot - (x — a)
d n cot - (x — a)
dx' 1
- dx ,
dont void la determination.
IV. Nous considererons en mdne temps les deux premieres,
j’appliquerai, comme s’il s’agissait d’obtenir les int^grales indi
nies, la m^thode g^n^rale exigeant qu’on mette sous la for
II(a?) + $(#) les fonctions
cos mx cot - (x — a), sin mx cot I (x — a ),
afin de donner un dernier exemple de ces transformations. F
cos mx cot- — a) -h — i sinm.a; cot - (x — a),
dont la transformee en z — e a '^~ ri sera
~‘ ,n z— ~d'^~ T ’
si l’on fait «, = e"' /Cr ', nous n’aurons qu’a exlraire la parlie entiere
de la fraction en ^crivant
- %a\ z m ~i -t-... -+- n a'( l -t- ^
^ — Cti
Qu’on remplace maintenant z et a t par leurs valeurs, la quantity
2 af +1
—■— par
z — a t 1
— a’( l j^i -+- \J — i cot i (a? — «)j,
en ^galant les parties r^elles et les parties imaginaires, il viendra
ais^ment
cosmx cot ^ (a? — a) = -+- sin/ua? -t- 2 sin [(/n. — i)a; -t- a]
- 4 - 2 sin [(rn — 2 )ar-t- 2 a\ 2 sin [x H- (m — i)a]
sinma — cos ma cot^- (x — a ),
sin mx cot ^ (a?— a ) = — cos mx — i cos[(m — a\
— 2 cos[(;?z — 2)a?-t- aa] —...— i cos [a? (m — x)a]
— cos;na — sin ma cot ^ (x — a).
Nous tirons de ces ^galit^s
r™ i r 21T i
f cos mascot-(a? — a) dx = -+- a tc sin ma — cos ma I cot - (x — a)dx,
j 0 2 *-• 0 a
J' sin ma;cot^ (a? — a)dx =— 2ircos ma — sin ma j~ cot^(a? — a)dx.
Or on a £tabli (p. 79 ) qu’en supposant
J cot - (a? — a) dx
a pour valeur + 2 tz \/ — i ou — 2 tz — 1 , suivant que (3 est posil
ou negatif; dans le premier cas nous aurons done
r 21T x
/ cos mx cot- (x — a) dx
— sin ma — — 1 cos ma) = — 2-k \j — 1
r 2 * ,
J sin mx cot - (x — a) dx
= — 2 7 t(cos ma -t- \J — 1 sinma) =— 2 7 te wavCr S
et dans le second
J cos mx cot - (x — a) dx
0 2 _ _ _
= 2tc(-i- sinma -f- \j — 1 cosma) =-h 2it /— 1 e- ,nas! ~ S
J' sinma; cot ^ (x — a) dx
= — 2 7 t(cos ma — \/ — i sin ma) — — 2-Ke~ ma ^'~ i .
Considerant ensuite l’integrale
X 27: d" cot - ( x — a)
cot - (x — a)- ; - dx ,
•2 v ; dx"
nous partirons, en supposant d’abord n = o, de la formule
1 , . 1 ,
cot - (a; — a) cot - (a; — a)
= — i -t- cot^j- (a — a) [cot ^ (x — a) — cot ^ (x — a)J ;
. on en tirera, en designant par (a) et (a) des quantiles egalc
l’unite en valeur absolue, et du signe des coefficients de s/-
dans a et a,
2 T f
I cot-(a; — a)cot-(a?— a) dx
2 2
= — 2-k -+- 2iz cot - (a — a) [(a) — ( a )] \J — 1.
une constante xi existe plus, et la decomposition en elements
simples donne l’egalite
cot - (x — a) -
d ' 1 cot- (a? — a)
== A cot-i (a? —- a) A cot ~(x — a)
~ Ai
d cot- (x — a)
•x '
• -K. .-t- A„-
d n cot - (x — a)
dx n
d’oii
^,271 d n cot- (x — a)
J 0 co 4^“ a )--^=^[ 0 A 0 (a)-hA(a)J v / =T.
Or, la relation gdnerale dtablie page 63,
G-II
oilo *1(1) H— • * . — -
conduit, dans le cas acluel, a la condition A + A = o, les quan-
titds Cr et II dtant nulles quand n est egal ou supdrieur a 1’unite.
Ayant done immddialement
d n cot - (a — a)
da"
on en conclul la valeur suivante :
„2tt d n col-(a?— a)
I col-(x—a)-—--dx
J Q 2
dx n
d n cot - (a— a)
: 21C -rr- [(«)—(«)] s/^-
da"
Mais le cas particulier de a — a fait exception, car alors on doit
poser
d ' 1 cot - {pc — a)
cot-(a? — a)-
dx"
— oAo cot — (^x — a) — 1 — cJIbi
d cot - (x — a)
d'l-h 1 cot - (x — a)
done toujours nulle, sauf le cas unique de n = o, ou la relation
cot 2 - (a? — a) = — i — i-
d cot - (x — a)
conduit a la valeur
J cot 2 -(a?— a ) dx —— 2 ic.
V. Pour passer des resultats que nous venons d’obtenir aux
valeurs des integrales
/ ” cos mx dx f + sin mx c
x x — a\ ’ J_ x x — a
d ' 1 cot - (x — a)
L. - hr- -
il ne nous reste plus qu’a consid^rer le coefficient de l’ind<5ler-
min^e afm de reconnaitre si elles ont, en effet, une valeur enlic-
rement determinee. Or, a l’^gard des deux premieres, les facleurs
J cos mxdx, J' sin mx dx
etant nuls, ce coefficient s’dvanouit, et nous avons par consequent
cos mxdx r r iTC i _
J — ~x~— a—~ 2 J cos mx cot — (x — a)dx=—'K \/—
sin mx dx i i
I ~~ x~ a — == o / sin mx eot-(a? — a) dx =—
j ~ cc 2 d 0 2
ou bien
C + x cosmx dx , - .—
/ -— = + /—I e~maV=l t
t */_ i j,
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSOENDANTES.
Relativement a la troisieme int^grale, la quantity
r- n i
I COL - (x — r x)dx
Jo 2
est toujours differente de zero; mais F autre facteur, qui est
1 ’unique residu de-- est nul pour loute valeur de n, sauf
dans le cas de n = o ; l’int^grale
o cot ~ (x — a) dx
L
est done seule inddlei'inin^e, et Ton a gdneralement
J coi^(a? — a)
d n (x — a ) -
dx a
j d ' 1 cot —(a — a )
■ doc = r --K«)-(«)]v^ r T-
Observons enfm que les constantes a et a doivent 6tre imag
naires pour que les quantiles
- col -(a? -- a)
nc deviennent point infinies entre les limites des integrations. Une
exception importante est Loutefois a remarquer; elle concerne
l’int^gralc
r Jr °° sin mx ^
lafonction Sln ” lx . restant linie pour x — o. La valeur qu’on obtienL
alors, savoir
X —
J-OO
J.
ou m est non seulement un nombre entier, mais
rdelle quelconque, auseul cas dem = i, car on en d<§
et
r
cos mx dx
x — a
sinma; dx
x — a
cos z dz
z — ma
sin z dz
z — ma
Mais, on donnant, comme nous l’avons fait, a la ti'ai]
z les limites — oo et oo, nous avons suppose impli
positif, et dans l’bjpothese contraire les limites doiven.
verties, de sorte qu’on aura alors
J' + °° sinmx dx J ' ,H
“sin x dx
De la ce fait remarquable et important en Analyse, qp
sin mxdx
L
> envisagee comme fonction de m, est
egale a + ou a —tt, suivant que la variable est positi
tive. Mais voici d’aulres exemples de fonctions disco rxt
nues sous forme d’integrales definies. Considerons les
/ sin ax si n bx P sin ax sin bx sin c
a?2 a7 > J ~ 3
que je vais d’abord rdduire par la mdthode gdndrale a d
explicites et transcendantes
r cos mxdx P sinm:
J * ' J x
Faisant, a cet effet, pour un instant
mx dx
U = sinaa? sinfor.
V = sin a a? sin 6 x sin c ,
f U £ = -fvd(*->)=- x ->+f x -
= l fv
J
d l (x~i)
tlx' 1
dx = - V
d(x~ ]
dV
- — a.
dx
et les idenlites
aU — cos(a - b)x — cos(u -l- />)#,
4 V= sin(tf-i-6 — c)x -i- sin(6 -+- c — a)x
-t- sin(c -+- a — b)x — sin (a -+- b -1- c )x
donneronl immedialemenl
1 7T~ =z ~~( a — sin (a — b)x -+- (a -+- b) sin (a -4- b )x,
- ——(a -h b — c)- sin (a -+- b — c)x — (b H- c — a) 2 sin (b ■+■ c — a) a
-(c -
- b)- sin(c -ha — b)x -|- (a -+- b -t- c)- sin (a -h b 4- c ),r.
Nous lirerons de la, cn observant quo lcs quantiles, en dehors
des iutdgrales s’dvanouissenl aux Jimites x — — oo, x = H- oo,
£
t*L
- dx
'“ sin (a — b)x
a-h b C “ l ' 0 ° sin( c
- b)x
dx\
or, a et b etanl positifs, on en conclura, pour a — b >■ o,
£
0 sin ax sin bx
a-h b
el, pour a — b < o,
“ sinaa? sin bx
£
X 2
de sorle que 1’inUJgrale a pour valeur le produit par tc duplus petit
des nombres a et b.
(a -+- b — c)~
r + “ si a fa -+- b — c)x
8 „
i—oc X
{b H- c — ct)-
r^^(b^c-a)x dx
8
1 X
(c -t- a — b)-
r~-s\«<c + a-t>)x dx
8 „
I X
(a-¥ 6-hc) 2
r + x sin (a -+- b-+-c)x ^
8
/_ x
aura semblablement pour consequence que l’inlegrale du prcn
membre, sous les conditions
a-h b — c> o, b + c — «> o, c + a — 6>o,
sera la quantite
(‘±ab - 2 be + %cci — a -— b- — c‘ 2 ) —;
tandis qu’en renversantle premier, le second oule iroisieme si
d’inegalit£, elle aura pour valeur «6 tc, be tt, ou ccm. Les In
theses faites sontd’ailleurs, comme on sait, les seules possible;
admettant que les constantes a, 6, c soient positives.
SUR L’EQUATION ,r’ + .yw + <
Nomelles Annales de Matheniciliques, -i c serie, t. XI, 187-2, p. 5 .
On doil a Euler les formules suivanles, cjui verifienl idenlique-
ment cetle equation :
X = +(P 4- iff* )' 2 -a/'+3^-'+3yy- 3/' g) {f ‘--+- 3^' 2 ),
y = -(f- -+- 3<? 2 )* +(//'+ 3 - 3yy + 3 /'<?•) (/'* -t- 3 ^),
* =-(/' 2 H-3^ 2 ) 2 +(//'-+-3^'-3/^h-3/'^)(/2 h-3^>),
a =+ (/' 2 + 3^'0 2 - (//'■+■ 3^-'+ W- 3 fg) (/> + 3*'» ),
et M. Binet, dans une Note sur une question relative a la theoric
cles nombres (Comptes rend us, L. XU, p. 248 ), a observe qu’on
pouvait, sans diminuer leur gdndralile, les reduire aux expressions
plus simples :
x = H- (o- a -b 3>6 2 } 2 — a+3i,
y = *-(ct* -+- 3 b* ) 2 h- a 4 - 3
5 = 4~ (c& 2 4~ 3& 2 ) (a -4- 3Z>) i,.
m- = — (a- 2 4- 3 b % ) (— 36) 4- i,
oil n’enLrenl quo deux inddlerininees a et b. Je me propose de tircr
ces r^sullals comine une consequence de la propridld gdndrale dcs
surfaces du Lroisifcine ordre, consistant en ce quo leurs points
peuvent se determiner individuellement. Soil done u~ i; j’ob-
serve qu’en ddsignanl par a une racine cubique imaginaire d-e
1 ’unite, les droiles
cc %, x = a 2 ,
jK = a 2 ^, jK =
sonl enlierement siliices sur la surface
y=pz + q,
rencontrera chacune de ces generatrices, si I’on a les conditions
d’ou l’on tire
OL — b
a
a- — b
a
7
7 .
V'-P’
P = l>,
7 =
b 2 -+- b -+- i
a
etles coordonnees r ( , z 2 des points de rencontre seront re-spedi-
vemenl les quantiles
Or Fequation
(a z -+- b ) 3 -f- (pz -h q p = .s 3 -t- i
devra admetlre pour solutions
la troisieme racine sera done une fonction rationnelle des omdti-
cients, qui s’obtient aisement comme il suit.
Developpons I’equation en nous bornanl aux Lermcs en z* cl z i .
nous en conclurons, pour la sominc des racines, I’exprcssion
Mais on a
done
a-b -t- p 3 q
-5- -s 2 = 3- - J—L ■
i — a 3 — p 3
_ a -4- a 2 — 2 6 _ n - 'ib
a a 5
i -+- 1 b ^ a-b ■+■ p*q
a i — a 3 — p 3
11 vient ensuite, si Ton remplace p et q par leurs valeurs en a el A.
»o | e
(i b b*) (i -+- ib) — « 3
i — a s — 6 3 J
(i-h 6-+6 2 ) 2 — a 3 (iH--2&)
a(i — a 3 —6 3 )
Elies se simplifient, si Ton ecrit, au lieu de «, el an lieu de 6,
> en prenant ces nouvelles formes, savoir :
_ ( a ~ a b b 2 ) (a, o.b) ~ i
a 3 — 6 3 — i ’
__ (a 2 -+- a6 - 4 - 6 2 ) 2 — a — 26
7 ~ « 3 _ 6 3 — 1 ’
_ (rt 2 + ai + 6 J ) 2 —
et, en revenanl a l’equalion homog^ne
X 3 -hy 3 — 2 3 -h Ji 3 ,
nous oblenons ainsi pour solution :
a? = (a 2 ab h- b 2 ) {a -+■ 26) — 1,
^ = (a 2 H- ai> -+- b 2 ) 2 — a — 26,
z = (a 2 abb 2 ) 2 —a -+- 6,
u = a 3 — 6 3 — 1 = (a 2 -h ab -+■ b 2 ) (a — b ) — 1.
Or il suffit mainlenanl de changer b en ib el a en a — b pour
cjue ces formules deviennent
x = 0 2 -i -3 6 2 )(«-h 36 ) — 1,
y = (a 2 -h 3 b 2 ) 2 —a — 3 b,
s = (a 2 -l- 36 2 ) 2 — a-h 36 ,
m = (< 2 2 -|-3 6 2 )(« — 36 ) — 1.
Ce sonl pr^cisOnenl celles d’Euler, sauf que x y y : z, u sont
remplac^s par z, — y, x, el — u.
SUR L’EQUATION DE LAME («).
Extrait des feuilles autographies du Cours iVAnalyse de I’Ecole
Poly technique, par M. Ilermite, i' c Division; 1872-1873, 32° lecoi
Dans la llicorie de la clialeur, Lame a el 6 conclull a considt
1 'equation difl'erentielle suivante :
4X
d 2 y
dr 2
dans laquelle X est un poljnome du troisieme degre de la form
X = x(i-~ar) (1 —• K 2 a?).
Dans le cas 011 ct — n(n-\- i)K 2 , n elanl un. nombre enlier,
trouve qu’on peutsatisfaire a l’equalion de Lamd en prcnanl po
nn poljnome entier de degre /?, pourvu que b ait pour valeu
certain poljnome entier egalement de degre n. Nous ne trade
pascette question etnous nous borneronsa supposer f- 1
b restant completement arbitraive.
En appelant u et v deux solutions parliculieres de i’dqualiu
Lame, la solution la plus generale de 1’equalion est
y = cu -y c (>,
c et c ! etant deux constantes arbitraires.
Je dis que, si u et v sont convenablement clioisies, le prodt
(*) Nous avons retrouve dans les feuilles lithographies deslinees aux
tie l’Ecole Polytechnique, une lecon faite par Ilermite pendant 1 ’liiver 18-
sur liquation de Lam£. Nous reproduisons cette lecon, qui, h noire connai:
fait connaitre les premieres recherchcs de Ilermite sur une question qu’il
approfondir queiques anndes apres. K.
Z = c~ U~-+- ICC uv ■+- c'-v 2 ,
je vois qu’il sera demontre que uv esl un polynome entier en x ,
de degre /?, si je prouve que z est un polynome entier de degre n,
puisque u- eL c- sonl des valeurs particnlieres de z\ je pose done
z — y-, el je clierche la iransformee en z de l’equation. de Lame,
ou, en me plaeanl a un point de vue plus general, de I’equation
4 Ay'M- v>.A'y' = By,
dans laquelle A el B sonl deux polynomes enliers quelconques
en x. J’aurai
dz
IB**''™'
r/*s ( «
En mulliplianl par 2 A,
a A 5 "= 4 Ayy*-H \ Ay' 2 = y (By — -aA'/ ) •+• 4 Ay*,
ou
el, coniine
•>. A z" = B c — y A ' yy' -H 4 Ay ' 2 ,
■xyy'= s',
aAs'+A's'-B* = 4 Ay' 2 .
En dillercntianl de nouveau
eL com me
•j.kz” 4 - A 'z' — Bs|'= 8 Ay'y" -4 4 A'y' 2
= ay'(4 Ay"- 1 - a A'y'),
4 Ay ff -l- a A'y = By,
[aA/h- A's' — Bz)' = aByy',
faAs"-)- A' 5 '—Bo J' = V>z'.
Telle est la transiormde en s. Si mainienant je d^veloppe le
premier membre, il vient
aA5 , "+3A'3'+{A , -aB)a'-B , z = 0 .
Je ditterentie ti fois ceLle equation, et je pose •
■2 A it!" + 2/1 A'
U = 0.
u”-h n(n — r) A"
r , n(n-i)(n- 2 ) m
4-3n A"
3 n(?i — i )
4-;- - A"
4- A" — 2 B
4- n( A'"— aB')
— B'
Considerons le coefficient du tenne en u et effectuons les reduc¬
tions dans ce terme. II vient
r ( n — i ) ( n
" A |-3“
— 2 ) 3( n — i)
-+-1 — (2/l + ljB 1 ,
{n -1- i) (a 7i -+- r)
— (2n -+- i)B'.
Or, on a
A = a?(i —a?)(i —K*a0,
A"' = K 2 x i.2.3;
d’oii
B = n (n -+- 1 ) K 2 x -+- b,
B' = n(n-hi)K*.
On voit done que le coefficient de u se reduit a zdro. Par suite,
l’dquation transformde en u est salisfaite quand on donne a u line
valeur constante quelconque. Done
d*z
En integrant n fois, on arrivera pour la valeur de z a un polynomn
entier de degre n : ce qu’il fallait demontrer. Done le produit i/v
de deux solutions particulieres convenables de liquation de Lame
est un polynome entier en x de degrd /?,
uv = F(a?).
Nous allons maintenant chercher a determiner u et v. Gonside¬
mons le determinant fonctionnel
ou
4 A 2 = px,|A u x 4 A p',
4 A2'= p(B a — i A' u') — «(Bp — 2 A'p'),
4 \z' = ih.'(v' u — pk'),
4 A s' = — j» A' s,
aA:'+ A'z = o;
A est le polynome figurant clans I’equation de Lame. Par suite,
T.e premier membre est la ddrivec de X.s 2 ; il en resulte que
Xz- = const.,
_ c
* “A*
u'(> — v'u= —•
v'x
On a d’ailleurs, puisqite uv = F(jr),
u'v + v'u = F'(a?).
D’oii les deux Equations
ou
En integrant
1 F(a?j \/\’
p r ¥'(.%')
— = 1 r -
“ » [[
— c
Log//, = Log /Fh -if
•>. J F /X.
- « i _ H r- .
Log.; = Log \JF
F/X
i f ,l r
u = /F(®) «*•' F(x > v^,
v = s /T(x)e
moyen ues loueuims euipuijiies, pmsque a esi un piuyiiuxne ui
troisieme deip'e.
Si Foil pose
x — sin 2 amt.
Fequation prend la forme sons laquelle Lame Fa eludiee.
On aura
dx . d (din amt)
—r = 2 s 1 n « m / - ; --
dt dt
Or, en posant
on a
Done
it = sin amt.
du
~di
= /u
u' 1 ) (i — K 2 «‘- >.
— = ‘>u y/l [ — «'-) (f — K 2 ft 2 ) = •>. \ i — ft 2 ) ( t —■ K 2 u-~) — '>■ \/X.
Formons maintenant, la transformcc en t. On a
dy _ dy f _ dy i
dx dt dx dt y p'x
7ft
cl 2 v _ d 1 y t dy i \
dx 2 — dt 2 4X _i "~ dt C ,Y\
dx
Or
d —~ *
a y/X _ — i dy/X _ X' _ — X f
dx ~ aX dx “ aX 2 /X ~ 4 X y/X ’
D’ou
d- y _ i d 2 ./ X' r//
r/a; 2 4 X cZ< 2 ^ x ^/X
D’ou la transform.ee
f£l2l
c/r 2
X' Yk'1
4X/X
■+■% = l>(*■+■ 0 * L>
ou enfin
rf 2 v
= [n(n -t- i)K 2 sin 2 ftm£-t- cc]y.
ON AN APPLICATION
(H } THE
THEORY OF UMCURSAL CURVES.
Proceedings of t the London mathematical Society, L. IV, ja. 3.13-34').
Extract from a letLcr to I’rof. Cayley ('Read May S"‘, iHjj).
Prof. Cayley communicated lo the Society a letter, dated
28 111 March, 1 8 ^ 3 , which he had received from A'l. ITermite. Jn
connexion which some investigations on elliptic, functions which
Prof. Cayley is engaged with, M. llcrmitc calls attention to the
question of determining all the quantities
4 K A m' i K'
smam---
in terms of the a H- 1 roots of Lhe modular equation
I'A 11 1 V ) — °!
without, as said Jacobi, the resolution of any equation. Is il neces¬
sary, for this purpose, lo make use of the singular equations indi¬
cated by Abel between the quantities
sinam — (Am K -b \ m'/K' ) for 1 = 1, 2, .... n — i
n
and the n li) roots of unity?
And after referring Lo a remark on llie employment of thfe
theory of unicursal curves in his Cours d*Analyse de L’ficole
Polvtp.chn'.n up. . and n lieirm' lal t is not nlv in the commen-
rise to a method of integration of equations of the form
treated of by MM. Briol and Bouquet, in the Journal cle I’Ecole
Polytechnique.
Suppose, in fact, that the question is to determine the integral
when it is an algebraic function of the independent variable.
The question is easely resolved in all the cases where the number
which determines the nature of this function is =o; that is, if it
is possible to take rationally
“ = ®(0> x = ty(t).
In fact, from this hypothesis, it follows that
du. _ cp'(0
dx ~ fy'it)’
is also rational in t ; wherefore it is necessary (although not suffi¬
cient) that, assuming
du
dx ’
the curve
F(r, u) = o
should be unicursal. Deriving then, from this relation the rational
expressions
v = $(«), u = «?(<)»
vve obtain
and thence
, du o'(t) ,
dx= — = j-yd dt
r <I>( t)
x -JW; dt -
But this integral can always be obtained rationally, and, in tin*
case where the logarithms disappear, gives the value of x in the
assumed form.
In the case where a is of the form
u — to (tang#),
therefore the equation
da
dx
-h r-);
F(f’, u) — o.
must give an unicursal curve; and a solution of this form presents
itself when the integral
reduces itself to
? f (0
*(0
dt
x — arc tan gt.
Again, lastly, assuming
u — ©
sinama;,
rfsinamarN
dx )
e> denoting a rational function of the sine-amplitude, and iLs
derived function (this being the hypothecs of MM. Briot and
Bouquet); it is clear that, writing sinam# = /, the derivative^
as well as u must be a rational function of i and of the radical
/ (I _ U i )%
Consequently, the equation
F(r, u) = o
denotes a curve of the species (deficiency) i.
Thus the example XI of these authors,
eM- (i< 2 — i )c 4 — au i (u i — r ) 4 = o
denoting , ^where a — ^ on writing
V = {a 1 — 1 )/,
U*
t* H- t : ‘
<*+ if 4 — a
t» -h t'*
gives
126
OEUVRES DE CHARLES HERJ1ITE.
If then
we have
+ i v/T
whence
whence
5 dt
2' 7f "
X
5 r dt_
2 J v/T*
1!
53
e
5 »
( t -h" 0 ^
Consequently the question is integrable by elliptic functions
The other examples are contained in the type
e 3 -i- 3 P v 2 4- 4 Q — o
(with the condition IP 3 -h Q = R-)'.
P, Q, R being integral functions of u of Lhe degrees 2, 6, 11 .
But. this equation ma-y be writen
(^-t-2P ) s (f »-P> = -4 ( P®+Q ) =-.fR^
and on writing
, d 2 R
V -h 2 P =-
becomes simply
tv 3 — 3 P w — 2 R = o.
And this transformed equation being of the degree 3 in m, /
these two quantities, and consequently also v, u , can be exprcssr
as rational functions of t and’ of an elliptic radical'.
The equation it \ gives rise to similar substitutions.
SUR L’IRRATIONALITE
1)1£ LA
BASE DES LOGARITHMES HYPERBOLIQEES.
Report of the British Association for Advancement of Science
(43 111 meeling, p. ‘->2-23, 1873 ).
On reconnailra volonliers que, dans Je domainc matliematique,
la possession cl’une verild imporlanle ne devienl complete el cldfi-
nilive qu’aulanl qu’on a reussi a l’elablir par plus d’une mclhode.
A cel egard la ihdorie dcs fonclions ellipliques oll're uu exemple
celebre, present a lous les espriis, mais qai esl Join d’etre unique
dans 1’Analyse.
Je cilerai encore le theorem e de Slurm, resle conmie enveJoppd
d’ une sorle de myslere jusqu’a la memorable dccouvcrte de M. Syl-
vesler, qui a ouverl, pour pdndlrer au eceur de la question, une
voie plus facile et ])lus feconcle que cede du premier inventcur.
Telles sont encore, dans FAriLhmdtique supdrieurc, les lois de rdci-
procild entre deux nombres premiers, auxquelles estaltaebdle nom
a jamais illuslre d’Eiscnslein. Mais dans cette m^rae science et
pour des queslions du plus haul intdrdl, eoimne la determination
du nombre dcs classes de formes quadratiques de mdme invariant,
on a die moins heureux, et jusqu’ici le radrile de la premiere de-
couverte est resld sans parlage a Dirichlet. Enfin, el pour en venir
a l’objet de cette Note, je cilerai encore dans le champ del’Arith-
melique, la proposition de Lambert sur l’irratioiialile du rapport
de la circonfdrence au diam&lve, et des puissances de la base des
logarithmes hyperboliques. Ayanl eld rdcemmenl conduit a m’oe-
cuper de ce dernier nombre, j’ai rbonneur de soumellre a la rdu-
qui, je l’espere, paraitra entierement elementairc. Je pars simple
meat de la sdrie
et posant pour un instant
F(a*)=i+*
x-
-
1.2
ce qui permet d’ecrire
e x —F(x)_ i x
x' l + l ~i.2...n-hi \. 2... n +-
x"
i .■>... .n
-=2t
x k
..» + /l +
il sutTira, comme on va voir, de prendre les ddrivees d’ordre
des deux membres de celte relation. Effectivement, on obti
d’abord
Di
e x
e x f I J ( x)
x in +' ’
oil <£(.r) esL un polynome a coefficients enliers du clegre doi
n’est aucunement necessaire d’avoir l’expression qu’il serait d 1
leurs aise de former. Nous remarquerons ensuite, a Pegard
terme que la differentiation, cffectuee n fois de suite,
disparaitre les denominateurs des coefficients, de sorte qu’il v
D „ ?(*') =
• r /£/(4-1 X' 2ll+l
<]>i(.r) etant un polynome dont tous les coefficients son I
nombres entiers. De la relation proposee, nous tirons dor
suivanie :
e x ®(x) — <J>,(;r) (k H- i) (k -+- 2),..(/«: -I- n ) :r k
X- n + l ~ 2mij. i,2.,./ l -+2JH-x ’
ou bien sous une autre forme
e x ${x) — 4>,(a?) =
2
(/c+-i )(k -T- a). • .{k +- n)ap k
x in- t-l
i .2.. .n
2
(k -+-!)(k +• a).. .(A- -+- n)x 1 '
n+i./i-t-2...A'+ 2/1+1
donnee. II cn est eHeclivcmenl ainsi flu factcur -
-> el d’auLre
, | , • • (k -¥■ \ )(k .(k n)x k ,
part, la sene inmue > -- elanl misc sous
1 jmmi ft + I.H-r , 2...A'+ X 11 -+■ I
la forme ^-- ‘ x ‘' ■■ ^ ' >l -- — T > on recommit ctu’clle
a pour limile superieurc e x = 2^ 7“T—p car ^ facleur
i . k -t- 11
n- t- i . n -i- o .... k -r- x it -+•1
est inferieur a humic.
De la resulle qu’en supposant x un nombre enlier, e x lie peul
, . , , . b
etre line cpuuiliLe commensurable ear on aurait
e x ( I> (x) — ! (x)
b ‘I» (x) — a <r>, ( x)
el celle fraction donl le numeralcur est essenliellcment enlier,
d’apres ce qui a etc elabli a I’bgard des polyuomes $(&•) cl <h, (x),
ne pent, sans <Hre nulle, desccnclrc au-dcssous dc ~
L’exprcssion decouverle par Lambcrl
e x — e -x x
quo j’evile ainsi d’employcr, n’en rcsLe pas moins un resultat du
plus grand prix ct qui ouvre la voic a des rccherches curieuses et
int^ressantes. En supposant par cxemplc x—i,on peut prosumer
qu’il reslera quelquc chose, de la sdrie si simple des fractions
inlegrantes ayant pour numbraleurs le nombre constant 4, dans la
fraction continue ordinaire equi.valenle, dont les numerateurs
serai ent l’unil6.
En elfet, il parait que, dc distance en distance, viennent alors
s’oflfrir des quotients incomplcls conlinuellement croissants. C’est
du moins ce qu’indique le rdsullat suivant, du H M. G. Foreslier,
ingdnieur des Pouts et Ghaussdes, a Rochefort.
qu an tile
9 --“
11 P'T Z—
j\l. Forestier a trou\<i pour la fraction continue ordinaire
valente
(7
la serie suivante, des quotients incomplets, j ••••> u s
a, 2, i, 20, i, io, ig, i, 2, ii, 7, i, 3 , i, o, i, i? h a0
3 , 67, 2, 2, 3 , 1, 5 , 1, 3 , 3 , 147;
Or, on y voit figurer les termes 19, 20, 67, 1 47 » c l ul sm
justifier cette prevision (').
(’) Les nombres inditjues ne sont pas exacts. RI. Bourgel, ayant cxcr
fois les calculs, a trouve la suite 1, ao, 1, 10, 19, i, -L 2 > ->
SUR UNE EQUATION TRANSCENDANTE.
Bulletin des Sciences mathe mat icj lies cl ustronomiques,
t. IV, 1 8 - 3 , p. Iii.
Soil f{Jt) tine fonelion ralionnelle de la forme suivunle :
A B L
x — a x — b ' ‘ x — /
les quantiles a , b, ..., l elanl Louies reelles, el les coef(icicnls A,
13 , ..., L reels cl posilifs; jo dis en premier lieu que l’equalion
log* 7— J( T ) — °>
011 a est tine conslanlc posilivc, possedc n + r vacincs reelles,
n designanl le notnbre des quanlitds it, b , . I, comprises enlre
— 1 el 4-1. Soil, 011 diet, pour un instant,
= loga
el designons par g ct h deux lermes consdculifs de la sdrie
a , b, c, ..., /,
en supposunl les Lermes ranges par ordre croissant dc grandeur, de
sorle quo la fonelion rationnelle f{oo) soil finie et continue lorsquc
la variable csL comprise entre les limilcs g el h.
Ccla etanl, la fonelion loga^-^, el, par suite, F(a?) sera cllc-
meme reellc el conlinue enlre ces limites, si on les suppose infe-
rieures en valeur absolue t\ 1’uni id; or, ayanl pour € infinimenl
G II
F ( if -|- £ ) — — —■; F (/l —s) =H_
c’est-a-dire deux rcsultats de signes contraires, nous en coneluoi
pour l’equation proposee 1’existence d’une racine reelle compri
entre g ct h. J’ajoute qu’il n’y cn a c|u ! unc; car, cn prcnanl
derivee de F(^), on obtient cetle expression positive pour tout
les \aleurs de x entre — i et 4- i, savoir
r ,. x 2 A B h
— ' i x ~ a yi h (x — b )' 1 ~ i_ “ ,_h ( x — l p ’
de sorte que F(j?) \a coniiiiuellemenl en croissant depuis —
jusqua 4-et ne s’annule par consequent qu’unc seule fois. ]
designant done par n le nombre dcs quanLites <7, b , .. ., /, (|
sont comprises entre — i et 4- i, nous prouvons ainsi que brqu
tion proposee possede n — i racines reellcs; mais ay ant
F(— i -he) = loga — l—y
qu an Lite infiniment grande et negative, on voit de plus qu’il i
encore une racine comprise entre — i et le terme le plus voisiu
la suite «, b , l\ enfin une derniere racine se trouve paro.il
ment entre le terme le plus voisin de bunite ct bunite, attendu <i
l’expression
F(! — e) = logaiZl!
est infiniment grande el positive.
En second lieu, je dis que bequation proposee ne pent adnicl
aucune racine imaginaire dont le module soil infdrieur a bun
Soit, en diet, x = a 4- [3 \J — i une telle racine; on trou\
d’abord
/■(a-f- 3 =
A (a — a)
(«-a) J +p‘
B(a ~b)
(a —6) 2 -f-p 2
_A_
a) 2 -+- ( 3 2
B
(a — 6) 2 -+- [3 2
Pour calculer ensuite la valenr. mie bnn naif pIpp nnimi
ment a la supposition faitc, 1c module de x = a -f- [j y/—i est
inforieur a 1’unile, j’emploierai la relation, aisce a verifier,
Or on eii deduil, en faisanl, pour 1111 momcnl,
= a2_ t“
et I’on voit ainsi que le coefficient de (j \J — i est la quantite esscn-
tiellement positive
, r +1
Ayant done, pour ce inline coefficient dans l’cxprcssion de
—/(a + P/—),
une quantity qui est egalement positive, a savoir
A B
(a — (a — ’
nous reconnaissons que la partie imaginaire de F(ot -f- (3 \f — i) ne
peut jamais s’evanouir, de sorle que notre equation n’admet,
comme nous voulions PdLablir, que des racines rdelles.
La relation prdc^demment employee, a savoir
d ? ou
lOj
dz
a -+-1
celle des valeurs en nombre infini du logarilbme qui se
ainsi representee par I’inlegrale definic est l’inlegrale
supposant que la variable ; decrivc la ligne droile joign
deux points cjui ont pour affixes i et a.
EXTRAIT
LETTRE RE M. Cu. HER MITE A M. Pail (IORDAN,
SUR L’EXPRESSION Usin.r + Vcos*H-W.
Journal, cle Crelic, l. 7(5, p. 3o'i-3r.>..
... En allendanl, e’esL des fractions (’onlinues algebrjqucs quo
jc prends la liberie dc vous cnl.relenir, on plnldl d’unc extension
dc retie ibeorie, ayanl cbcrche lc syslemc des polynomcs entices
en x, U, V, W, t.cls que lc developpcmenl dc I’exprcssion a irois
lermes
U sina? -f- V cos.r W
nmimcncc par la plus liaulc puissance possible dc la variable. Ces
polynomes formenl one sdric doublemcnl infinic, ainsi cjuc pou-
vail lc fa ire prdsuiner l’analogie avee la tlidoric arilhmdliquc des
minima succcssifs de la quantile
x -+- ay -i ~ l>z,
ou a. eL b sonl des conslanies numeriques, x, y, z des nonibres
enliers. Ces minima s’obtiennenl, en eiTel, par ]a reduction conli-
nuelle dc la forme quadralique lernairc :
y2 j 2
O + «7+^)S-h j>
oil enlrenl deux inddlermindes a el ^ auxquelles doivenl dire
allnbuecs lout s le v leurs de zd’o ii I’infu i. nremier d'ie
lang.r =
^ 5 —.
et s’obtient ainsi.
Soil.
A = sin a,
puis successivemenl
*-r
kx dx — sina— a cos a,
A) a o?a = ( 3 — x -) sin a 1 — 3a cosa.
A 2 a dx — (i 5 — Ga 2 ) sin x — (i jx — a 3 ) cos a,
et, en general,
A /i+1 = j' A n xdx.
Les formules elementaires
J* cos a F(a) dx = sin a £ (x) -4- cosa £'(x j,
J 'sina F(a) tfa = sina i?'(a) — cosa i(a),
ou 1 ’on suppose F(a) un polynome entier et
£{x) = F(a) — F"(a) F iv (a) —..
montrent que A„ est de la forme U sina+V cosa, U el V «'tn
des polynomes entiers dont l’un est du degre n et 1’aulrt*
degrd n — i. En second lieu, si l’on part da developpemenl
s^rie :
A = sii
r 3 x o
573 + u.3.4.5
on ep conclura aisement
A,
a 2 ' 2 " 1-1
I.3.5...27H-I
i. 2. 3 . 5 ... 2 n 3
r \ _ X lH+\ 'V' _1_
( -4 /• -i- i ) (a k -+- 3)... (a k -+
_ (— i
-!- l) l . 3 .. . ‘ik
Le premier Lerme de celte serie elant en .r-" +l , vous voyez que U
et Y sont bien les polynoines cjui resulienl de la theorie dcs frac¬
tions continues. Mais on pent y parvenir pur une autre voie.
Soil
= ,
X
puis successivemenl
,,, i sin.r — a™ cost
(3 — x % ) si n .r — 3 x cos x
H 3 =-
• dx
rflti
: dx
i dXi-i (i') — f).r 2 )sin.r — (i5t — ,r 3 )c.os,r
x dx x 1 ’
x dx
On reconnaU iminedialemenl qu’on aura
... U sinT-h V cos.r
lit/, = -—-- ,
U el V elant encore des polynonies donl l’un est de degre n cl
l’autre de degrd n — i ; on oblient aussi facilemenl la serie
i .3.5. .. i ), ti H— i
II s’ensuit que
lit.
et, par consequent,
A„+i
A„
I A
x dx
. A ~ —y
A/h-i = (a n •+• i ) A„ —
dk„
c’est- 4 -dire
cl nous parvenons cnlrc irois tenues conseculifs a la relation
A /J+1 = (in -+- 1 )A« — A„ - 1 x-.
Do la se lire la fraction conlinuc dc Lambcrl, et 1’equalion clitlo-
renlielle des Iranscendanlcs dc Bessel. 11 soffit, en efiel, d’observer
que
i d\„ , i /</*A „ i d\ n \
/ d' 2 A n __ l_ d\ n \
\ dx- x dx )
pour passer de reyaliti:
.A^Cu-OA^-A,,-,.
a celle equation si connue
d 2 A, t o.n dk n
dx- x dx
donl unc seconde solution esl donnee comme il csl aisc do 1c voir
par la fonnole
A, t = U cos a?— V sin.r.
; fc vais main tenant sorlir du doniaine des fractions continues, et
delinir tine seconde scrie dc polynomcs U, Y, YY, en posanl
puis successivement unc troisieme, une quatrieme, etc., par lc>
relations semblables
C n = f B n dx, D ;i = f C
Jo J 0
Les formules deja employees
J' cosx¥(x)dx — sinx £ (x)cosx £'(x),
J sin^ F(#) dx == siua? Jf'(a?) — cosa? £ (x)
U cl V elanl des polynomes enliers, 1’iin du degre /i, 1’autrc du
degre n — i, cl W dc degre p — i. Or le dcveloppemcnl
n*a«*
n jma 4. i. •„> /.• ~t- a p
donl le premier lernie esl dc degre •>. n + /?, a Iticn Ja forme vouluc.
Ces monies quanliles peuvcnl s oblenir d’une aulre maniere corame
il suit. Posons, sun ant quc p esl pair on impair,
cl faisons success!vemcnl
Celle loi de forinaiion domie ires i’acilemenl le developpemenl
en serie de en parlanl du dcveloppemcnl de a savoir
On rclrouve ainsi
p __V c ’>• k -r- 2) (•?. fc -f- 4 ) • ■ . ( % k -h 2 n ) (— I )kx*k
1 . 2 . 3 .. .-aI t •+• in -\-p ’
ce (jui conduit a la relation
d’ou 1 ’on lire, comrac pour les quanliles A„, cellc-ci :
nous anrons successivemenl
H«+i = {->■n -+- 2) B„ — A„.r.
G 4- 1 = (2/1 —r~ 3 ) G /; 13 /; X ,
D //+1 = ( 2 n 4- \) D„ — C„ x,
J'ai calculc par ccs fovmules et celles qui concernenl A n les valcn
suivantes :
Aj = sina? — x cosa\
A 2 = (3 — x-) si nr — 3 or cos a?,
A 3 = (1 5 — 6a? 2 j sin.r — (1 lx — x 3 ) cos a",
A 4 = (100 — 45 a? 2 4- a?’*) sin a? — (io 5 a- ioa? 3 ) cosa",
As = (945 — /\20T 2 -}- r 5 a 4 ) sin a" — (9 4 j ar — io 5 a? 3 4- x s ) cos a".
B 0 = — cosa? 4- 1,
B] = — x sin x — 2 cosa" 4- 2,
B 2 = — 5 a? sina? — (8 — x-) cos a- 4 - 8 ,
B 3 = — ( 33 a- — a? 3 ) sina" — (48 — 9a? 2 ; cosa- 4- 48,
B t =— (279a? — i 4 a? 3 ) sina? —(384 — 87a? 2 4-a? 4 ) cosa-4- 384 ,
B 3 = — (2890a? — 1 85 a? 3 4- a? 5 ) sin a? — ( 384 o — 970a? 2 4- 20a? 4 ) cosa" 4 - 31
C 0 =— sina? 4- x,
C, = — 3 sin a? 4- x cosa? 4- 2a?,
C 2 = — (10 — a? 2 ) sina" 4- 7a? cosa" 4- 8a",
C 3 = — (io 5 — 12, x-) sina? 4- ( 5 ~x — a? 3 ) cosa? 4- 48a",
C', = — (943 — 141 x- 4- a? v ) sina? 4- ( 5 Gi x — 18a? 3 ) cosa" 4- 384 a-,
D 0 = cosa? — 1 4-,
2
Di = x sina? 4- 4 cosa? 4- x- — 4,
D,= 9a? sina? 4- (24 — a? 1 ) cosa?4- 4a? 2 — 24,
D 3 = (87a? — x 3 ) sina? 4 (192 — i 5 a? 2 ) cosa? 4- 24a 2 — 192,
sen l’eximwcssign' U sin x •+• V cos,r 4 - W.
C’esl maintenant, Monsieur, que se presen teunc question arilli-
meticpic d’un grand interet. Supposons x — i, en faisant pour
abreger
la quantile
= U siur 4 - V cosa" 4- W
prendra la forme sui\anlc,
i: 1/l +t'(uh -4 (.’//' 4 - (r),
ou a el e sont toujours des nomhres cntiers, \v pouvanl dire l’rae-
tionnaire, mais dcvcnanl dgalcmonl. entier quand n croil au dela
d’une cerlainc limite. On a, cn elfct,
w -_ r- ,V Wp — k + ' in — ttH—
K } XU i. 2.3 .. .k
en supposanl A = o, 2, 4, • •p — 2, si p csl. pair, et
1
(/5 — /0(/>--/>• ■+■ 2)...(/> — /-+-•>„_ ..Of — 1 ) * aA
' } —< 1.2.3... A' '
en faisant A = i, 3 , 5 , ..., /j — 2, si p ost impair; or, dans Ics
deux cas, il csl visible que le coefficient
( P — k) (p — /f 4 - 2 )... (p — k 4- 2 n — 2 )
[.2.3.. , k
fmil par devenir entier. Gcla pose, les clivers sysldmes des nombres
donneront-ils des minima de la fonction lindaire xh z ?
Vous connaissez la ddcouverle memorable de Dirichlet sur les
minima des fonctions lindaires, a un nombre qnelconque d’indd-
terminees; en arilhmdtique elle me scmble, si je puis dire, aussi
importante que la thdorie des fonctions eJliptiques pour 1’Analyse.
TVI"n 1 q anrlic min Ipc fraptinne rein I in n pc enn I rl’iin Pinrklni iicmpI loc
/ = (x/l-^r yll'-7- z)--
ou a cl [i soul posilifs el donl l’invarianl csl D = Ces minir
salisfont a Ja condition/< y/2 IJ; or le prod nil (/u + /i / r + -) 8 — ■
a pour maximum ^Q*, d’ou celle relation independanle do a el
I£n appliquanl ce criterium aux nombres donncs par les (pia
tiles I3 y2 , on reeonnail immedialemenl qu'ils no peuvent conveni
mais dans les series suivantes je trouve :
t'C,= l6/i — 7 /l'— 8 =-!-.
3.3.1).; '
13 2 = — 9 h -4- 25 h! — 28 == -—:—1-1- .. .,
b 7.8
D 3 = — 88 h -f- 207 h' — 21G =-?-. .,
'3.5.7.8.9.10
i F3 = — 333 h -b 124 h' — 200 = —---b. . .,
.». j . 7.8.9. 10. I i
F 3 = 166/i — 5oi h' — 578 = -1-b. . .
3.5.7.8.9.10.11.12
F 4 = 2327 /i — &i 36 h' — C) 7 36 =-!-
3.5.7.9.1 o. 11.12.13 . 14
el vous voyez que la condition requise est completemcnl romp I
le calcul par logarilhmes donnant dans le dernier cas
2327.6i3G
3.5.7.9.10.11.12. i3.14 ~ _0 > 0 ^ 00 ^-
Mais je reviens a l’Algebre, pool' considerer les expressii
ralionnelles approcliees de sin# et cos x donnees par deux eq
lions telles que
\. n
= 0 ,
B*=: 0
1>„ = o, C /t = o ; C„=o, D„ = o.
Dans le premier cas, par exemplc, on Irouve pour n = i, 2, 3 ccs
valeurs :
•>. x \ .?• 720 x — 4 H x 3
■i .r- 24 4 - 4 .r 2 4 - .r 4 720 -4- yj.x*-.- (>.r 4 4- .?' i; ’
•>. _ ■•>{— 8./' 2 __ 720 — 28K3? 2
2 -h x- v.4 -r- 4 .r- 4 - 7” 4 7••>.(> 4- 7'>..r 2 4- (i 4 - .r u
el, en general, il esl aise de voir qu’clles seronl dc la forme
S . T
COSO-’^-p-, sun = - ,
R, S el T elant eles polynomcs cnlicrs donl les premiers rcn-
fermcnl seoiemenl des puissances paires el le Iroisiemc ties puis¬
sances impaires de la variable. En deduisanl d’abord des relations
proposees
. . S4-1T
cos x 4 - t sin x = —^—,
jubserve tjnc, si Ton change x en — ix\ on sc Irouw; amend a line
expression cnlicrcnicnl reellc de l’exponcnliclle <*•'', par une frae-
liondonl lc denominaleur lie contienl quc des puissances paires.
Sous ce poinl de vne plus simple, je rcmarcpie qu’en posanl
« 0 4- ci^x’ 1 4 -.. . 4 - u n x i,h
on pcul, cn general, disposer des coefficients a 0: a 1, ... dc manidre
que le produil e- v <$>(x) ordonne suivanl les puissances croissanles
de x manque des n lernies en a?" + ^ + ' 1 , #«+/>+-, ..., cl soil
de la forme
= ll(a?) 4- Ex 3,l+ i >+1 -t- z! x- n ~ h t ,+i 4- •. ••
.11 res idle qu’en faisanl
U 1 (^)= U(-x)
11011s aurons, aux lermes {ires dc l’ordre 2 n -1 -p •+• 1,
e x __ illfl} e-x=- iil£2,
sin x =
cos.=
Or, ces polynomes < 3 >(.r) et Il(#), dont la consideratio
scmble Indispensable pour approfondir la queslion arilhmc
difficile que j’ai seulenienL louchee, s’obtiennent coniine il si
J'applique la formule
J F(t)e~t*dt = — e-' tx £(t),
au F(/) csl unc fonction entiere et £ la quantite
F(0 F(<) F"(/)
a la determination de l’inlegrale definie J L n ( i — l-) p e
Four eela je remarque que la relation
f F (t) e~ tJC dt = JF(o) — e~ x £(i)
met en evidence deux termes, donL le premier se calcule au ]
du ddveloppement
F(<) = <"0 — t-Y— t«—
- — . i)/ J
qui donne les valeurs des derivees de F(£) pour t—o) oil
immediatemenl
■ • 3... a jp i. o .. 3... n a
+ (->) p —
<!>(» =x*p— +
pip — 0
s obtiendront en deveioppant suivant les puissances de h la
quantile
F(n- h) = (— i)/ J A/'(i h- h )"(2 + h)p.
Faisons
(i 4- h) n (2 -t- h)t‘ = A -+- BA -+- G A 2 -b..
el l’on en conclura semblablement
en ecrivant pour abreger
n(a?) = A.a?"- 1 -/'-+-/? -+-/>(/?-+-1) ...
Ceci posd, et, en observant que 1 ’intdgrale f t u { 1 — t-)P e~ tx dt
~ 0
peutdlredvideinmenlddveloppde sous laforrae e-J— e,a?-J— e 2 ^7 2 -J—_,
la relation a laquelle nous sommes amends, a savoir
- <b(.v) — e-
x (— 0 /J . 1 - a.3.. .p
II (a?) = e -l- si# -t- e s a? 2 -|-...,
donne facilemenl
e x c l>(.r) — (— 1 )p j-
_ 3 _
.3
• -P
. .n
LI (a?) = h- e"a? rt -+- 2 />-t- 2 H-....
Les polynomes cherchds sonl done ainsi obtenus d’une manidre
gdndrale, mais je n’en ai pas jusqu’ici fait I’dtude approfondie. J’ai
seulement remarqud que I’inldgrale ddfinie J t H ( 1 — t 2 )P e~ tx dt,
el ces deux aulres
t n {i — t*ye- tx dt ,
1 _ t*)i>e~ tx dt,
salisfonl a l’dqualion lindaire du troisi&me ordre
LETTRE ])E M. Ch. HERM1TE A M. BORCHARDT,
SUR
QUELQUES APPROXIMATIONS ALGEBRIQUE!
Journal de Crelle , t. 76, p. 3p-344, 1873 .
... Je ne me hasarderai point a la recherche d’une demonsli
tion de la transcendance du nombre tz. Que d’autres ten lent L’t
treprise, nul ne sera plus heureux que moi de leur succcs, m
croyez-m’en, mon cher ami, il ne laissera pas que de leur
couter quelques efforts. Tout ce que je puis, c’est de rei’aire
qu’a deja fait Lambert, seulement d’une autre maniere, au mo;
de cette £galite
A„= U sin^H-V cosa? =—-- f (1 — z 2 )' 1 cosccz dz,
ou A«, U et V designent les memes quantites que clans ma lolli
M. (jordan. Vous savez que U est un polynome entier et a cot
cients entiers en x- du degr£ ^ ou ~~~ selon que n est pai 1
impair; il en r^sulte dans le premier cas, par exemplc,
pour x — —> en supposant que soit une fraction on aura
a*"
oa bien
Or,, on met immediat.ement une impossibilite en Evidence, puisque
le second membrc dcvienl, sans pouvoir jamais s’annuler, plus petit
que to ate quantity dornide cpaand n augmente, le premier dtant
un nombr e ess tier.
Voici une autre consequence de l’expression der A n par une
integrate definie; on en tire aisdinent, sous forme d’mlegrales
doubles, les quantiles
f A , L dx, = f ®ndcc,
en employant les fornmles eldmenlaircs
f dx f f(x)dx = r (x — -)/(-) dz - X* f (i — X)f(lx)d'k,
Jq J Q Jq Jq
fdxfdxfn*) d* = jf <JL=p /( „-)
n p3 ^
= — / (i-iYfax)di,.
i •* «/ 0
et il vient ainsi
('r xdhctk^
Mais, sous un point de vue plus general, supposons les i pofy-
nomes : <I> w (a?), $„(#), .. <&r(x) dies degrds m, n, ..r deter¬
mines de manure que le developpement suivant les puissances
croissanles de.la variable* de la fonction
„_l~ n&X . .-u-<lk (
suite des quantites
/iO)=f e^ x f(x)dx, /s(tf)= f fi(x)dx,
J 0 •SQ
f s+l (x) = f f s (x)dx,
dQ
ii est clair que la derniere sera de la forme suivan te,
fs +1 (a?) = e (ot 1-wJ* (a?) 4- e^+^ )x V,, (a?) 4-... -+- e w * x Vr (a?) 4- (>'
ou W n (x ) 7 W s (x) seront des polynomes eatiers
degres m, s 7 et que son developpement commencera pai
terme de degrd ni -+- n s -f- i. On en conclut aisemenl
si Ton pose
e(X,,x s , = (i— XiVKi-XiV'.-Ci —X ^ )^Xy‘X 2 ,+ "■ , ■ 1 ...X^+ B +••■ +,
A = (a — p)XiX 2 . . .X(4- (j3 — y)^ 2 X 3 • . .X /4- (y — 8 ) X 3 X 4 . . .X/4“• • <4~
on aura la relation
t/Q ^0 ^0
0(X 1;
. \i)e^ x (Tkx d\i. .. rfX;
e M 6 M (a;) 4- eP x Q n (x) 4-.. .-t- e“> x 6 ,.(a?) 4 - 6 . f (a?)
ou © w (a?), 0 / 2 (a?), sont des polynomes enliers
degres m 7 n, ..s; c’est done au moyen d’une integrale mul
la definition du systeme des polynomes entiers de degrds don
qui donnent la plus grande approximation de la fonction fin
composee avec les exponentielles e ax , eP x , .. e MX .
Dans le courant de ces recherches, voici une question aritl
tique qui m’a beaucoup preoccupd. En considerant pour
valeur entiere de x la fraction continue
e x — 1 _ x
e x -hi ~~ x l
ne doit-il pas exister quelque caractere spdeial, a l’egard 1
rateurs des fractions mtegrantes sont l unit^? J’avais presume
qu’au moins de distance en distance, les quotients incomplets
iraient en grandissant, et c’est ce qni se trouve jusqu’a un certain
point confirmpar le resultat suivant que je dois a I’obligeance
de M. Forestier. Soit x = 3, et faisons
e 3 — i _ i
e 3 -+-1 — i
q ^~ -r
a -\ - z -
la suite des nombres entiers q , q\ q ", ... est
i, 8 , i, 16 , 2, i, i, 2, 4 , i, 11, a, i, 2, 36, i, 8 , 4 ,17, 9 , 1,1, x, 1,1,2, 3, 90 , ....
Malheureusement les calculs sont si longs et si p&nibles qu’on
ne peut esp^rer trouver quel que loi par la voie de l’induction ( 4 ).
(') Le calcul, aprts deux verifications, a donn <5 & M. Bourgel la suite riifferente
de cel le du lexte 1, 9, 1, 1, 5 , 2, i, 8, 1, 1, 12, 2, 1, 7, i, 3 , 8, /j, (i, 1, 1, 0 , 1, i,
i, i, i, 2, i, 2, i, i, !... E. I\
SUR
LA FONCTION EXPONENTIELL
Comptes rend us de 1'Academic des Sciences, t. LXXYIf/iH;
1>. 1B-9.4, 74-79, 285-v.g'L
I. Riant donnc uii nombre quelconque de quantiles numi'r
a i 1 a 2 ; •••, on sait qu’on peut en approclier simullandi
par des fractions de mdme cldnominateur, de telle sorte qu’c
A V A ’
Go
a^a’
°ti <>2, •••, o n ne pouvant depasser une limite qui depend s
menL de /?. C’est, comme on voit, une extension du mode
proximation resultant de la thdorie des fractions continues
correspondrait au cas le plus simple de n = i. Or, on pent sc
poser une generalisation semblable de la thdorie des fractions
tinues algebriques, en cherchant les expressions approcbe
n fonctions a, (#), o 2 (x), ..® n (%) par des fractions ration
C R ^a(ag) ®n(cc) . ‘ .
-<P(x ) 3 mamere que les developpemci
serie suivant les puissances croissantes de la variable coi’nt
jusqu a une puissance determinde Voici d’abord, a cet l
un premier resultat qui s’offre immediatement. Supposons q
series de la forme a -p -+- y x- -p... ct faisons
c 1 j (jt ) = A rr>" -+- Ry"'- 1 -+-... -+- Kir -+- L.
On pourra, en general, disposer des coefficients A, B, L de
manicre a annuler dans les a produits <p*(a?)<I>(a?) les lermes en
p* etanl un nombre entier arbitrable. Nous poserons ainsi un
nombre d’equations liomogenes de premier degre egal precisdmenl
a pi/, et'l’on aura
o/(ar) c I>(,r) = <Ip(ir) -+- e t -f- . .,
£,, £ 2 , ... etanl des constantes, <b/(;r) un polynome eniier de
degrd M — p./. Or, cclte relation donnanl
. . c I\,-0) e 1 a? M + 1 -+-..
> = TUT) + -5pj-’
on voil que les ddvcloppcments en sdrie de la fraction rationnelle
et de la fonclion seront, en effet, les memos jusqu’aux Lermes
en ,t m , et, comrae le nombre total des equations posees est
pi, + p 2 + • • ■ -b p«, il suffiL d’assujellir a la seule condition
Pi ■+• [J-i ■+•.. . H- {J-n = m
les entiers p./ restds jusqu’ici absoliiment arbitraires. C’est cetle
considdration si simple qui a servi de point de depart 2i I’dlude de
la fonction cxponentielle que je vais exposer, me proposant d’en
faire l’applicalion mix quanlilds
<pi(ar) = e ax , = e bx , ..., (,•«) = e h *.
11. Soit, pour abreger, M — m = p; je compose avec Jes con- !
stantes a , b, ..., h le polynome
F (z) = zV-{z — a)Vn( z — b)V->.. .(z — h)V^>,
de degrd p. -P p, + ... -+- p w = M, et j’envisage les n intdgrales
ddfinies
.. .-h
nous aurons
J e -zx F(^) dz = — e~ zx #(*),
et, par consequent,
J e~z*F(z)dz = e- ax $(a),
f e~ zx F(5) dz — ${o) — e- bx ${b),
* 4 >
Or l’expression de $(z) donne immediatement, sous forme dc
polynomes ordonnds suivant les puissances croissantes de -4 les
diverses quantites #(o), #(«),
et si l’on observe qu’
F(o) = o, F'(o) = o,
F^--D(o) = o,
pnis successivement,
F(«) = o, F , (fl) = o,
F(6) = o, F'(&) = o.
F<tv-»(a) = o,
F^- l >(&) = o,
nous en conclurons les resultats suivants
d (h) *«<*)
ou le polynome entier $(a?) est du degrd M — u = m, et les
autres $, (a?), *„(*), des degr^sM— pi, M— pt 2 , ..
— p-/j* Gela pose, nous ecrirons
e ax <t>{x) — ^O) e«*jf je“ za: F(s) dz ,
eA*$(a?)_ «*.,(*) sjpM+ieA* f e -* x F(z) dz,
*4
—^( a7 ) = a ? Ji+i < 5A *J e -z X F{z)dz-
fonctions se trouvent entieremenl remplies. Nous avons ainsi
obtenu, dans toule sa gen£ralit£, le syst&ne des fractions ration-
nelles ^ ^ • •• > -£ t ~i > de ra^rae d&iominateur, repre-
sentant les fonctions e ax , e bx , .e Air , aux termes pres de
l’ordre < r M+1 .
III. Soil, comme application, n — i, et supposons de plus
p. = p, = /n, ce qui donnera
M = 2 m , F(^) = z m (z — i ) m ;
les d^riv^es de F(s) pour z = o se tirent sur-ie-champ du ddve-
loppement par la formule du binome
F(*) = -3 2 '” — y 3*‘
m (m — i)
I .2
(— I Z m ,
et Ton obtient
( 0 ) _m(m— i)...(/n — /f-f-i) ^
i . 2 . 3 ... 2 m — k ~ i . 2 . 3 ... k ' ' :
d’ou, par suite,
c E(a?)
I.2.3...//1
= 2m(2/n — i)...(/n -t- l) — (am — i)(2/n — 2)...(m 1) y a?
+ (2fli- 2 )(2 m — •+• i) - l ^y ' - —— a? 2
Pour avoir, en second lieu, les valeurs des d^riv^es quand on
suppose z = i, nous poserons z = i + A, afin de d^velopper sui-
vant les puissances de h le polynome F(i + A) = h m (h + i) m . Or
les coefficients pr^cddemment obtenus se reproduisant, sauf le
signe, on voit qu’on aura
<f»i (a?) = <J>(— x).
Cesr^sultats condnisent k introduire, au lieu de <!>(#) et<lq (a;),
les polynomes
*(a?)
*i(»)
e~ Zi
el Ton met en evidence que le premier meml)re peui devenir, pc
une valeur snffisamment grande de m, plus petit que toutc qua
tite donnee. Nous savons effeclivement que le facteur ^ -
a zero pour limite, et il en esl de meme de I’integrale, la quanl
n m (i — z) m etanl toujours inferieure a son maximum
decroit indefiniment quand m augmente. II resulle de la qu
supposant x un nombre entier, l’exponentielle e x ne pcut
une valeur commensurable; car si Ton fail e r = —■> on parvn
apres avoir chasse le denominatcur,
rtr-m+l Z' 1
) — a Hi O) = (—!)'« - / exli-x'zm^
i. •).. 3 . . . /u J
dont le second membre peut devenir moindre que toutc grand
donnee, et sans jamais s’evanouir, tandis que le premier esl
nombre entier. Lambert, a qui l’on doit celte proposition, f
que la seule demonstration, jusqu’a ce jour obtenue, de 1’irrat
nalite du rapport de la circonference an diametrc et de son ea
a tire ces imporlants resultals de la fraction continue
e x — e~ x x
a laquelle nous parviendrons plus tard. Laissanl entieremen
cote le rapport de la circonf&rence au.diam^tre, je vais mainlc
tenter d’aller plus loin a l’egard du nombre e, en ^tablissant
possibility d’une relation de la forme
N e 6 N 2 -)-..o,
IV. Je considerc, a col efTet, parmi les divers syslemes de frac¬
tions rationnelles I, ***"(._) , eelui qu'on oblient
‘I* (.r) ‘iMrrJ ‘l>(a?j 1
lorsqu’on suppose a — u, = .._. == u., n ce qui donne
m — M = (n + i),a ct F(j) = fV-{z ),
en faisanl
f(z)=z(z-a)(z-b)...(z-h).
Soil alors, conime lout a l’heure,
( I> ( X )
1I( ^ )s TX 37 Ti:’ Ulisc)
i. i. 3... \j. ’
i. 2 .3 ... p. 3
Ccs nouveaux polynomes auronl. encore, pour leurs coefficients,
des nombres enliers, el conduiront aux relations suivantos :
e a - c Il(ar , j — 11 ](.t) = e t ,
c bx II ( a?) — TU (,r ) = e a ,
<>'*•* llfr) — ll„(,r) = e„,
i ecrivant, pour ubreger,
X \i + l e ax r"
El = t :j -- / (- -■* L 1 (z) elz
I phx f* ^
e _ JL_£- / e-**V(z)dz
t . 2 . 3 .. .i jl . /
1.2.3.. . (JL
fh,
dz,
Cela pose, j’observe en premier lieu que £ ( , e 2 , ... deviennent,
pour unc valeur suffisammenL grande de p., plus petits que toute
quantitd donnec; car, le polynome /(s) no ddpassant jamais une
certaine limite X dans I’inlcrvalle parcouru par la variable, le fac-
leur —^ ^ ^ --—, qui multiplie l’exponenticlle sous le ,pigne
d’intdgration, est constammcnt infeirieur 4 la quantity ^ 3
qui a zdro pour limile.
nombre entier dans l’hypothese admise a 1’egard de «, 6,
elles deviendront
e«P — P, = e,,
e 4 P — P 2 = £ 2 ,
e h P _ P, t = E/l ,
et la relation supposee
Nn-e i! Ni + e 4 N2 + ... + e /t N )1 =o
donnera facile meat celle-ci,
Np H- N, P, +... •+• N„ P„ = — (N, s, -+- N 2 £2 -h... H- N, t e„),
dont le premier membre est essentiellement entier, le seco
d’apres ce qui a ete etabli relativement a £,, e 2 , ... poim
lorsque p. augmente, devenir plus petit que toute grandeur donr
On aura done necessairement, a partir d’une certaine valeur d
et pour toutes les valeurs plus grandes,
INP H- N, P,-T-...+ N„P„ = o.
Supposons, en consequence, que, p. devenant successivem
ja-f-2, .. ., u + n, Pj se change en P', P;, ..., P/ rt) |
aura de m£me
NP' -t-N 4 P' H N a P{, =o,
NP" -T- N, P'[ + N„P?i =o,
NP<«>-+- P«"'4-... + N^P^ = o.
Ces relations entrainent la condition suivante :
P Pi ... P«
P' Pi ... P' rt
p ff p; ... p;; = 0 .
pt«) pi«) . ^ . p(«)
En prouvant done que ce determinant est different de zero
J’observerai dans ce but qu’on pent subslituer aux Lermes d’une
meme ligne horizontale des combinaisons iindaires semblables
pour toutes ces lignes, et que j’indiquerai en considerant, par
exemple, la premiere. Elle consiste a rcmplacer respectivement P,
P,, Po, P„_i, P„ par P—e" fl P,, e~ a l? { — e~ b V . 2 ,
e-^P,,,., — e _A P«, e~ A P rt ; il est alors aise de voir que, si l’on mul-
tiplie Louies ces quantiles par i. 2 . 3 ...p., elles deviennent preci-
sement les integrates
f e-=fV\z)dz, jf e~ z fV-(z)dz ,
e~ z fV-(z)dz, £ e~ z /V-(z) dz.
MainlenanL les autres lignes se deduisenldc celle-la par lechan-
gemenl de p. en p.-f-i, p. + 2, p.-f-/>, et le determinant
transformd sur lequel nous allons raisonner est le suivant :
jf e~ z fV-{z) dz, jT e~ z /V-(z)dz , e~ z f\ i -(z)dz
jf e~ z f\>-'- l (z)dz, jf e~ z /V-'- [ (z) dz, s~ z f^(z)dz
J c- z f\ , ' H ‘(z)dz , jf e~ z f{ 1 ' hn (z) dz, e~ z /\ J --' n (z) dz
V. Nous devons supposer, comme on l’a vu prdcedemment,
que p. est un grand nombre; c’est ce qui conduit k determiner, au
moyen de la belle methode donnee par Laplace (De l’integration
par approximation des diff&rentielles qui renferment des fac-
teurs 6 lev 6 s tide grandes puissances dans la Th&orie analytique
des Probabilites, p. 88), l’expression asymptotique des inte¬
grals
qne ies nomnres entiers «, o, n soient tous posnus et ranges
par ordre croissant de grandeur, de sorle que, dans chacjue inU':-
grale, la fonotion e~ z fV‘(z), qui s’annule aux limites, ne prescnle,
dans 1'intervalle, qu’un seul maximum, je considererai en pre¬
mier lieu l’equation
/'(*) l
J(*)
dont dependent tous ces maxima: Or on sait que ses racines soul
rdelles et comprises, la premiere enlre zero el a, la seconde z*
entre a et b , et ainsi de suite, la plus grande z n+ \ etanl supericurc
a h. Envisagees comme fonctions de u, il est aisd de voir qn’dies
croissent lorsque p. augmente, et qu’en ddsignant par/?, </, .
Ies racines de l’ecjuation derivee f'(z) = o, rangees par ordre
croissant de grandeur, on aura, si l’on neglige
_ 1 /(P)
- l - p+ ZTTF)’
A 9)
et, en dernier lieu,
= -
une approximation plus grande n’etant pas alors neccssaire. Ccla
"posd, si l’on ecrit pour un instant
?(*) =
/(*) _
les valeurs chercliees seront
\J~e e- z *fU-(z 2 )o(z
\/ if e ~ Zn+ ' ^ * n + ‘ 1 *? ) i
mais ces quantites se simplifient, comme on va le voir.
Gonsiderant la premiere pour fixer les iddes, j’observe que nous
avons
i Ml
t* f{p)’
cn negligeant sculement —. Par consequent, si l’on pose
puis d’une maniere analogue
on aura d’abord
et l’on en lire ais^menl
fV‘{ z \ ) ® (^1 ) — (?) yiP) £ -H JT, +•••).
Ainsi, en negligeant seulement des quantiles inlinimenl petiles
par rapport au lerme conserve, nous pouvons cicrire
f e~ z fV-( z ) dz = \/^;e-i>fV-(p)y(p),
et l’on aura de merne
Mais la derniere inldgrale j e~ z fv-(z) dz est d’une forme ana-
lytique diffdrente, en raison de la valeur £ n+1 = (n -b i)p qui
devient infmie avec p. Pour y parvenir, je developperai, suivant
les puissances descendantes de la variable, l’expression
logLc--/l A <’'»)?(' 5 )]»
en negligeant les Lermes en • • •, ce qui permet d’dcrire
= (» + >) loga, logcp^ = log ..—^ = log -=,
log[ e~ z fV-{z) 0(3)] = (np. -+- p -+- i) log-z — 3 — Logfn -+- 1 ).
Apres avoir substitue la valeur de 5 w+) , une reduction fa
nous donnera, en faisant, pour abrdger,
Ofp) = (n p -h jx -+-1) log(/i -+- i) p. — (/i -t- i) fx — \ l°g( n H- i)>
cette expression semblable a celle des integrales euldrienne;
premiere espece
jf e~ z fv-(z) dz =
Maintenant on va voir comment les resultats ainsi obtenus >
duisent ais^ment a la valeur du determinant A.
VI. J’effectuerai d’abord une premiere simplification en sii|
mant, dans les Lermes de la ligne horizontale de rang i, le
i puis une seconde, en divisant tous les termes il
meme colonne verticale par le premier d’entre eux. Le nou
determinant ainsi obtenu, si l’on fait, pour abreger,
P =/(/>)> Q =/(<?), S=/(s),
sera evidemment
I - , ' < I
p
Q
s
e 0(tj.4-i)—0(p)
p*
Q 2
S*
p«
Q-
S'*
e 0(p-W()-0(p)
Or, on voit que p. ne figure plus que dans une colonne, tin
termes croissent d’une telle maniere que le dernier
infmiment plus grand que tous les autres. Nous avons, en
= Ofp) -+- i -+- f/i-p i) logfn -h i) pj
d’ou
e O([/.+i)-0([x) = [(H- !)(-<■ U -
En lie conservanl clone dans 1 c determinant que le Lerme cn y. dc
Pordre le plus dlcve, il se reduil simplement a cetle expression
i i i
p
o
s
l>*
Q 2
S“
p /,-1
Q "- 1
s«->
11 en resullc qu’on nc peal, en general, admellre que le
determinant propose A s’annulc, car les quantiles P = /(/?),
Q = f(q), ..., fonclions entieres semblables des racines q, ...
dc I’equation ddrivde /' (x) = o', seronl, comine ecs racines, difl’d-
renles entre elles. C’esl cc qu’il fallait dlablir pour ddmonlrer
1’impossibi.lild de loule relation de la forme
N -+- c«Nj-t- e*N 2 + ...-+- e /l N n — o,
et arriver ainsi a prouver quo le nombre e ne pent litre rctcine
(Vane equation algebrique de clcgre, quelconque a coefficients
entiers.
Mais unc autre voie conduira a une scconde demonstration plus
rigoureuse; on pcul, cn cITcl, comine on va le voir, dlendre aux
fractions ralionnellcs
<I>j (a?) <l> 2 (a?) c I>, t (a?)
le mode de formation des rdduiles clonnd par la llidorie des frac¬
tions continues,’ ct par la mettre plus compldtement en dvidence
le caractdre arilhmdlique d’une irrationnelle non algdbrique. Dans
cet ordre d’idees, JVI. Liouville a ddj& obtenu un thdordme remar-
quable qui est 1 ’objet de son travail intituld : Sur des classes trds
etendues de quantiles clont la valeur n’est ni algebrique, ni
II.— III. IT
pellerai aussi que 1 illuslrc geo metre a demontrele premier la pro¬
position qui estlc sujet de ces recherch.es })Our les cas de l’ecjua-
tion du second degre et de l’equaiion bicarrec [ Note sur I'irra-
tionnalite du nombre e ( Journal de MathemalLques, t. V,
p. 192)]. Sous Je point de vuc auqucl je me suis place, void la
premiere proposition a dtablir r
VII. Soiera F(s), F,(3), F„ +( (:;) les polynonies deduits
de l 1 expression
zV\z-~a)V-dz — b)V">..dz— h )V -»,
lorsqu’on attribue clux exposanis p, p,, ..p„, n + 2 systdmes
diffevents de valeitrs entieres et positives. En represenlanl, an
general, par j les fractions convergences vers les exponen-
tielles, qui correspondent d Van quelconcque cVentre eux F*( z),
on poitrra ioujours determiner les quantiles A, 13 , G, L
par les equations suivantes :
A 4 > (a?) -4- B'ln (x) -4- C<l > 2 (x) .. 4 - = o,
A<l> 1 (.r) -+- Bfl>{ (x) C<]>f (x) -4-... -+- L <]/ 1 ' +1 lx) = o.
A^nix) -t- B‘I\ 1 t (a') -i- C<I> 2 (;r) -4-.. .-i- L‘I>Ji +1 (x) = 0.
Mais, au lieu de conclure de telles relations des polynomes
<£*(#) supposes connus, notre objet est de les obtenir direc lenient
ct a priori; je vais elablir poiir cela qu’il existc, entre les inle-
grales indefinies
fe~z*F(z)dz, Je~^F x (z)dz, Je~^ F ll+1 (z) dz,
une equation de la forme
Je-z*F(z)dz e ^F^z) dz -1-...
A f e~~ x F n+ . x (z) dz = e - =x 6(z), ■
( l ) Comnt.P.s ranr7i/v. t WTTT
polynomc enlier divisible par /’(^). Si i : on fail, en effet,
Mil ^
=
. Ellf.
a? 3
Je~ zx F(z)dz+V\,Je~ zx fe~ zx F n+l (z) dz
— ~ c “•*■[ ■'b-S' (■-) -H lib (~) H~. . •-+- -CJ/j+1 (~)J,
i . alb G j J
et il esl clair que les rapports *' * ’ pouvronl elre deter¬
mines, et d’une scale manierc, par la condition stipposec que le
polynomc
0(^,=_r,ilo,f(-) + albS?i( S ) +
contiennc cominc facteur
Nous conclurons de la on prenant les inlegralos entre les limite
5 = o el z = a, par exemplc,
oils 6 zx F (z ) (Iz -|- lib j' 6 ~ zx Fj ( Z ) clz -+- . . .
+ -C. f 0 zx F n+l (z)dz =0.
*^0
Maintcnanl, les relations
J e zx F (,s) dz —
f e~ zx F l (z)dz —
•■'a
e ax <F(x) —
f>ax jpM-t-l
e ax <l>i (x )— <F',(a?)
gax ^ Mi+l *
donneront, en dgalant s 6 pare«ieni a zdro le terme algebrique el le
coefficient de I’exponenlielle e rtip , si l’on fait, pour abrdger,
in log-rales z = A, c, ..A,
A ( I> 2 (a:)H-B<l'Ua;) + ..,+ L4>'2 +1 (x) = o,
A(a-) + B$>» (a?) H-...-+- L 4 >«+» (a?) = o,
et il est aise de voir quo les coefficients A, B, ..L pourronl clro
supposes des polynomes entiers en x. L’inlegrale
qui figure dans la relation precedemment consideree (p. io4))
e»n(a-)—B,(ar)= ■ e * f e~*-*z'»(z — i)«* dz,
i .- 2 . 0 . . .m J 0
nous servira d’abord d’exemple.
VIII. Dans ce cas facile, oil Ton a simplemenl
/(-) = 5 ( 5 - 1 ),
je parlirai, en supposant
6(-) = -+■ (m -+- l)/'"(5)/(5),
de l’identite suivante :
d[e-™&(z) 1
dz
et j’observerai que
: e-zx[Q'(z) —x6(z)]
e -^ [_ x if,n +. («) + ( m + j )/"’ (5 )/" (- )
-1- m(»n-0/ ,, *- 1 /' a (-3)],
/'*(5) = 45*- 45 + 1=:4/(z)+ I , /'(5) = 2 ,
cc qui permet de l’dcrire ainsi :
—-j^
dx
■[- x 3 f"» l (z)
-t- (am -+- i)(2/n + 2)/ m (z) -|- m(m -+- i 1 (5 »J,
e zx Q(z) =— x 3 J" r : - c / w+1 (:) </: + (am + i)(2m + 2) j'e~ zx f"‘(z) dz
-bm(m-bi) J"e - zx f m ~ l (z) dz,
el ensuite, si nous prenons pour limites 5 = 0 el ; = 1,
x- J' e~ ZJC f m+l (z) dz = (0. m \)(2in-+->j,) J" e zr f ,n (z)dz
-b m (m+ 1) f e- z xf'»-i (z)dz.
Soil mainlenanl
^•2/«-i-i px r 1
„=-- — e - zx z»‘(z — 1 )'" dz,
1 v
el cctie relation deviendra
£m+i= (4«i •+- * )£/»-+- a? a e«i-i.
C’esl le r^sultal auquel nous voulions parvcnir; en j supposanl
successivement m — 1, 2, 3 , . . les equations qu’on en lire
e 2 = Gsi-b x i £oi
Ej = ioe 2 -l- a 7 2 E[,
e.V = ) 4 e 3 -b^ 2 E 2 ,
donnent ais^tnent la fraction continue
£1
£o
6 -b -
X 3
f 4 ~h-.
et il suffit d’etnployer les valeurs
Ej — x 6 X j e~ zx dz — e x — 1,
gj = a.' 3 e x l e~ zx z(z — 1 ) dz == e x {% — x) — 2 — x,
pour retrouver, sauf le changement de x en le resultal de
Lamberl ( 1 )
e- r — r _ ,r
e* -i- i x-
En abordant maintenant le cas g^ndral el me proposanl d’ob-
lenir, a l’egard des integrates definies
f 'e-:fn(z)dz, f b e-z/»‘( 3 )iiz, ..., f h e-*fn(z)dz,
un algoriibme qui permelle de les calculer de proclie en proclie,
pour toules les valeurs du nombre enlier m, j’inlroduirai, aim de
rendre les calculs plus symdlriques, les modifications suivanles
dans les notations pitecddemment admises. .le ferai
f(s) = (z-z ii )(z-z l )...[z-z n ),
au lieu de
f(z) = z(z-a)(z-b)...(z-h),
de maniere a considerer le polynome le plus g&teral de degre n-\~ 1;
designantensuite par Z l’une quelconque des quantiles ...,
-n 5 je raisonnerai sur 1’inlcgrate
qui donnera evidemment toules celles que nous avons en vuc, en
laisaut ,s 0 = o. Cela elant, voici la remarque qui m’a ouvert la voic
el conduit a la melhode que je vais exposer.
( l ) Memoire suv queJques propvidlds rcmarquables des quantiles Irunscciulaiilcs
circulates cl logarithmiqucs (Memoires de VAcademic des Sciences de Jieriin,
ann£e 1761, p. 265). Vai-n %ussi. la. Noie .IV des .Elements de Geometrie, dc Le-
eendr . n. 28S.
on oblienL
<*!<» Z S" 1 ^) 1
e--*f'n(s ) = / n J e-*fn-L(z)f(z)dz- f c-~f»i( z )dz,
et, par consequent,
X e ' Z -f m ^ dz = m f ‘ e - Z f nt - l (*)f(3)<l=,
ou encore
d’aprcs ]a fornnilc
f( z) ._- u
Or ce sonL ecs nouvelles inlegralcs
c->
“^7^’ j'
^i>rf.
qui tlonnenl lieu a un system
e do rclalions recurrenlc
s tie la for me
/'* ^ ,,(S5 rf=- (OO )f 7 '
's:^*
-J- 0)1) |
g l dz (on) ^
s — .0 W
a.)/;
,>/"■<=) dz
£=£2**- >■<
‘-W'dz
•+■ (»o r
~ — j— tzs («/i) y*
C’est clone en operant sur les elements au nombre de n + i,
r z
dans lesquels a 6te decomposee l’integrale / e Z f m (z)dz , cpie
nous parvenons a sa determination, au lieu de clierclier, comme
une analogic naturelle aurait paru rindic|uer, une expression
lineaire de f e~ z f m+ ~ n+l (z) dz, au moyen de
£ e-zfm(z)d 3 , J e z ) dz, J e -/«*+» U) dz.
Mais soit, d’une maniere plus generale, pour des valeurs en-
tieres cpielconques cles exposants,
F(«) = (* — z 0 )V-a (* - (5 — *„)!*»;
en integrant les deux membres de l’identile
on aura
r^F(i)= j r^F ' (z) dz— j' r*F (z)dz,
J e~zF(z)dz=£ e-F'O ) dz.
d’oii
Maintenant la formule
F '(*) _ Po + Pi _
F(z) z — z 0 z — z 1
donne la decomposition suivanle,
f 1 S -‘F(z)dz = l i»
d Za & — ^0
+ r l r±n*)dz
J. Z — Zi
-+*•••-+* p/t
X
e~z F (z) dz
z — Z\
z — Zq
eueuux umuut, ics elements us decomposition uc X un queiconque
d’entre eux s’exprimenf en fonclion liniaire des quantiles sem-
blables qui se rapporleut, an terme precedent, ainsi qu’on va le
montrer.
X. J’etablii'ai pour cela qu’on pent toujours determiner deux
polynomes entiers de degrd /?, 0(s) et tels qu’on ait, en
designant par £ i’une des racines s 0 , 3|, ..., z„, la relation sui-
vante :
r a"* I ? (-)/(-) C e~ z F(^) ©, (*)
J z-t J 7 ( 7 )
F(z } e{z).
En efTel, si, apres avoir diflei'entie les deux membres, nous mul-
f(z)
tipi ions par le facleur ^ j , il vient
/(*)
/(;;) = ©>(*) 4
h \^n±}‘ fis
Or, j\z) etant divisible par z — le premier mcnibre de cetle
egalite est un polynoine entier de degr^ 2/1 -f- 1 ; le second est du
me me degre, d’aprcs la supposition admise a I’dgard de 0(5)
et © ( (^), et, puisque cbacun de ccs polynomes x'enferme ainsi
n + 1 coefficients indetermines, on a bien le nombre neccssaire
egal a 2n + a de conslantes arbilraires pour efTecluer l’identifi-
cation. Ce point etabli, j’observe qu’en snpposant z — zi la frac¬
tion rationnelle - SllllfJ . a pour valeur jXi/ ! (zi); on a, par con¬
sequent, ces conditions
©I (So) = Pof'(z 0 )e(jSo),
&i(Zi) = pi/'On )0(ii),
©l(*») = Pnf'(Zn') ©(*«).
qui permettent, par la formxile d’interpolation, de calculer immd-
diatement 0, (z), lorsque &(z) sera connu.'Nous avons de cette
reprends la relation proposee, en divisanl les deux mcrabr
par f(z), ce (|ui donne
" 7i^T L irrrjj— 0
<=),
et je remarque que, la fraction n’ayanl pas de partie enliei
on est amend ;i cette consequence, que le polynome clierchd di
etre tel que la partie enliere de l’expression
e(-) — e'(c)
soit cgale an quotient
f(*)
C’est ce qui conduit aiscraenl a
determination de 0(.s). Soit d ? abord, a cel ellel, .
/(- ) = + . . .-+•/)«+1,
ce qui donnera
/(*) . ,
-+-P^
" f ~Pi
ou plutot
H-/J iC
+ /)),,
/(*) .
en ecrivant, pour abreger,
= Z?-\- p\ £?~ l -+- Pi ~ pi.
Soit encore
©( z) — a 0 'Z ,l + ai5 ,l-t -+- a % z n ~- -H. . .4- :
et developpons la fonction^-^ suivant les puissances descenda
]1 viendra ainsi, cn posanl .?/ = + p. ( z\ + p. 2 + \i-n z i]
p '( z ) _ £o £i + si.
el, par consequent,
F7-)
P(-)
e(s) = a 0 s {) z»-
-t- 0 .\S\i
-t- «u.v>
z" - a 2 So
-I- a u .y 2
Lcs equations en a 0 , a,, « 2 , ..., auxquelles nous sonmies amend
par I’idenlilicalion, sonl done
i = a 0 ,
Ci = a, — a 0 (^oH- n),
Cs = a ®— a i Oo + n— i) — ocoSi,
Cs = a :i — a s f A’ u -+- « — •>.) — «j — a u a- 2 ,
Elies donnent
* 0 = 1 ,
ai = Ci -H- A - oH-
a 2 = C» H~ (So ■+■ it — i ) C1 ■+■ ( * s 'u ~l ■ n ) ( a'o -t- n — l) —t— i,
cl monlrcnl cjue a 0 , a,, a 2 , ... sonl dcs polynomes en £ ayant
pour coefficicnls dcs fonclions enlicrcs el a coefficienls enliers
de s 0 , Si, s .>, ... cl par suile des racines z 0 , z t , ..., z„. On voil
de plus que 04 esl un polynomc de degre i dans Jequel Ic coeffi¬
cient de ^ esl egal a I’unild; ainsi, en posanl pour plus de clarl^
a/=0/(O,
el dcrivanl ddsonnais @(.3, 'Q au lieu de @(3), afin de metlre £ en
evidence, nous aurons
eC-s* C) = -="-1- o t (C)-^~ 2 -+-
Dc la resulle, pour 1 c polynomc 0 | (5), la formule
M£l = M-o^thP •, Ki 0 ( g nO | __ , ^ t e(Zn,Q ^
les limites :- 0 et Z dans la relation
f r: =/ ryw.; > * - ^ f ( s) e ( ,),
ce qui clonne
' z e-=F(z)f(z) r z C -=F(^)0,^)
= Hu 0Ol), ^
Z e-F(z>
■+■ hi 0(-u 0 y*
‘ *-**<-->*.
+H/.e(-/.. 0 y*
z -
C’est surtout dans le cas oil Ton suppose
Ho= Hi = > ■ • = H« = m >
que nous ferons usage de celte Equation; si
l’on fait alors
m 0(~/, z/,) = (i/O,
et qu’on prenne £ successivement egal a ,s 0 , 3,, ..on en en
clut, comme on voit, les relations precedemmenl cinoxicces, q
resultent de celle-ci,
ft^M dz = {i0) r l ^lf^ dz
Jz 0 Z z i t/- o >8 Z 0
pour 1 = 0, i, 2, n. Je resterai encore cependant dans lc
general pour 6 tablir la proposition suivante :
X. Soient A et § /es determinants
®(*o, So J ••• 0 (z«, So)
©(*0, ) 0(-8l,-3l) 0(z /2 ,^t)
0(-o, *„) 0(*i, Z a ) ... B(z n ,*n)
je dis ((idon a
A = 3*.
Eflectivemenl, 1’expression de ( n )(a, £) sous la forme
monlre que A csl le prod nil des deux determinants
I
Oi^o)
i
Oi(*i)
... 0i(^„)
0 s (-o)
O a (-si)
... 0 S U„)
0»(-o) 0 rt (3.)
... o, (3 ,o
Mais Q/(£) <$tanl an polynome en £ du degre i seulemcnt, dc
sorle qu’on peut faire
0/(0 = ^- 4 - +
ccttc seconde quantity, d’apres Jes Lhdorfcmes connus, sc reduil
simplemcnt a la premiere, et I’on a bien, com me nous voulions
I’elablir,
A = 8 2 .
Celapose, soienl
- j :
6 -=/»>(s)dz,
e~=f»‘(z)dz = mj'^ t-J-Jdll dz
H- ,* f* } dz+...+ mj*
devicndra plus simplement
et celle-ci,
/
e -zf,n +1 ( ~ )
*-z c
‘ <?--/"'( s)
<
■ e (z„oJ^' ‘~ z/ "‘ iz ' dz
i a
e~- (-s ^
cljz ,
en supposant successivemenl £ = nous donnera la
substitution suivante, que je designerai par S /w , a savoir
e?« + i = 0 (^ 0 , 5„) e® w + e (-„ So) e‘ t + .. . -h e (^ H , -o; ^,
si. + i = 6f-o, Si )e;-8(Ji, Si)s; w -4-...-!-ef5 w . s, )e'{,,
s;;.+i = © (so, ) S o„ + 0 (*,, ) z}„ +. . . -4- 0 ( s n , ) e», •
Si l’on compose maintenant de proche S t , So, S m _ l7 on
en deduira les expressions de s ; ° H , e) n , ..., s" t en s' 1 , s'', quo
je repr^senterai ainsi :
Sfl, = A 0 6? -4- A, £ } + . . . -H A a £ » ,
e) n = B u s® -h B, s 1 . .. -u li„ e»,
etle determinant de cette nouvelle substitution, etant egal au pro-
duit des determinants des substitutions composantes, sera o-( m ' *■'.
II nous reste encore a remplacer e“, e[, e ' 1 par leurs valeurs
pour avoir les expressions des quantitds e l m sous la forme appro-
priee a notre objet. Ges valeurs s’obtiennent facilement, comnu*
on va voir.
en supposanl
f"C z \u z) rlz =— c -.7(s),
c’esl-a-dire
-i-/^ I -+- 7 '
- J - Pi
II est aise tie voir alors que $(z) devienl unc expression enliere
en z el £, enlierement semblable a &(z, £), de sortc que, si on la
designe par<I>( [z, t), on a
*(=, 0 = -" i-e 1 (r)=«-‘-i- ?s (ri5«-s-i-...-:-<?„(?),
®/(C) elanl an polynomc cn £ de degre i, dans lequel lo coefficient
de esl I onite. Ainsi l’on oblienl, en parliculicr,
?i(?) = S P \-+- »,
o*(£) — T- -+- ( /), - 1 - /? — i) w -+- p. 2 -h (n — })p l -h n (n — i),
el ^analogic de forme avec "C) monlre que 1 c determinant
‘I’C-u, -o) ‘I’f-n-o) ••• <!>(-«: =o)
5,) ‘Id 51 , -! ) ... ‘H
^(- 0 . -„) ••• =«)
esl encore egal a o-. Cola pose, nous lirons de la relation
f LlL=> ,ds = g-3, t[)( J 0; g) - e-L rf,(Z, g),
en supposant £ = la valeur cherchdc
s'i ~ c~-»4»(z 0 , zi) — c~M>(Z,^).
Or, voici les expressions dcs quantiles z l )H qui en rdsultenl.
Soicnt
X — k 0 «f>(Z, z 0 ) -+- A, <I>(Z, )-+-... -4- A ft 4>(Z, *„),
Til) = B 0 «1>(Z, s 0 ) -4 B x <I>(Z, i,)+...+ B„ <I>(Z, Z„),
Dans ces forniules, Z dcsigne l’une quelconque des quantiles
z-2, maintenant, si nous voulons metlre en dvidcnct
resullat correspondant a Z == s*, nous conviendrons, en outre,
representer, d’une part, par nl>*, ..., .£*, el de l’aulre par
y,{, les valeurs qne prennent, dans ce cas, les coefficients
ilti, ^ et les quantiles s° H , z' ilP s" t . On obtient ainsi
equations
r i A- — e '“ =J ^>0 — C Z A oli/,.,
r,l= e~=o it», 0 —
7 1A= c “-°-Co“
qui vont nous conduirc a la seconde demonstration que
annoncee de l’impossibilile d’une relation de la forme
e : «N 0 + e 3 oN) . .+ e 5 »N,j = o.
les exposants ^ 0 , x tl clanl supposes en tiers, ainsi qu<
coefficients N 0 , N,, ..N w .
XIII. Je dis en premier lieu que e' w pent devenir plus petit
Louie quantite donnee, pour une valeur suffisaimncnt grande d
Effectivement, l’exponeniielle e~ z 6 tant toujours positive, a
com me on sait,
f e- z Y(z)dz=Ta)j\-zdz = Fa)(e- z o—e-*),
F(^) etant une fonction quelconque el £ une quantite com
entre les limites et Z de l’intdgrale. Or, en supposant
f'-Ht) M)
(e -. 0 _ e - z) ,
qui met en evidence la propridte enoncee. Cela pose, je lire des
equations
v)i = e--o c ,\. )0 —c'-tcJU),
v)S = e~ z ° eJlog— e-^JcA.-'o,
"*1 ® — C X>o— Q “« eJlo/;,
la relation suivanle,
e z >i)\ N,h- e^v)§N a + .. e z » yj $>, N n
— e-sa( e 3,]\ 1 _ 1 _ ez a N 2 -H.. .-I- e 3 «N/,)Xo
— ( X> 1 N 1 -+- Xj IN2 -H . . . -+- C Ao lt N ,( ).
Si l’on inlrodait la condition
e 3 oNn-h e-i IN, -i-.. .-+■ e z » N /t = o,
el I e dcvient
e z >'/) { l N! -I- e z * rjJ N 2 h-...-+• e z «-r l l N„
— — ( X.) N () H~ X 1 N1 -|- . . . •+• oAo ,1 N).
Or, en supposanl que 5 0 , 5,, ..., s„ soient enliers, il en esl de
mtime des quantities 0(>/, s A ), s A ), cl, par consequent,
de cAo 0 , X ( , • • •? X„. Nous avons done un nombre entier
X 0 N 0 -t- X i N i -\-... -+* oAj),j N„,
qui decroit inddfmiment avec tjJ, vjJ, ..., v\' l n lorsque m aug-
mente; il en resulle que, a partir d’une certainc valeur de m, el
pour toules les valours plus grandes, on aura
X>o N o -1~ Xj N i —t— • • • h— <X n N/i — o,
el, comme on obtienl pareilleinent les conditions
ilbo N 0 -+- 'll*) i N j -+-... +• atb/iN/j — o,
-l^oNo-h-lii Ni-b.. o,
la relation
cAbq oilsi
111,0 ii'-n
■Co
A* n
ni>«
doit necessairement £tre nul. Mais, d’apres les expressions drs
quantity A>k, ill, a, ..J^/c, A est le produit de ces deux aulros dr-
term inants
Ao
At •
•• A n
B 0
B, .
.. B /t
L 0
L, .
• • L n
^Oo^o) ... o)
*(*o,*i) ... 4 >(^«,-i)
*( 3 0 ,Zn) ••• *(-«,-«)
dont le premier a pour valeur et le second 8 -. On a dour
A = B 2w , et il est ainsi dOnontre, d’une maniere enlierctnirul
rigoureuse, que la relation supposee est impossible, et quo, par
suite, le nombre e n’est point compris dans les irrationnelles alfjr
briques.
XIV. II ne sera pas inutile de donner quelques exemplos tin
mode d’approximation des qnantites auquel nous avons etd mu
duits, et je considdrerai d’abord le cas le plus simple, ou I’m*
ne consid&re que la seule exponentielle e x . En faisant aim*
f{z) — z(z — x ), nous aurons
s /n = -^- f e-tz" l (z — x)" 1 dz
et
i r x
e“i =- / e- z z ,n ~ l (z — x)" 1 dz,
zj n — --- / e~ z z in (z — x)»‘- 1 dz.
i.i...m — i/ v '
0 (-,S) = *
■).m -4- i — x,
(I’oil
0 (o, o ) = 2 m -t- i — x, 0 ( x, o ) = ‘im -+- 1 ,
0( o, x) — i ;n + i, 0(ar, x ) = j.m -+- x -0 x,
ct, par consequent, ces relations
s° i+ , = (•>. m -+- 1 — x) e°, -+- (2 m -+- i) e‘,,
z } ll+ 1 = {-ini -4- (-im - 4-1 -4- x)z) n .
J’observerai inainlenant qu’il vient, en relranchant membre a
membre,
6 J/i+i — e m+l
de sorte que, ay ant
£/;( = E®| —H S/b)
on en conclut
S/»»+1 — e °H-1 =
Joignons a cettc equation la suivanle :
£ //(+l "+" S //i-h 1 ^ e mH-l j
nous en deduirons les valeurs
gl _ s,,, 1-1 -4- xe„, ^ s, /H , ■ a'*,n '
el, si Ton y change m en m — r, unc simple substitution, par
cxemple, dans la relation
z m+ 1 = ( ’•>. > n •+• 1 ~ x ) -+- ( 2 m “l~ 1 ) 1
donnera le resultat prececleimnent obtenu (|). 1 (» 5 ),
e,„+i = (4 m ■+• 2 ) s ;M -0 x* e w _, .
Soient, en second lieu,
d’oii
n = z 0 = o : Si = 1
/(•») = -l- “ 0( s ~ 2 ) = s''
on trouvera
0 (o,o) = gm--f- 3 /«.-+-i, 0 (o,i) = ()m 2 + fim, 0 (o s 2) = 9 />i 2 4 - g/n-i-i)
0 (i, o) = 9m 2 -4-6 m-+- 1, 0 (i,i) = 9m 5 -f- gni 4 -i, 0(i,2) = 9/n 2 4-i2/>n-j,
0(2.0) = 9 m--+- g m 4- 3 , 0(2,1) = g/?r 2 -t-i 2 /?i 4 - 4 , 0(2,2) = 9 m 2 4 -12 /n + 7.
E11 particulier, pour m = 1, nous aurons
£§
d’ail]enrs il vient facilemenl
*(*,O = - s h-«-0* + ($-0 4 ,
ce qui donne
eO = i — e—L (Z- — Z -t-1),
sj= — e- 2 Z 2 ,
s| = i — c-Z(Z 2 +Z-hi);
on en conclut
== 04 — z ( 5 o Z 2 -+- 8 Z —1— M\ ),
£i = 40 — e- z ( 5 gZ 2 -+- 10Z 4- 40),
s| = 5 o— e~ z (74Z 2 h- 12Z 4- 5 o).
= 1 0 £ 1 4- iGe} 4- 21 sf ,
= I is" 4- 1 9e 1 4- 2oef ,
De la res ill te quo
£,= £0 4- £}4-£l= 2 — 6 Z ( 3 Z 2 -+- 2 ),
£ 2 = £0 4_ 6 1 + e 2 _ _ e-z(!83 Z 2 4- 3 oZ h- 124);
et, si l’on fait successivement Z = i, Z=2, l’expression de s,
fournit Jes valeurs approchdes
el l’expression de e 2 les suivantes :
. 337
' 124
91G
12/1 *
od ferueur ne porte que sur les dix-milliemes. En supposant. on-
£®i = Zi'Jsg -+- -+- 57e|,
e> = 48eg +■ 55si-i- 64el,
-D 63 si ■+■
nous obliendrons
£!} = 6272 — e ~ l ( 9?.:)() Z 2 -+-1 5 18 Z 4- 6272 ),
s‘ = 70J2 — e~ z (io 38 i Z'--t- 1702Z -4- 7032),
£^ = Holo — e-*(n8G9ZS-Hi<)iGZ + 8040),
(I ’ o u
£3 = 21344 — e —z (3i5o()Z 2 -i- ;jiG 6 Z -+- 2i344),
et, par suile,
e ' e ., = 1 ^2221,
2(344 21844 ’
I’crreur porianl sur le.s dix-millioniemes.
(') Dans Ic lexie d’Hcrmile, <m irouve mi dernier lerme cln second memlnv
dc la Iroisieme ligne le coefficient. 75. 3W. Bourget, cn refaisanl les calculs, a
irouvd Ic cocfncienL 73; celle rectification u amend des modifications asscz impor-
lanlcs dans les valeurs dee cL dc e a , (jont [’approximation moiUc, dc cc fail, mix
dix-millioniemes. li. P.
EXTRA IT D’UiNE LETTRE DE M. Ch. HERMITE
SUR [’INTEGRATE
Noavellc Correspondcince mathematique, t. I, 187 /i, p. 33-35.
Perinettez-moi de vous adresser une seconde determination dr
Tintegrale de Poisson
qui oflYe {’application la plus importante du iheoreme de M. .Liu 11 -
ville, dont vous avez donnd la demonstration.
Soit, pour abreger,
Je designe par £ une constante telle que la serie
z-f 2 (x) -4-...
soit convergente : elle aura pour sorame
_£/(£)_.
ce qui conduit a chercher la valeur de l’integrale
X
zf(x) dx
l — eJXx)’
dont il suffira ensuite d’effectuer le ddveloppemenl cn serie, sui
vant les puissances croissantes de e. Or, en faisant pour un mo
mcnL cosa; = z, la decomposition en fractions simples de la fraction
rationnelle
e/fa?) _ _ s(i — Z 9 -) _
i — e/(a?) ~ i - 2fli + a‘-s(i-iS)
donne immediaiement le r^sultat; car, cn dcrivant
_ £(1-^) __ G 11
+ e(i — z-) g — z h — z'
vous voyez que nous sorames ramenes a l’inlegrale connue
r
Cela pose, on oblient, en rdsolvant l’dquation du second degrd
•i — i.az -+- « s — s(i — .s 2 ) = o,
_ a — v/( > — e) ej
. a •+• v'f 1 — £ ) ( a-i — o
On a ensuile
comme il est facile de Je verifier en elevant les deux membres au
c,arr<b Mais il est necessaire, avant d’employer ces formules, de
ehoisir les signes rt dc manure que les radicaux aient bien les
determinations qui icur conviennent dans les relations
r U clx _ TT r U dx _ TZ
J 0 g — cos a? ~ _ i ’ J 0 h—c os a? “ ~ ‘
Revenant, a cet ellet, & la condition de convergence de la sdrie
j’observe que le maximum de f{%) est l’unitd pour
cl < i, et ~ pour a > i; on doit done supposer e <; i dans le pre¬
mier cas et s < a- dans le second, de maniere & avoir ef(z) <C i,
pour toutes les valeurs de la variable. De l’indgalitd i — e/*(#)>o,
resulte que liquation
Loujours supposer " et u reeis, en prenani uans les ueux cas, cu
qui est pennis, t moiadrc que la plus pelite cles quantiles t el a".
iillectivement le radical \/( i — t) (a- — t) sera reel, et, si I’on
admet que a soit positif ainsi que e ; l’equation
fait voir que les racines scront, l’une et I’autre, positives. Dc la
resnlte que, dans les relations precedentes,
f
J o
s:
/l—COSX y/ht— 1
les radicaux ont le signe +; par suite, on doit prendre
si l’on suppose a << i; et
/ a , 2 — e — a\J i — e
dans le cas de a > i. Ayant tou jours d’ailleurs
on obtient, dans le premier cas,
_ £ sin 2 r else
i — xacosa + a 2 —e
■ = Tt [ I -+-(! — £) - J,
et, dans le second,
T £sin 2 .r^ar I / e \” I
J 0 t — %a cosa; a- —e sin 2 # — ' L |_ \ a 2 / J
Vous voyez que ces formules donnentbien le resultat de Poisson,
en faisant usage du ddveloppement
(l-£) 2 = 1+ -
2.4
1 .3.5 .. ■ (aw — i )
2.4.6... 2 m
EXTRAIT
n unk
LETTRE DE M. Ch. HERMITE A M. BORCHARDT,
SUR LA
TRANSFORMATION RES FORMES QUADRATIQUES
TERNAIRES EN ELLES-MEMES.
Journal de Crelle, l. 78 , 1874, p. 325 - 3 'i 8 .
Pennellez-moi de repondrc a unc objection lies fondee c|iii a
et 6 faite par M. P. Bachmann, a ines formulcs puur la iransfor-
malion des formes quadraliqucs lernaircs en elles-indmes, dans
son travail intitule : Untersuckungen i'tbcr rjuadralisrhe For-
men, Lome LXXV 1 de votre journal, page 33 r. JL’analyse indirecle
donl j’ai fait usage ne prouve pas en ell’ct qu’elles comprennenl,
sans aucune exception, Louies les subslilulions qui reproduisenl
une lorme donnee; or un point nussi essenliel demandc 4 6 lre
completemenl debbrei, et e’est ce que jc vais essayer de laire.
Ddsignanl la forme proposoe par/(.r,y ; 5),- el posant la condition
/(*, 7,-*)=/(*, Y,Z),
je l’dcris de la manure suivanle :
' dx
dy'
- d l.
° dz '
- x y d ‘ f _u z c iL
■ X 3X +Y 3Y" t " Z 3z’
v „ df y Y d .f
ou pour abnSger
r/X dx
ct j’ajoute les deux egalites membre a membre, ce qui donnera
-(***)-«(***)• ■
on bien
Soit maintenant
U = x — X,
V = y — V,
W = G — Z,
_df df
~~dx dX’
.df df
' dy dX
dz dZ
Vous voyez que des expressions de x , y, s en X, Y, Z resulle
ront pour ces diverses quantiles des fonctions lineaires dc cc
trois indelerminees, tel les qu’on ait identiquemenl
UU'-h VV' + WW'= o.
Cherchons ces fonctions, et pour cela consid^rons un premie
cas dans lequel nous supposerons qu’il soit possible d’obtcrv
inversement X, Y, Z en U, V, W. II esl clair que U\ V', V
seront alors des quantites lineaires en U, V, W, et un calcul faci
donne sur-le-champ, pour la solution de I’dqualion proposee, l(
formules
I U' =vV — [jlW,
(0 V'=XW —vU,
( W'= pU -XV,
ou X, p, v sont des constantes. Or on en tire les relations suivanlef
df _
,df_
+^=vX-).Z
dy dX
df
df _
X Y — p.X -
df
asavoir
(U)
, 4L
dy'
4 -
df
4
, iL.
dx
^ df_ _ r
‘ dy
v rf/- df
rfX
,f£
* d\’
et qui rdsulleraienl des equations
U = v V' — [jlW',
V =XW' —vU',
W = |jlU' — XV'.
Mais im de mes eleves, M. Tannery, agrdgd de l’Universile, a fait
la remarque ingenieuse qu’en rempla<jant X, p., v par 4 -
IT mi ^(^)^5 V ) dcsigne la forme adjointe de /(X, p, v), D
son determinant, et changeant X, Y, Z en —X, —Y, —Z, les
dqualions (1) donnenl les relations (II).
Supposons, en second lieu, qu’il ne soil pas possible d’exprimer
X, Y, Z en U, V, W; en ddsignanl alors par 9 , 6', Q v trois inde-
termindes, je proposerai d’une part
U = 0. V = 0', \V = aG — bO'
et de l’autre
U' = AO + A'O'+A'O*,
V' =B0 + B'O'-t- B"0",
W' = CO -+- C'O'-t- C'O*.
Gela diant, la condition proposde CJU' + VV 7 + WW' = o donne
les relations
A -i-«C = o, B'—6B' = o,
A’+aC"=o, B"— bC"= o
CL
A' -t- B a C' — 6 C = o.
lin rempla^ant cette derniere par les deux suivantes ou c est une
indeterminde
A' = — aC'-r c,
A" = — aC",
W=bC',
B"=bC",
et il en resulte que
U' = — a ( C 0 -!- G' 0' +• C"0") -h c 0' = c V — a W',
V'= 6 (C 0 -h G'O' -h C"0" ) — c0 = bW-c U.
Ayant ailleurs W=aU — 6V, il est clair que la noavelle solu
lion obtenue se deduit des equations (i) en pcrmulant W el W'
Or les relations auxquelles elle conduit entre .r, y, z et X., Y, /,
savoir
c.x -t-
cy — a
df
dy
df
dz
b
df
dz
cX-
df
dX
df
dx
v df
= cY + a 3 z
IL
dX 3
ax — by — z — ciX — b X — Z,
se ramenent au type (II) si Ton fait
ear I’equation
Xx -H [j.y + v; = XX + jjlY -+- vZ
s’en deduit corame consequence.
Il ne reste plus qu’a examiner un dernier cas dans Jequel U, \
W d^pendraient d’une seule inddtermin^e au lieu de deux, c
sorte qu’on aurait U = aW, V = ( 3 W, et par consequei
a lJ , + {3 V 7 -!- W'= o. Nous aurons alors les relations
x
y
a
df_
dx
- « z = X — aZ,
- $z = Y-QZ,
df _ „ df
dz dX
iL-.iL
d\ dZ ’
qui en remplacant a et p par *, £ donnent les formules
a df_ , LL
dX
H-Y
dZ
/K p, T ) V rfx'
r -Y ■ I 3 IJf ,
Y
/(«»P» Y)
tution ainsi obtenae par S, on aura S -1 = S, d/ou S- = i. Cette cir-
constance m’avait fait penser tin instant qu’elles constitucraienL
une exception an type general, mais j’ai ensnitc remarque (pie les
relations (I) donnant la suivante :
, df d£ df _ . df df df
The ” h ,J ' Tty v “ ~ K 7K “ ^ dY ~ v dZ ’
il suffisait pour les obtenir de poser A = ay, p = fiv, puis de fa ire v
infini. Je pense, mon clier ami, avoir ainsi rempli la lacune epic
presentaient mes anciennes rechercbes.
EX TRAIT
d’une
LETTRE DE M. Ch. HERMITE A M. BORCHARDT,
SDR LA
REDUCTION DES FORMES QUADRAT1QUES TERN AIRE:
Journal cle Crelle , t. 79, 1874 , p. 17-20.
Deux geometres russes extremement distingu^s, M. Korkine
M. Zolotareff , ont recemmenl publie dans Jes Annettes cle Math
matiques , de M. Neumann , des reclierches approfondies aya
pour objet, entre autres choses, le tbeoreme de Seebe/\ surla lin
tation du produit des coeflicients des carres des variables dans J
formes quadratiques ternaires reduites. L’imporlance clu suj
rend peut-etre utile de multiplier les points de vue sous Jesqm
on peut le traiter, et, apres la m^thode de ces deux auteurs, je pi
poserai la suivante.
Soit
D — aa!a" 2 bb'b "— ab -— a' b'- — a"b "' 1 ;
il s’agit d’etablir dans deux cas distincts que la condili
aa' a!' 2D est v^riliee, le premier supposant les conditions
a) j , t>0 ’ i,>0 ’ °" >,h
{ a<a<a'; 2&"<a, 2 A < a, ib < a',
et le second cet autre systeme
I £<o, 6'< 0 , 6"< o,
fll) <a<a'<tt", —2 £"< «, —2 i'<«, —
( a-4-a'+2(6 + 6'-i-i")>o.
Consid^rant a cet eflet «, a 1 et a!' comnie constants dans l’expr
sion
2D — aa’a”— aa'a"-t- l^bb’b” — lab’ 1 — 1a 1 b '*— 2a"i" 2 ,
atlrilme a b par exemple sa plus petite et sa plus grande vaieur.
Effeclivement dans les deux cas que nous avons a traiter, b" par-
court des valeurs toujours du meine signe, positives dans le pre¬
mier, negatives dans le second, a parlir de b lr — o. Or l’expression
est un trinome du second degre en b' r dont le lerme du second
degre est allecte d’un coefficient negalif, et, si le terme constant
qui est donne pour b" = o est positif, ses racines seront rdelles et de
signes contraires. On voit par la qu’a 1 ’egard d’une sdrie de valeurs
du meine signe, il sul'fit bien de verifier que l’cxpression est posi¬
tive aux limites, pour dire assure qu’elle 1’eslaussi pour les valeurs
intermediaires. Cela pose, faisons en premier lieu b" — o ct b" — -
dans l’expression de 2D — a a' a". Je remarque que les quantiles
auxquelles on sera conduit, et qu’ii faut demontrer dire positives,
seront a 1’egard de b' des trinomes du second degre dont le terme
du second degre sera encore ndgalif, et que cette variable sera do
indme assujellie a parcourir une sdrie de valeurs de mdme signe,
de sorte que le raisonnement precedent leur sera applicable. Sans
le repeter davanlage, on voit clairemenl. que noire objet est main-
Lenant de donner les limites de ces inlervalles que parcourent
b, b 1 , b\ sous les conditions (I) et (II), et de calculer les valeurs
correspondantes de 2 D — act'a!'. Or elles son t pour le premier cas :
b"
\
a a 1 a",
. ,, aa n
a a a ->
b'
, .. a 2 a "
act a — ->
d , a 2 a" aa!' 1
a a’ a" —
2 a'
1
. « aa ' 2
aa a -
a 2 a"
X
a? a"
et a premiere vue on reconnait que ces quanlites sont positives
sous les conditions
a < a' < a".
Mais cette demonstration toute eldmentaire est loin de 1 ’eleganer
et de la profondeur de celle que Gauss lire dans le premier eas,
par exemple, de cette identite
2D = aa'a!'-{- ab(a '— 2 b) 4- a' b' {a — -ib') -f- a"b"(a — 2 b")
4 - b(a — 2 b') ( a '— 2 b") 4- b'{ct !— 2 b") (a !'— 2 b)
•+• b“(a" — 2 b) (a — 2 b') 4- (a — 2 b') ( a '— 2 b") (a" — 2 b}.
En reflechissant a cette etonnante transformation j’ai fail, la
remarque qu’elle pent dtre g^n^ralisee de cette manibre :
2aa'a"D = (2«a'«"— ]) a a' a" 4 - aab(a '— 2a'a"&) 4- a.' ci' b'(a "— 2 a a." b‘ 1
-t- a"a" b"(a 222'6") 4- ocb(a — 2a'6') (a'— 2a"6")
4 -a 'b'(a !— 2a" b") (a"— 22 b) 4- a" b"(a "— 2 ab) (a — 2x7/ t
4-0 — 2<x'b')(a'- 2a" b") (a"— 226).
On verilie aisement en effet que le second me mb re s’evanouit si
Ion fait a = o; par un cliangement de lettres on conclul qu’il
s annul e aussi do ur ct! = o et a! ! = o • la fnrmnlp A on p
Enfin je remarque qu’en permutant x el y par exemple dans la
forme proposee, ce qui revient a exchanger a et a’ d’une part,
b et V de l’autre, l’invariant conserve la m£me valeur. II enresulte
que cette seconde relation donn^e par Gauss
D = aa'o'+ ab( a" — zb ) -p a'b’ (a — 2 b' ) -+- a" b " (a — zb")
-+■ b(a — -zb") ( a" — -zb') - 1 - b' ( a' — -zb) (a — zb ")
-I- b" (a"- - o. b ') ( a 1 — 9.b) 4- (a — 2 b“)( a! — 2 b) ( a" — 2 b')
est simplemenl une consequence de la premiere etqu’elle se gene¬
ralise de la m£me maniere.
SainL-Sauveur (Ilaules-Pyrdnees), 25 juin 1874.
EXTRAIT
d’une
LETTRE DE M. Ch. HERMITE DE PARIS A M. L. FUCHS
DE GOTTINGUE,
SUR
QUELQUES EQUATIONS DIEFEKENTIELLES UNFAIR
Journal de Crelle, t. 79, 1875 , p. 3^4—338.
. . . J’ai pris en effet pour point de depart l’int^grale sum
y = J(z ^0)^0-* (z — Z t )U-1- 1 . . .(z Z n )\>-n- l (cc zyt—v dz,
qui comprend les transcendantes hyperelliptiques, el donl je
facilement une Equation lin&iire d’ordre n + 1 analogue it c
qui ddfinit la s6rie de Gauss.
Soit en effet
f{z) = {z — z 0 ) {z — Zi) . . .(z — z n ),
puis
f l (z)= I | ... 1 \ X nA Z ) .
J ' Z — Zq Z - Z\ ’’’ z — z n 3
on trouve ais6ment la relation
P
N d n+l y
' dx rl+1 ~
dn y , pip — 0 ,
dx*
\ dJl ~ x y _
' dx n ~ i
} dx ri 1 JiK ^ } dx n ~
= dz (p -1)( P — 2 )...(& — Tl)(Z — Zn^of z
/"(*)
d»-\r
1.2 ^ dx n ~‘ l
-zd ) I ,..(z - zJsV-nlx — -
SUIl QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES UNEAIRES.
195
Or, en supposant les exposanls p 0 , pi, . . ., p.^ positifs, le second
me mb re s’evanouit pour 5 = s 0 , z,, . . ., z, l} et, si l’on convient de
designer par Z I’une quelconque des n quantitds s,, z 2 , . . s Ul
Jes diverses integraJes
(x — z)' l ~P dz ,
oil j’ai dcrit pour abreger
£{z) = (z -z 0 )\>- 0-1 (z —
satisfont a l’dquation lindaire sans second merabre. Mais il est un
autre point de vue que celui de l’applicalion de vos tlidordmes
gdndraux sous lequel cette Equation me parait encore olTrir quelque
intdret. Ges rapports de la thdorie des fractions continues avec
certaines Equations du second ordre que nous ont fait connaitre les
belles rechercbes de M. Heine et de ML Christoff el se trouvent
en efTet susceptibles d’extension, et vous allez voir comment
liquation lindaire d’ordre 11 -|- 1 se lie aux modes nouveaux d’ap-
proximations simultandes de plusieurs fonctions, dont j’ai donnd
un premier exemple en considdrant les quanlitds e av , e bx ■ . ..
[Sar la fonction exponentielle (Comples rendus, 1873)]. Soit
d’abord, en elTet, en supposant m un 11 ombre entier positif.
et
Pi = • • • = p« = m ■+■ r
p — ni -t- tx -1- 1;
on sera conduit a l’dquation
f(x)
dn-i-ly
v t
n f ( x ) Tjtn — -{>n^n)(m-n+i)f{.v)
d n ~ l y
—^ (m ■+■ n) (m n — 1 )(m~n + 2)/'(a:)
d>i-iy _
/
d /ll Y r d' n u ,
utL-ldz = e-4-(— i)" 1 j v -^ dz >
A dU c?"«-*V , N „, , d'“~' U
0 = « ^rr - 777 +••■+(-O '"- 1 .
je fais
u =/*(*), v = 2rri ,
el observant qu’aux limites 5 = z 0 , z — Z la quantity 0 s’dvanouit,
puisque la derivde d’ordre m — 1 de f m (z) contienl encore le far-
teur/(z), j’en tire en negligeant un coefficient numdriqne
d"i f" l (z) dz
Soit pour abrdger
*(*) =
dz' n
on pourra ecrire encore
" 4>(s
/ >y ‘ «*>(*) — 4* ( 2 ) o
x — z
de sorle qu’en ddsignant par 'bi(x) l’intdgrale
£ Zi *(x)-<S>(z)
qui est un polynome entier en x d’un degre inferieur d’unc umli
au degrd de $(.£), les expressions cherchees sont
JK1 =*( a7 )jT —
y<> = *(oc)£ ^L-—<l h (x),
r =n dz
y n = <t>(x) j —— 4» n (a?).
Cela pose, on voit immediatement, en revenant a 1’inldgraJe
suivant les puissances descendanies de la variable commencant
par un lerme en
i
Les fractions de merae ddnomin‘ateur
<t» 2 f ar)
representent done les quantiles
aux termes pres de l’ordre
i
x /nn-i-m-hl ’
ou si 1’on vcul de l’ordre de
afin de nous rapprocher de I’arilhmdlique, et ellcs doivent dtre
regarddes cotmne analogues aux rdduiles de la thdorie des fractions
continues. Pour le mieux faire voir, supposons que reprd-
sente le polynome le plus gdndral de degrd mn; Lous les coeffi¬
cients se troLiveront ddterminds sauf un facleur constant, en s’im-
posanl pour conditions, que les ddveloppemenls suivant les puis¬
sances descendanies de la variable des n fonctions
ne contiennent aucune des puissances
i i _t_
x ’ x% : x m
T? I a \ i \ A a naa rvt»A rl n i i c rtm cr\r\ \ A A
on atteint pr^cisement, mais sans la depasser, l’approximation
nous avions oblenue pour les quantiles
dont les developpemenls commencent par un terme en
on voit done que cetle approximation est bien en eflet de h
le plus elevc possible, en supposant
cl " 1 f" l {x)
dx m
J’acbeverai enfin de metlre en Evidence le lien de l’cquation
rentielle avec ce nouveau mode d’approximation des fonc
en elablissant que <&(£c) en est une solution, et ce sera aussi
point essentiel completer son analogie avec 1c polynome -
Legendre. Remarquons a cel efPelque, rien ne spdcifianl, a l 1
de l’integrale
f L f" l ( z ) dz
J,
le chemin suivi par la variable enlre les limiles Z, <
maitre d’introduire dans une des solutions, telle que
les determinations multiples du logarilbme. Or on oblienl d
veiles solutions, dont se tire immediatemenl, par difTdrer
polynome <&(:r).
Des resultats semblables aux precedents s’offrenL dans d
Constances un peu moins simples, lorsqu’on fait la supp'
suivante :
SUR QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.
r 99
p = ni -+- n -+- r,
m etant encore un nombre entier positif. L’equation differentielle
est alors
_ H ,i_i) (*ni-n + o,
et elle admet pour solutions les integrates
r‘
(x — zy>^
qui, en opdrant coinme plus haul, se ramenent a la forme
-jf
' d"\f ‘ a O) dz
dz" 1 x — z
Posons
d'nf 1(JS) = <I>U)
de sorte que $( 3 ) soil un polynome entier de degre mri ; la rela¬
tion suivante
r 1 ♦(*)_ _ /•» ^ r* *(*)-*(.) jU_
J:, (x — *) //(«) ‘4. (* — 3) </fW J,, X — * t/JW
met en evidence les integrales hyperelliptiques
r —^ “ f
• 4 . (V — 3)\/f(z) J Sn
<P(x) — <!>(*) dz
FTTl s/fiT)’
que je vais exprimer par leurs dldments simples.
A cet effet et en considerant d’abord la premiere, soil
f{-z) = A 0 ^ ,i+1 -I- A-i s" -+-,..-+• A/j+i;
on aura, comme consequence du theoremc sur l’echange de l’
gument et du parametre,
• -0 (a? —*)//(*)
to * 1 - 1 -< 'im- - m -.L
Quant a la seconde, ou figure le polynome enlier
elle se ramene au moyen des reductions elemenlaires connu
une combinaison lineaire de
[Z]o, \ 7 ,\u 1 Z]„_,
et sera par consequent de celle forme
= lz] „_,.,. lW + iz [/.vk
<£,(#), $«(#) etant des polynomes entiers en ,1
degrd nin —i. Ces rdsultats donncnt la iransformalion clien
r l <H
Jzr, (X —
{x — z)Jf(z)
r x X 0 dr , ,
—== / -~= —
//(»>*4 //(•*)
, .
<i>(x) r y \^x)d,
Ls/fW-L //(*>
/ i(x ) 1 //Y,r 1
dont voici les consequences :
Remarquons d’abord que le premier membrc conduit
on le voit, si l’on revient & l’expression
commengant par Je terme
Supposons ensuite successivemenl
l = z u Z = 5 S , Z = z n ,
en observant a 1 ’egard des relations ainsi obtenues, que Je deter¬
minant
| r^t]o c^iii ... |
1^2 Jo r*.ll ••• [-2 1«-1
M [*n]l ... [*«]»-!
n'est point nul; on en conclut que le dcveloppemenl des n fonc-
lions
_ c *’ ( - T -) r x X 0 </a?
r ' s/f{cG) J =o
_ <I>(a?) f" r \ l {x)dx
y ~ \//o)*4 s/KF)
y<
r v h n -i(x)dcr ^
//O) • 4 v//'( &)
commence de memo par le terme -^^777" C’est exactement a I’^gard
des transccndanles
'M£L c
\Z/(x)J Sl) \/jXX )
le resultat obtenu par la quantity log > et H en r£sulte que
les integrates hypcrcllipliqucs
f" r X 0 dx f" x \y{x)dx . /*'* X, ; -i (x) dx
*4 \/f(x) .4 y/J&) ’ --4 s/JW)
sont represents par les expressions
Relativement a l’equation diHerentielle, je remarque enfin que
solutions donnees en premier lieu par les quantity
f‘ l f"‘~kz)dz
ont ete mises ensuile sous la forme
r x l/c-iix) dx
\/f{x)Jz a //(O’)
oil il est permis d’introduire les determinations multiples dc 1 :
tegrale
vTF)
et celte consideration, precedemment employee, conduit ii la n
velle solution purement algebrique
4 >(a?)
//O)
ou, si Ton veut,
d" 1 f" 1 2 (.r)
dx" 1
En rencontrant ainsi, comme un element necessaire de [’integral
de certaines equations liniaires, ces approximations dcs foncti
par des fractions.rationnelles analogues aux reduites de la the
des fractions continues, j’ai dil songer a cherclier a leur e gar cl
algorithme semblable a la loi de formation de ces veduitcs. ft
avantde m’engager dans cette voie, et pour m’edairer stir la q
tion, je me suis propose, dans le cas de ces equations, a savoii
de tirer d'r ctem^nt. rlf>« int^raloc rUnr>; 0 c
relations propres aux fonctions X. m dans le premier cas, et aux
quantises sin dans le second. Pour plus de g^ndralite, je
remplacerai ces equations par les suivantes :
f(*)^ -+-/'(*) ^ — ^»i(m-t-0/"(ar)7 = o,
- \ (“ s - 0/"(^)7 = o.
( !l
ou je suppose
/O) = (> — a)(x — 6),
de sorte que les solutions scront
y
= r =r
J„ ( X ~ 2 )“- M ’ - . /
/
(a? — zy n+l J J u (x — z )"*■+■
Celaposd, je pars de ces identites facilcs a former :
'[£zy
d r/W)l = , (M + I) [/(£!]”
dz {x — ,z) m J ^ L.r-^J
H- m(a — &) a -p-7777 -I- — a — b) • ^ ^ Z ~ .
(x — z)»‘
(x — z )" 1 -'- 1
et je les ajoute membre & membre afin d’dliminer le terme
II vient ainsi
d r/(s) +(* — *)/'(*)'I
dz[ (x-z )>»-fi J 7 < '
fm-Yf z \
= m(a — by f- -
(X — Z)>n
- (2 m -+-1) (aa? — a — b)
(x — Z
- (m 1)
f’ n+l (z)
(x — z)m+*
En integrant entre les limites z — a, z = b et posant
(m -w )u m+l = -+- -J (ix — a — b)u m — - m{a — &) 2
C’est bien le resultat connu lorsqu’on suppose
/(a7) = a?*—i,
pour le polynome de Legendre; mais on voit de plus qu’en
faisant
u m — X,„ log — p„
a x — i
elle se partage en deux el que comme l’a trouve M. Chris¬
toff el, satisfait a la meme equation.
Je considcrerai en second lieu les identities suivantes :
L’elimination de —-— donne
u(ann-i) (2 x — a — b ) -
Int^grons de nouveau de z = a a z~b\ on en ddduit, en
d’ou encore un r<5sultat connu dans ]e cas de
Je viens jnainlenant au cas general, en me posant celle question :
irouver un algorilhme qui permetle de calculer de proche en
proche les lermes de cette s^rie
r z s{z)j\z)dz
’ J, (& — z ’
ou je suppose
— (®-^o )^ 0-1 (z — . . . (z - Z n )[>-!
/(*) = (s — Z 0 )(z — *l) ...(z-z n ).
Soit pour abreger
F (z) = £(z)f&(z) = (z
>0 ) v °(^ — Z[ ) V I . . .(z — z n )^n
m •+• k = /?,
de sorte que le terme gdndral devienne
r' 1 F (z)dz
J 3o (x — z)t>+i’
je remarquerai qu’en integrant enire les limites s = z 0 el s — Z
les deux membres de celle identic
d_ r F (z) "I
dz _(% — z )/ J J
. PV(Z) | F'(*)
(a?— a )/*-*- 1 (a?— z)t J
on en conclui
F(a? ) dz
s — z 0 (x — z)p
l
z
F(.g) dz
(,x — z )/'" 1-1
Vi f Z F(f2 <**
7? J. o -S—3l (x — 3)P
v* f Z F(z) _df
/» J St *—*n (V — ,i
De ceLte maniere l’integrale propos^e est clecomposee en n ■
an Ires qu’on peut representer par
r /j F(z) dz
J, z — t [x- z)p’
Z, ddsignant successivement les racines s 0 ? •••? 3 m ct
sera de mime de celle-ci
r' l F(z)f(z)dz
J Zo {x — Z)P^
qui est le terme suivant dans la s^rie, et qui aura pour elem
les quantiles
x;
F (z)f(z) dz
z — Z (X — z)P+ i ‘
Or ce sont les dldments ainsi definis qui donnent lieu a un sys'
de relations r^currentes, faciles a obtenir, comme vous allez
en suivant, sans y rien changer en quelque sorte, la meLhode
j’ai appliqu^e aux integrales
j' e~ z F(z)dz.
[Si/r la fonction exponentie/le (Comptes rendus , i8y3).]
Effectivement il suffira de ddmontrer qu’on peut toujours :
faire a la relation suivante
/• F (*)/(*)
J
dz
(x —'z )r +l
I
Qdz) F (z)dz &{z)F(z)
j\z) (x- z)P t x — z)P *
en prenant pour 0(s) et 0< (z) deuxpolynomes entiers du dej
=(»-;)e,(i)- f 9( S )A:)
el l’on a pr^eisemenl le nombre voulu de in + a constantes arbi¬
trages, pour identifier les deux membres, qui sont des polynomes
entiers de degrd a/i-f-i. Oe point <Habli, j’observe qu’en suppo-
sanl
on. oblienl
©i(a/) =
eL que par suite @ ( (z) se deduira de &(z), qui reslera seul a deter¬
miner au moyen de la formule
0l(*) = V o 0(*o)/^ v, ©( 3l ) h_. . .H-
Pour oblenir maintenant ®(xj), apres avoir deduit de la relation
ci-dessus proposde la condition
6(v) = — •
f(x)
je l’ecrirai comme il suit
/(*)
(* — C)(« — a) "
®iU) .
/(*) "
(*)>
et de celte forme nouvelle, je conclurai en remarquant que la
fraction n’a P as de partie emigre, que le polynome cherche
doit £tre tel que les parties emigres de ces deux expressions
et
0 w[^ + : F$] +9 '< a >
/(*)
(* — £)(* — :»)
coincident. Soit done pour en faire le calcul
p F ! (z) _ fo fa £* i
^ — * F(x) z z* z 3
nous aurons d’abord
©O) -+- -p " j =a 0 SoS"- 1 4- a^o I -g'*- 2 -b a 2 .?o
4- a 0 ^i ] H- <*iSi
4- a. 0 s 2
Soit ensuite
‘- 34 -...
-r = z ,l ~' 4- j Pi^"- 2 H-^ 2 ^» 3 4-... H“ Pn-U
(z~Z){z-x)
et nous obtiendrons les equations suivantes, au nombre de n,
savoir :
1 = a 0 (s 0 4- «•),
p x = a\(s Q -i- n — 1) 4- a 0 Si,
jp 2 = a 2 (s 0 4- n — 2 ) 4 - ai^i -+- a o^2i
p n -\ — a.,i-\ ( s 0 -+- 1 ) -+- a /i—2 ^1 - • •-*- ao^»-s-
Elies d^terminent de proche les coefficients a 0 , a t , a 2 , • • • > a »
et quant aa„, qui seulreste aobtenir, c’estla condition precede
ment remarquee
e(a0= _i££L>
v ' p x — X,
qui en donne la valeur. Revenant maintenant a la relation.
”F(z)f(z) dz _ /"e,(a) F (z)dz 6 (z)F(z)
i J J\Z) (x-Z)l’ ( X—Z)l>
r A
nous en deduirons d’abord
Z F (z)f(z)
©, (-s) Ff z) dz
JX*) (*“ z ) p ’
f“ F(z)f(z) dz r
J So z ~^ {x — z)P+t J Za
puis, en d^composant en fractions simples,
X
: F (z)f(z) dz
-£ ( X — z)l j + l
&i(z 0 ) r ,J V(Z) dz
fi z o)J Zo - 2-^0 ( r — z)i>
©1 (-gi) r l F( z)__ dz
~/'uo <4 *-*>■ (x-z)i>
17/ ^ dz
/'(
r
”( Z n)l
- Z,i (X - z)t>
Mais on a
9iU,-) = ../'(*/) 0(*/),
et si l’on ecrit 0(#, au lieu de@(,s) afindemettre en Evidence £,
qui entre, corarae il est aise de voir, au premier degr£ dans oc t , au
second dans a 2 , et ainsi de suite, nous obtiendrons sous forme
entierement explicite
I
F(*)/(*) dz
z — x, (x — zy>-'~ i
= v 0 e(* 0 , qJ
•+• v i e(- h OjT
-i-.
+ v»e(^?) J
F(z) dz
z — zq (x — z)i‘
; F(s) dz ■
z — zI {X — Z )I J
F (z ) dz
z — Zn (x — z)p
Je ne ferai point, pour abreger, duplications de ce r<5sultat; j’ob-
serverai seulement qu’en considerant l’integrale
i
‘ /'"(*)
(X — Z)m +1
dz,
on obtiendra, pour les elements de decomposition, Fexpression
suivante :
JT (x) etn f (5?) etant des poljnomes entiers. On voit ainsi que le
developpement de Fint^grale suivant les puissances d^croissantes
de la variable commence par un terme en et il est facile de
reconnaitre que c’est l’ordre le plus eiev^ qu’on puisse obtenir
pour un degre donnd de H(x). Quant au facleur
qui definit I7(.r) a an facteur constant pres (').
F^es Sables-d’Olonnc, 10 oclobre 187/1.
(') La leltre d’Hermite se termine par quelques remarques sur 1 ’inlegrale
s:
(z — x) m dz
,/" 1+1 ( = )
Nous ne les reproduirons pas, car les r6sultats ne nous onl pas paru exacts,
EXTRAIT
d’unk
LETTRE DE M. Cii. HERMITE A M. BORCHARDT
sun
LES NOMBRES DE BERNOULLI.
Journal de Crelle, t. 81, 1876, p. 93-95.
...M. Clausen etM. Standi ont ddcouverl en meme temps sur les
nombres de Bernoulli une proposition exlr£mement remarquable,
qui donne pour B„ cette expression
(— = A n +L + l + l+ m ..+ ±,
dans laquelle, A. n (Slant entier, les d^nominateurs des fractions
sont tous des nombres premiers tels que •••> ---- - -
soient diviseurs de n. Ce beau th^oreme donl M. Staudt a donne
la demonstration dans le Tome XXI, page 372 de ce journal
(.Beweis eines Lehrscitzes , die Bernoullischen Zahlen betref-
fend ), conduit A rechercher directement les nombres en-
tiers A re , au moyen des relations qui servent au calcul des
nombres de Bernoulli. Employant h cet elfet liquation
(2 n -+-1) 2 Bj — (2 n H- 1)4 B 2
H-(2?i + i) 6 B 3 — . . .H- (— i)^ -1 (a/t H- n —
(2/1 -h l) 2 ^Ai-H - -+- -J
+ (-2/Z + i) 4 +
+ (2/l+l) 6 ^A 8 + ^ |
-+- (2 n -+- i) 2/ t^A n -+- - -t- p •+-•••-*-
1
H- ft-=0.
2
Cela pose, les Lermes contenant en facteur - sont
^[(2ft + l)j+(2« + l) t + ...+ (2/H-l)2 n -l],
et comme on a
( 2 /H-l) 2 +( 2 / 14 -l) t + ...+ (2ft-l- 1)2,1 — 2 2 ' 1 — 1,
ils se r^duisent an nombre entier 2 2, '~ ( — 1. Mais considerons, e
general, ceux qui sont affecids du facteur-^; ils proviennent dc
nombres de Bernoulli dont l’indice est un multiple de ~(p — i]
et donnent celte somme
Sp = -f- 1 )jo —1 -t-(2ft-f- l )ip —2 ( 2; ft -f- 1 ) 3/;—3 "+"•••]
que je.vais monlrer £tre aussi un nombre entier.
J’observe pour cela que, en ddsignant par to les diverses racint
de l’equation xp~' = i, la somme ^(i + to) 2/2+l a pour valeur
(/> — l)[l-+-(2/l-M) p _i-4-(2/l-|-l)2p-2-+-(an-f-l)3p-3-l-- • •]•
Or, les racines to, prises suivant le module premier p, sont 1
nombres entiers
i, 2, 3 , p— i;
les quantites i to seront done
a, 3, 4, • p — i, o;
somme des puissances in -hi des nombres r, 2, — 1, qui
esi un multiple de p , attendu que l’exposant 2 n -f-1 n’est pas
divisible par le nombre pair p — 1. A.yant ainsi
^(1-h -i-1 = 0 (mod/?),
on voit immddiatement que S p se r^cluitbien a un nombre entier
et nous obtenons pour le calcul direct des nombres A n la relation
suivante :
(2 n -f- 1)2^1 -h (2/1 -+-1)4A 3 (2 n -+- i)24A ft
= r — n — 2 2 " -1 — S 3 — S5 —... — S p
011 Jcs quantity S 3 , S 3 , ... , se rapporlent a tous les nombres
premiers jusqu’a in + i.
Soit, par cxemple, n = i, les nombres premiers jusqu’a 9 etant
3 , 5 , 7, on aura
S 3 = i (36 + 126 + 84 +9) = 85, '
S B = i (126-t- 9) = 27,
S 7 = -84 = 12,
7
ct, par consequent,
36 A, -t- 126 Aj -+- 84 A 3-f- 9 A-4 — — 255,
011, en supprimant le facteur 3 commun aux deux membres,
12A1 -(- 42A2-+- 28 A 3 -f- 3 A4 = — 85 .
Pour 11— i, 2 , 3 , nous trouverions successivement
Ai = — 1,
2A1 + A 2 =— 3,
3 At -+• 5 A 2 + A 3 = — 9,
et ces equadons donnent facilement les valeurs
a 3
On aura ensuite
i _ i
5 - 3o’
i _
7 4^’
1 _ 1
5 ~~ 3o*
B 5 =
b 6 =
b 7 =
! I
2 3
I I
a ~ 2 ~~ 3
B 9 = 56--
2
3
5
__ _5_
“ 66 ’
l 1 69 r
7 13 9730’
_ 7
6 ’
1 _ ^617
77 "" ITTT'
1 _ 43867
I9 ~
Yous remarquerez cette nouvelle fonction numdrique allacbdc au
nombre impair 2^ + 1
S3+ S 5 -h— ..S„
a la quelle conduit le thdoreme de M. Clausen et de M. Staudt;
elle -vient se joindre a toutes celles dont la thdorie des 1‘onc lions
elliptiques a donne l’origine et les propridtes et peut dire gdndra-
lisee en substituant a S p la snmme suivante :
_ x in+l f(2 n -+- Op—1 ( (271-1-1)2^-2 , (9 n -+-1 ),vj—3 , 1
+ ^5 +,, *J
qui coincide avec pour x — i. On ddmontre, en effet, coniine
plus baut, que £ S p est un nombre enlier pour toute valeur enlicre
de x , p dtant un nombre premier quelconque, non supdricur
a in 4-1.
SUB LA
FONCTION DE JACOB BERNOULLI.
Journal de Crelle , t. 70 , 1875, p. 339 - 344 -
Je viens an sujel d’un Memoire de M. Raabe, sur la fonction de
Jacob Bernoulli (l. XL 11 de ce Journal, p. 348 ) vous presenter
quelques remarques. Soicnl B f/ (^) et B (-2?) les coefficienls de
c l --dans le developpement suivant les puis-
sauces croissanles de X de la fonction de sorte que 1 ’on ait
^111 -1# 2 "' +- (am)i Hi#*" 1 - 1 —-I (i«)3 B 2 a? 2wt 3 -+-...,
1 m +1 't ‘-i Z|
_!-I# 2 "* hl +-('i/n -+-i)[B[^ 2/ "' — 7 (am + i)3B 5 .® J '"“' ! +..-
v 1 a ni -1- •1 'i 1
Imminent gdomelre donne parmi beaucoup de rdsultais entie-
remenl nouveaux etd’un grand inlerdt, ceLte expression sous forme
d’intdgralc ddfinie de B"(.z;), a savoir
C + 00 W 1 " 1 du
B"(a?) = sin xtzx e , f ^ e -, f _ 2 coS 27 r i'
Peut-6lre n’est-il pas inutile de remarquer que la proposition im-
porlante ddmontrde par M. Malmsten (sur la formule
ku'jc = Au* — - /tA«4 + • • • >
t. XXXV, p. 55 ) que ce polynome ne change qu’une fois designe,
u- m dii
gft_l_ 0 -h— 2 cosaTCa?
. r:
est une quantite essentiellement positive pour Louies les vale
de x, de sorte qu’entre les limites considers, W (x) aura le si{
du facteur (— sin 27 i.r, et ne s’annulera que pour x =
G’est ce qui m’a engage a en rechercher une demonstration dire
et en m&me temps a obtenir une expression analogue pour le pc
nome b'(.z'), qui mettrait aussi en evidence sa propriety caracle:
tique, d’etre toujours de m£me signe de^ = oa^ = i.
J’emploierai dans ce but, la forme suivanle queprendla fonct
% __ t ; en changeant \ en ii\\ si l’on pose
„ „ sinX -t- sin (icc — i)X
O(x)— -r-r-—J
1 2 sinX
„ cosX— cos(2.r — i)X
= -t-t-»
T ' 2 sin X
on trouve, en effet,
gH\x — i
7 ^-! =<p(g) + t<K*),
et il en resulte que B"(a?) et B'(a?) peuvent etre ddfinis conrnic
coefficients de -— ^ — et de -dans Jes d(
i. 2... 2 m i. 2... 2 m -H i
loppements de <p(x) et suivanL les puissances croissai
de La consideration de ces fonctions suffit deja pour deir
trer plusieurs des th^oremes de Raabe, au mojen de ces relal:
enderement ^mentaires, a savoir:
cp(x — X) — i — cpO), 4/(1 — X) = ^(ar),
«(*) + »(* + £) + ...+ 9 ^+2_L^
r
- n
2
sin(2/ia? — i
2 sin —
n
ilf(fr) -4- 4*
x
n — 1
n
n cosX
2 sinX
cos(2«.a? —1
~1T
2 Sill —
n
Je ferai usage de la valeur de l’integrale j $>(x)dx, qui se de¬
termine facilement comme vows allez voir. Ayanl pose d’abord
A , A, ( _ A«
f(z) = U(s) +
z — a (z — ay-
B B,
(z-bY
(z — a
%
(*- b) P+»
en reunissanl dans la quanlitd 11(5), ]a partie endure ainsi que les
fractions en • • •> s’il en existe, je remarqueque l’expression
e mx
A
e x — a
A,
{e x —af
Aq
( e x — a)^ 1
peut se mettre sous cette nouvelle forme
qj^iy
\ e x — a]
-3V.DJ
Nous aurons en consequence
<I> X) = e»‘*U(x)-\-&( - e,n * . \ + 31 , -
' \e x — aj \e x — aj
- & D x
— a]
e'» x \
x l - i) J
^t cette decomposition enddrement analogue & celle des fractions
radonnelles en fractions simples, ramenera 1’ini.egrale J'Q(x)d%
a la transcendante J ^— ^ et l’integrale definie proposde ik la
quantile J' ' A.vanl d’en chercher la valeur, jeremarque
que laconstantert doit etre supposde negative quand elle estreelle;
on est amend par R 4 poser : a = — e& +iA , avec la condition que
h soit compris entre-les limites —*tc et + tc, sans atteindre ces
r e rnx dx _
e x — a ~~
e mx dx
e x-g~ih _1_ [ ’
puis en remplacant x para?H-jg
e' nx dx
e x -g-lh +
e' nx dx
gX-l'/t-t- i ’
et cette derniere quantite se determine comme il suit :
Considdrons l’integrale d’une fonction quelconque effectue
suivant le contour d’un rectangle ABCD, dont la base est sur 1
v
P__ c
[a_ <>_L§—
x
des abscisses, i’origine dtant au milieu de cette base, et fa:
OB = a, BC = b. Si l’on designe par <[> (z) la fonction et par
somme de ses residus qui correspondent aux valeurs de z, comp
a 1’interieur du rectangle, on aura comme on sait
j &(x) dx -+- &(ix-+-a)dx
—J' <b{x-\-ib)dx — i J' <b(ix — a)dx—ii~n S.
Cela dtant, je fais<I>(.z) = ■■ , et je suppose la hauteur b
prise entre tc et 3 tc, de maniere qu’ik l’intdrieur du recta
l’equation e z + i = o n’ait que la racine z = trc et <P(xs) le
residu — e in% . Faisons maintenant croltre inddfiniment la cons
a; les deux quantitds <I> (ix -+■ a) et $>(ix — a) tendront ev
1 on obtiendra
j' *1 '(x)dx—-J Q?(x ib) dx ——
f *(x+ib)dx= +li-Kei>™r= 1^1
J- oo sin ni re sin m it
et par consequent
gtf-KVij sin mu
Mais on peut poser: b ~ 2 tt— A, A etant compris entre — 11 et
-bn, etnous Lrouvons ainsi
QX—ih j Si 11772 71
Soit, en second lieu,
les conslanles ni et a dlant moindres que l’unite, de sorte que
$ (*# H- «) et <I> (ix — a ) soient nuiles pour a infini. En supposant
b — tc, la fonction proposde restera finie a l'interieur du rectangle
et l’on aura S ~ 0, d’ou, par consequent,
j' <b(xj dx = J <I>(a? -h ir.) dx.
Mais nous avons
<!>(.*' H- t 7 t) :
et de cette expression r^sulte immedi a Lenient la valeur connue
l_sin/2 7r sin ni 7rJ
It (COI/ITT C01 7727T).
J’arrive maintenant k mon objel en appliquant les rdsultats qui
precedent 4 la determination des integrales,
donnera
sin /».
- e~ z -T- 2 COS A
= .1 r_ _
■2 i 1_ e z ~ ih
r + co e mz i
./ e : -+-e~ s
■+■2 cos A ailsinmir sin/mcj sin/;
Pour la seconde, j’emploierai la decomposition suivante :
4 i sin A( i -+- cos A) __aisinA e‘ h 4-1 e 1,1 -V
( e z —x) (e s -t- e~ z 2 cos h ) e z —1 e z+in -+-i e z ~ lh -
et nous en conclurons au moyen des formules
- C?3 = — 2 7T CO t m. 7T,
la valeur cherchee
1_r (e mz — e-' nz ) (1 cos A)
COS mil - COS TTITZ
Ramenons encore ces integrates a avoir pour limites zdro el
fini, on obtiendra ces formules
° (e 2 + 0 (g /,,s — e-" lz ) (r H- cos A)
(e : -i)(e z + e- J +'iCosA)
ou figurent des fonctions paires de la variable sous les signes
tegration.
Elies donnent le resultat auquel je voulais arriver en fai
m ^ et A = it (1 — 2.x), de sorte que \ soit compris cnlre
et -4 -tt et x entre z6ro etl’unit^. II suffit, en effet, de rernpla
par tzz, pour avoir
_ sinX - 4 - sin( 2 ^ — x)X
z -h e ~^ z — 2 003 21137
sun LA. FONCTION DE JACOB BKUNOULLI.
221
et
t K^)
COsX — COS( 2X — l)X
2 sin X
sin 2 Trar j'
( e Ti-.
(e^ z + i) (e^ s — e-Xs)
— i ) (e 71 --+- e~^ z — 2 cos 2 kx)
et 1’on voit imm^diatement que le thdoreme deM. Raabe setire de
de la premiere dgalite en £galant les coefficients de k 2m dans les
deux membres. Mais onparvient, en outre, aetendre de la maniere
suivante, les importantes propositions de M. Malmsten a l’egarcl des
polygones B"(x) et B(a?). Remarquantque les d^rivees d’un ordre
quelconque par rapport a k, des deux int^grales
J Q e nz -+- e~n z —2cos27r#
(e 71 - H- l) ( e^ z — e~' ) ' z )
(e 713 — i) (e 713 -+- e -713 — 2 cos arc a?)
dz,
sont essentiellement positives si k est lui-meme positif, nous en
concluons, en effet, qu’en supposanl k compris entre z6ro et tc, si
l’on fait croitre x de zero a I’unitd, les d<$riv(5es de la fonclion cp(.r)
par rapport & k, seront toules positives de^ = oaa?~^et nega¬
tives de x— ^as=i, tandis que la fonction ^(.r) el ses dt5ri-
vees par rapport a X seront toujours negatives de x = o x — \.
Je rattacherai enfin les d<iveloppements en series de sinus et de
cosinus des arcs multiples de 2 tzx que Raabe a donnds pour les
fonclions de W (x) et B'(#), & ces formules connues, et qui
subsistent entre les limiles x — o et x = i :
1 Psin 2 tzx 2 sin
2 71 X. 2 -TC 2 X 2 — /(TC 2
ip(a?) = — cotX -
.-L-^rs
[_ X 2 -7T 2
3 sinGira? 1
X 2 —97r 2 " K ’ J ’
cos/i^a: cosGtc#
X 2 — 4 TT 2 + X 2 — 9TT 2
II suffit, en effet, pour y arriver, d’^galer les coefficients des
m£mes puissances de k dans les deux membres.
SUR LES
DEVELOPPEMENTS DE F(a?)=sn a #cn 6 a?dn c a;
OU LES EXPOSANTS SONT ENTIERS.
Academie royale des Sciences de Stockholm, Bihang III,
n° 10 , 1875, p. 3 -io.
Le mode de calcul que je proposerais r^sulte de la propositit
suivante :
Soit £(z) une fonction uniforme ayant pour p^riodes 2
et 2 iK/; si l’on considere un rectangle dont les cdles parallel
aux axes Ox et Ojk; soient AB == 2 K, AD = 2 K/, la soraine S d
residus de £ (z) pour les valeurs de 1’argumenL qui r^ponden
des points compris dans l’int^rieur du rectangle est nulle. C’i
ce que donne, en effet, Emigration de £(z)dz suivant le co
tour ABGD, car en appelant p pour un moment l’aflixe de A,
obtient ainsi la relation
X 2K ^2 i'K' ^2(10
S(p + z) dz -hj j(jo + 2K + ^ ) dz —J £{p-\-z)dz
_ r £(p + 'ii¥J -h z) dz — 'ii
do
ou bien
2 K.
[£(p-hz) — £(p -h 2i K' + z)] dz
2 iK'
[£(p-\-z) — £(p + zK-\- z)]dz = linS,
£{z -t- 2K) = Jr(s),
£(z + 2i'K') = £(z)
donnent sur le champ
S = o.
Ce principe pos<$, je distingue a l’dgard de F(a?), d’apres les rela¬
tions
F(a? -I- 2 K) = (— i ) a+ -° F(x), F(a? -+- iiK')=. (— i) /,+c F(a?)
quatre cas diflferents, suivant que la periodicite (Slant celle de sn#,
cn^, dn^:, sn-#, on aura
(I)
( F(ar + iK) = ~ F(>),
( F(a? + 2i’K') =+ F ( x ),
(II)
j F(ir + 2 K) = — F(a?),
j F(a7-4-aiK')=—F(a? ,
(III)
( F(a: + ?.K) =+F(a7;,
( F(a?-i- 2 iK')=— F(a?),
(IV.)
( F(ir + aK) =-t- F(^),
j F(3? + atK) =+ F(ar),
et j’en ferai successivemenl l’applicalion aux fonclions
£( F(z) F(z) F (z) F(z)
' sn(,r — 5)’ cn(#— z)’ dn(a? — z)’ sn*(x — z)'
Consideranl d’abord le premier cas, j’observe qne toutes les
valeurs de z qui rendent le numdraleur infini et le ddnominateur
nul sont
z — i K' -+- a m K -h 2 ni K', z = x -I- 2 m K -+- 2 niK',
m et n 6tant des nombres entiers. On a done, 4 l’intdrieur du
rectangle ABGD, qu’4 consid^rer deux quantitds qui peuvent £tre
ramen<Ses 4 z = z — x, pour en ddduire les rdsidus corres-
pondants, c’esl-4-dire les coefficients de i dans les d^veloppe-
ments suivant les puissances aseendantes de e, de F(fK/+e),
Hi <»• —L_ e\ Sm t n At oPfot An /S^nvant Iao caiiIc I frrn o c mii r> nn _
r (&K'-h e) — As- 1 -)-. .+ A n u'£z~ l .
En multipliant membre k membre avec l’£galit£ suivante :
-;-^rrr;- = k SU ( X — £ ) = k SH x — - D* so oc 4- D| sn X -4- .. .
sn(a? — «K— £j v ; I i t.a
-4- (— i )' 1 — -D£ sna? •+...
v ' 1.2 ...n J
il vient, pour le coefficient de | dans le produit des seconds
membres, l’expression
&( A sna; A] D.*- sna? k n D£ sna?).
L’autre residu correspondant a z—x £tant ^videmment — Fi./ s,
la relation S = o donne la formule
F(a?) = k(k sna? -+- A^D.c sna? •+-.. .4- A re DJJ sna?).
Dans le second cas, ou S(z) = ^ ■ ;- > le d£veloppenu*u!
de _ 1 ._ £ - conduit a un calcul tout semblable; mais j’uU-
serverai que, ayant
cn(a? — i'K')
-~cn{x-
K),
on peut poser
^s-Vk'-s) =-^[cn(^-K)-iD. c cn(^-K)
£2 1
•+■ -j—^ D£. cn (a? — K) —. . . ;
multipliant membre avec l’^galite pr^c^demment employee
F(i K'h- e) = Ae- 1 4- A, D e e-1 +- A,D| £-« +...
— JJ [ A cn (x — K) AI Dci) (x — K ) -4-... -t- A„ D cn (x — K) J.
Mainlenanl, liquation en(.r — z) — o donne la solution
cl le residu cjui lul correspond a pour valour
F(.r —K)
k'
d’ou la relation
Ffa? — Iv) = A c\\(x — K) Ai D, c cn(a? — K j -4-.. . j.
cl, cn cliangcanL x en x K,
F (x) = Ik (A cn x -4- A, D, r cn x -4-... -4- A „ D" cn x).
Le iroisicjnc cas, en faisant usage de la relation
-j—; 7 -rrj- — k 'd n (x — K — i K' )j
( 1 11 (x — 1 K j h
donne dc in^tpc
F(a?) = — i( A dna; -4- Aj D, c chi# -I-..A„D" tin #);
mais la qualriemc se prdsente diflereimnenl, le rdsidu de la func¬
tion sn-q# — z) l )0ur z =: x ^ Umt F'(#), on oblienl, cn eflet,
r'(.r) =— k-(\.sn 2 x h- Ai D, c . sn 2 #-*-.. .4- A,,D£ sn 2 #).
Or, 1c thdoreme S = 0 , applique i\ la fonction F(s), remplissanl:
aclueilcmenl les conditions
F (5 -+- -j. K) F(^), F( 3 -t- 2 tK') = F( 5 )
el qui n’a qu'un seul rdsidu, fait voir que ce rdsidu esl nul. Ayanl
ainsi A=o, on parvient, en integrant les deux membres, a la
relation cherchde
F (z) — const. — /c 2 (A t sn 2 # -1- A 2 D, C sn 2 # -4-. . .-4- A /t D ^ _1 sn 2 ®)
11 t AnnAi'o nniYimo 1 -
yAr\ AA .
_ cn*\
.. A
A,, ..., le developpemenl de F(.r) en serie de sinus et dc <
Cc point ctabli, jc reprends I’e^alite
F(/K'h- e) = Ae-< A, Ors i . .-f- A„Di's-1,
et, observant que les formules
sn (i K' -+- x) = -i
/.■ sur
dn.r
cn (tK +y):
dn (i'K'-t- x) — —
ik sn .r .. ik' '
ik sn ( k r
:: n r
' k ' x 'ir)
isnx sn(ir,k')
perractLent, d’eerire
F (i K' -i- x)
sn"a:sn ^(k'x, e (ix, k'j
je suis amend a in’occuper de developpement de sui
puissances ascendanles de la variable. Or, un moyen si
Vobtenir rdsulte de la formule suivante :
k + ik' r i
/ A- ik' k — ik' \ ~ M. .r ^ sn ( i.r, k’ )’
sn (— r~ x 'k^w)
car, en posant
sib = ^ n,(/-)a?3-f-.. •-+- +
de sorte que
n n (Ar) = a -t, 04*4- Y 4-V-+-. ..-+- PA:*«-Sh- a Ar*«
on en ddduira
(k -l- ik' ) 2/l
‘}.- n ~ 1
II,
k—ik'
k + ik'
= n„ (*) + (- i ^U/A/d),
et cette relation determine les coefficients 3, y, ... au
A = COS (i.
d’ou
k' = sin o, A- -t- i'A' = e*?,
on aura facilemcnL
64[n*(A)-+- ri v ( A')l
= ] 63 x -t- iof p -+- 48 y -+- (28 a -t- 24 p 16 y) cos 4 tp -i- a cos 80,
puis
(A -+- ik ') 8 n 4 ^ y - — ■ ) = ?.a cos8 <p -+- 2 {i cos4 o -+- y
el, par consequent, les equations suivanles :
Y = 2(1 63 a -r-104 (3 - 4 - i 8 y ),
P = 28 a -f- 24 [3 -|- 10 y ;
d’qii Ton tire
127 — 284 A 2 -+- r 86 A v — 284 A u -+- r 0.7 A s
"‘ (X ' ;= -15 X f v.. H. j. i>. I)., .8)-
Le developpement de —— me semble aussi meriter ime alten-
1 1 sn 2 a;
tion particuliere, el je remarquerai en premier lieu que, on posant
-i— = — + <I>j (A) 4- <t>t (A) x 2 -- <l>„ (A) .«?*»-*
Sll 2 X X' 1
le coefficient <!>„(/<:) s’obtient au moyen dc TT, y (A) comme il suit :
(2 2 '!-' — 2)‘I> u (A)-(2/i — I) ^2 2 "~*ll„(A)-|-(- l)"(l -4- A) 2 " II„ (--I) ]•
C-esL la consequence, en efTet, dc la relation
*(«h-A)
l = d r_i ,
a: ' I sua? / 1 -+- k . 1 — A \
2 T L sn (—' lx '—k)
le ce
[ sn (
el inversement en partanl de celle-ci
/1 -t- A . 1 — k \
— 1-A 2 ,
fk+ik' k — ik"
i + k'
i -H dn x
(t -i- cn.-r) (i -f- dn r) _
sn 2 # ’
j’en lirerai cell.e derniere conclusion
/i-i-k. °i — A-\ + (k + \k'
l 7^) J L sn V ^ 3
k — ik'
k -l- ik 1
r_ I k' _ 1 2 _ a
/ I -f - k' i — k' \ - x
| sn - x, - j-. sn 2 -
L V * H-*7J «
-a(t -+- A* a ) — o,
qui donne, pour le calcul direct de 0>„(k), la relalion
(* + «•).»*„ + (. + /'T**,. (7^
■+• (- [)" ((-4- ky~“<\>, L = (4" + '•*) #«(*)
Mais une remarque est d’abord a faire sur la forme algebrique dt
polynomes Les dgalites
sn ^ kx , ^ = k sn#,
montrent, en eflet, que
sn 2 # sn 2 ^'#, k')
— <*> rt (/c),
<M ; 0 = (—>)'**„( k).
nomes entiers if[x) de cleg-re a satisfaisant aux conditions
cp(i — X) = (— i)« o(r).
Supposons d’abord n impair; enfaisant x — ~ dans ces deux ega-
Jiles et x =— r dans la premiere seulement, on en conclura
?(;)= 0 , ?(-*)= O, «p(— I) = O,
par ou Ton voil quc o(x) conlient lc facieur
(x -+- I) ( 'XX — I ) (x — 9 ).
Soil done, pour un moment,
o(,rj = (x ('ix — i) (x — -i) )\
le polynome de degre pair &(x) sera r^ciprocjuc el verifiera la
condition
iid i — 00 )= ^ ( x )j
car le produit (x + i)( 2 a: — i)(a?— a) change de signe (piaud
on y remplace x par i — x. Le cas dc n impair est ainsi ramene
ci celui de n pair epic je vais considcrcr cn posanl n = a m. .1 ’ob¬
serve a cel elTet cpie, en posanl
cp, (.9?) = o(a?) — A(a? s — x -+- i)'",
oil A est une conslante arbilraire, on aura encore
• r2 " l( pi (^) = ¥'(*)»
®i(i —a?) = cpi(ap).
Gela posd, delerminons A de maniere cpie admette la
racine .r = o; la condition
<p,(i — a?) = © t (a?)
fait xoir qu’on inLroduira en mdme temps la racine x = i, de sorie
qu’on peut faire
3 tp, ^1^
qui donnent pour x = i
r fs(U = 0 et ©2(0) = o;
done, comrne tout a l’heure, &•>(%) admet le fucteur x{\ — x), par
oil l’on voit qu’on doit faire
®J ( X ) = [X ft — © 3 (<r),
d’oii resullera
cp 3 (i — x) = <ps(a?),
a? 5 "* -8 ?s (^) = ?s(a*).
Ainsi cp ; ,(x) est un polynoine de memc nalure que cp(x), mais
du degre ‘im — 6, de sorte que, cn raisonnanl sur le nouveau
polynome comme sur le precedent, on arrivera de proclie cn
proche a l’expression cherchee
<?(x) = \(x- — .r-+-1)'»-+- B(x 2 — x -+- i )"*- 3 (x- — x)-
-+- Ctx 2 — .r -+- ])"'-« ( x 2 — x)’*
- 4 -L(x 2 —* + 1)'" 3 /'(x- - x) % !\
p ddsignant l’entier contenu dans et l’on en eoiiclut, cn fai—
sant x — /i -,
*n(k) = .4(i — A-*//*B(i —
-t- G( I — /f2 /c'2 )/M-8 / C 8^8 + iii+ J j( ,_ /-2 /<•'•> £4* £'*/*.
Cette forme, canonique si je puis dire, des coefficients du dtjve-
loppement de suivant les puissances croissantes de la variable,
contiendra au plus, sous forme homogene, deux coefficients in-
connus, jusqu’aux limites u = io et /i = i3, suivant que n est.
pair ou impair. Et si 1 on £crit pour abreger
*«(*) = SH(i — A?
11 ky 2n <j\
'~j) =SH( I -h f 4 k- -+- A-*)'«- 3 A ( 4 )*'«,
(I -1- k' y -' 1 4 >„ (~rp ) = S H (16 — 16 A-* -h /c 4 )" l “ 3/1 (4 /d /c 4 ) 2/i ,
a- -1- ik'y^\y n ( j.^ •/ :/) = ^ II( ' - ikk')™,
qui permeltenl d’employer la relalion
,, + «'>»♦.(££) + (■ + (£r)
H- (F *) s,tc I* (t^|) == M' 1 -+- -A) ^( 40 -
Soil, par cxeniple, n — 6; on aura
<I> 6 (/,) = A(i — /.•*//* )3 + B(A 7 /)S
el l’hypollieso parliculierc
rl’ou l’on lire
puis
/«= - i,
i + i4/i‘M- /. 4 = r3/i 2 , 16 — 1 64 2 -f- k* =— i5/c' 2 , r— i G A 2 -t- ifi/i 4 = — i
el cnfin
(4 kk' !i y-h (4 /c 4 k' ) 2 -f- (4 ikk')- = — 48 k'* /d 4 = —48,
conduira a l 5 6galild
id 3 A -+-i 38 aB = o.
Soil encore n — 4 ; de la valeur (k) = A.(i — k~k hi )- qui esl
immedialement connue, nous lirerons celle de n^/r) au moyen
de la relalion gen<5rale
a 2«-i ( ., n - on^/o = »*«-» *„(/•) - (- ')"■(» *)*«
el [’expression prdeddennnenl calculde se relrouve, en cfTet, sous
la forme suivante :
ia; — a84 4' 2 -f- 1 8G/e 4 — a.84 /c 6 -t- ia7/t 8 = 2 7 (i — k l H-/f v ) 2 —(i ■+- 1 4 A 2 -I- /e v ) 2 .
SUR UN THEOREME D’EISENSTEII
Proceedings of the London Mathematical Society, t. VJI, p. 173
Read april i 3 th, 1876.
M. Heine en dormant la demonstration da tlieoreme ce.
d’Eisenstein, sur les developpements en serie des racines
equations algebriques, f{y, x) = o, dans le Journal cle C
(t. 48 , p. 267), y a ajoute cette remarque exLrcmemenL iir
tante, qu’on pent ramener les coefficients supposes commt
rabies d’un tel developpement, a 6tre tons entievs, sauf le prei
par le changement de x en kx (*). C’est une simplification
metbode employee par 1’eminent g^ometre, que je me pv<
d’indiquer en peu de mots. Consid^rons d’abord l’ensembli
divers developpements ordonn< 5 s suivant les puissances entiei
positives de la variable, qu’on peut tirer de l’equation prop
J’observerai avec M. Heine, quc si deux ou plusieurs d’entre
commengant par les monies termes, ont la partie commune
la transform ee
obtenue en posant
a bx -+- cx*-h ... -f- kxi >,
F(5, x) = 0,
y — a bx -h cx-- f-.. ,-f- /exzxP +l ,
,{ l ) Note added by the permission of M. Ilermite. — This remark had ;
been made by Eisenslein himself: His Words arc, Endlich kann stall x
ein solches Vielfache von x gesetzt werden, dass alle Confp.cienten cler
in game Zahlen uebevgehen (See Eisensiein’s note in the Monatsberichti
Berlin Academy for July, iSSa, p. 4 b; or the extract from iL an earlier p
M. Heine’s in Crelles Journal , vol. XLV, p. 280). H.-J.-S. SmiLh.
necessairement inegales. Liela etant, et designant I une d elles sup-
posee commensurable par 3 0 , j e raisonnerai sur l’equation
F = (z 4- z 0 , x) = o.
qui sera par consequent cle la forme suivante :
m i x 4 - m 2 x- + m 3 x* +...
+ ; (n 4 - n\x 4 - iiiX^-h ...)
4 - z' 1 (p 4 - [)\ X 4 - p-iX^ 4 - . • •)
4- 4- S\X 4- s 2 ^ 2 4-. . .) = °,
les coefficients <Hant des nombres enders et n devant essendelle-
ment litre suppose different cle zeiro. Soit maintenant z — nu et
x =zri-t) il viendra, apres avoir divise par n-,
mi t 4- n-/n 2 C-4-...
+ h(i+ an \t 4- ti s n 3 1- 4 - • • •)
- 1 - uP-{ j) 4- n-p^t 4- n'< p 3 l--+-. . .)
4 - aV-nV- J (ji4- /i-si t - 1 - n' f s 2 1' 1 4-* • •) = o,
relation que j’ecrirai ainsi
/>?,/! 4 - « 2 mi i 2 4- . ..
it - -—-
1 4 - nri 1 1 4-. • •
_ n s
1 4- nn\ t 4-.. •
ou encore
— uV-nV--’*
s 4 - n 2 S\t 4 -.. -
1 4 - miyt 4 -. . •
-4- it 2 (P 4- P 2 ^ 2 -h. ..)
4- « 8 ( Q 4- Qi 1 4- Q 2 + • • • )
4- 4- Si t 4- S 2 * 2 4 -. • -)i
en observant que les series infmies introduces dans le second
membre ont toutes pour coefficients des nombres en tiers. Faisant
done
a, = M 2 -+- Pa],
a z = M 3 h- aP«[ a 2 -+- Pi a] -4- Qe],
qui dc proche en proche donnent les quantiles a 2 , a s , ...
en fonctions entieres et a coefficients entiers de M ( , Mo, ..., P,
Pi, P 2 , .... Nous demontrons immediatement ainsi le resultat
decouvert par M. Heine, que la serie infinie qui salisfait a 1 ’equa-
tion algebrique entre t et u a tous ses coefficients entiers. Et si
l’on revient, aux variables x et z, on aura cette expression
que je vais consid^rer a 1’egard de la puissance lraclionnaire du
binome (i — x) H . Nous trouvons alovs cette consequence que
1 . \i . o .. . i
m (m -+- n ) (tn -+- •>. a ) .. . [ in -t- (i — t) n ] a.
c’est-a-dire que l’expression
m ( m -i- n ) ( m -+- 'i n ) .. . f -4— ( i — i ) a ] a‘~ 1
est toujours uu nombre entier
Le proced^, dontje viens de faire usage, s’appliquc egalemenl
auxrelations transcendantes. Considerons, par exemple, l’equalion
de Kepler
y — a + a? s!n y\
on fera/ = elon mettra la transform^
u = x sin (a -v- a),
ou plutdt
u— a?sina(i —— w 4 — . .. )
V 2 24 /
-4- X COS a(ll — ~ U* _|-L_ M 5 — ... )
\ 6 „I20 /
u{ i — x cos a) = x sin a — u-
■v sin a
, x cos a
u 3 —--
Nous sorames ainsi amene a inlroduire, au lieu tie .r, la quantile
-- ^ ~ co f a > cn * a designant par L, pour un moment, 1 equation
dcvicnl, en ell'et,
y rct\\a
U = Z — U-~— U ;1 --.> ■ • • ,
•x ()
cl Ton lire Ires facilemcnl
■* C 3 —
cot. < 7 .
G
Dans les Annales de VObsei'vciloiie de Paris , M. SerreL avail
tleja fait la remarque, que la valcur ires simple u = s, c’esl-a-clire
x «i n a
y — a H-,
i — x cos a
donnail une solution approcliee clu probleme tie Kepler, cn negli-
‘>eanl seulementle cube de l’excenlriciie.
EXTHAIT
d’une
LETTRE DE M. Ch. HERMITE A M. L. KONIGSBERGEfl
SUlt IJi
DEVELOPPEIENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
SU1VANT LES PUISSANCES CROISSANTES DE LA VARIABLE.
Journal de Crelle, t. 81 , 1876, p. U20-22S.
Je me suis occupy de ces polvnomes rationnels el enliers \:
rapport an module, qui se presentent dans les developpemenls d
fonctions sin amj, cos anu el A ama; suivant les puissances cro
sanies de la variable, et dont les premiers seulement onl ele r.
rules. Si l’on pose
19 1 sp 3
sm ama: = u -4
i. a. 3
19 ,,r ; i
1.2.3.4.J ”
19 ,,, .r 2,,i ‘ + ' 1
■ +< +
CO. cc *
cos am x = r-——1-
l .'X
<£U.r l
1.2 . 3 .4
..+ < .)» 4 -
v 1.2...2 m
A 1*1 X ' 1
A am a? = 1--— 4-
I . ‘X
1 . 2 . 3 ./,
. . 4 - (— l ) >n - -i-
1.2...2 m
vous savez qu’on a ces
expressions
V m = 1
-4 P,V.i -4 P, v >
4 -.. .- 4 - y. 2/ ",
<&„,= 1
4 - Q.vJ 4 - Q, V.' 1
■ 4-... 4- Q„,_r/. 2 '"- 2 ,
= R 0 **
* 4 " R1 x + - 4 - R9 7 -^
■ 4-... 4- v . 2 " 1
avec les condilions
relations tirees tie la transformation du second ordre, telles quo
celle-ci
(•/. -+■ ivJ) cos am j^(v. — r/.').r, j
•+• ("/• — ex') cos am JV/ -+- ix')x, “7^7 j =* •?.-/. cos am (a?,
cjue j’ai employee autrefois ])onr le ealcul des quanlites no
paraissent pouvoir conduire a 1’exprcssion gdnerale en fonclion
de m, des coefficients des diverses puissances de x. C ! est en sui-
vant une autre voie que j’ai obtenu Ics resultats suivanls, qui en
monlrenl la composition aritlunclique. Consideranl en premier lieu
le polynome 1H,«, on aura
pip, = 32W+1 — 8 m — 3,
l‘P a = •)*'«+»—(8m— 4)32//1-1- 1 _|_ 3—8 2 ni —17,
4 n P 3 = 7 2 "' +1 — (8m — 12) 'j2y/t-1-1 _}_ m -— 88 tn -h 3o)3 2, "‘ H
— ^ (2.56 m 3 — io56m 2 H- ~5\>,m -4- 471),
A. l’egard de (0X ;W je Lrouvc semblaldeinent
42Q, = 3 2 '« — 8m — 1,
4 4 Qs = a 2 '" — (8m— 8 ) 3 2,rt -l- 32 m 2 — f\8m — 9,
4 6 Qa = 7 >"*— (8/?i — i6)5*'«-h (3aw*— 120 /» -+- 8a)3*'«
— ^ (256m 3 — 288m 2 -!- 820 tn -+- 297),
Enlin pour on oblient ( 1 )
k 0 = 2 2 ""- 0 -,
R,= 2 2 "‘-« [2 2 '" — 8 m-1-4],
R 2 = a J«/-io|3s,«_ (8m — 1 a )**«»•+. 32m 2 — 88/n-h3i],
R 3 = 2 s " ,-1 ' i | !\ 3ni —(8m — 20) S 2 "*-!- (3am 2 —r52m -r r48 ) 2 2 ^
— ^ (9.56m 3 — 1728m 2 -!- 3o8om — 900)],
(') Nous avons lieu dc penscr, d’apr^s les calculs de M. Bourgel, que les for-
mulcs dormant Q 3 ct R 3 nc sonl pas exactes; e’est ce que montre la consideration
iuii>L[ue it; liiuuuits cm xdtu <;i lnuiiiurd t|uc i uimcj rea wuuir.s
Iimiles, a savoir
V,n •->■
i .•>.. . -+- g xK' 2 " 11 -*’
e„, _ a
i . 2 . . . ini ~ •/. K '-'"-*- 1 ’
tl„, _ 2
nn K ’-"i-i
ll en resulte quc les developpeinents en serie, de sinam.r,
cosaina;, A am^, tendenl de plus en plus a se confondre dans
Ieui's derniers termes, avee ces simples progressions
el par suite seront convergenis, lorsque le module de la variable
sera moindre que K/.
Voici, apres les quantities f„, <&„„ deuxnouvelles series de
polynomes, etU wo definies paries relations suivanles :
t i . i.i 0 x' S / „.r 2/,i_1
~ 1 == — H- Si 37 -f- -- -;--H . . • ,
sill am 37 37 i. a .3 i .a. . .(a//?. — i)
i __r_ t.,.r 2 _ H m g ? »/«-»
sin 2 am.r 37'- " + " 1 1.2 ~ H ‘ * ' _r ' 1 .o.. . .{mi — •.>.) ' , ' 1
ct qui pr^sentent quelque intdr^t, comme j’espere vous le monlrer.
On a d’abord ces expressions
S,„ = S 0 - S, x* -f- S 2 x* )»« S In x» ,
*»*= T o- T.^+T.x*-. . .-f-(-i)'«T wt x*'«,
et les coefficients qui sont toujours commensurables mais non plus
en tiers comme prec^demment sontdonnes par ces formules ou
4 Si = (— i)'" -+- ‘2 ( ‘>' im 1 — i)B/»,
4 3 S.,= (—i)'« ( 8 /n— 9 ) + ( 8 m-i.i)(‘« s '"- 1 -i)B ffl ,
5 S3 = ( — l )"* ( 3 V, //i 2 — I '28 //l H- 101 -j-.') 2 "'- 1 )
-t- ^ (G4 /n 2 — 3.'Hi m - 1- 4 i(>) ('* 2/ " _1 — i) B //M
T i = a*"'-*U /fl ,
To= (— |)"l«> 5 /H -7 -i- (/, , n —
T s = (— i) m (/n — a)a 2,M ~ 8 + (4 />* 2 — >.i m -+- • J i6)‘>. 2w-7 B m ,
ces dernieres equations relatives a devanl etrc appliquees seu-
lement a partir de m — a.
On a, ensuite, cn supposant que m soil mi grand nombre, les
expressions limiles
S,„ = a (~») w
\ ,-i.. .('ini — i) (iK ) 2 " 1 (aK'j 3 '"’
_ 4 m — i (— i) in U m — i)
i... .{' x,n — ) (a K) 2m ~ l ~ (aK') 2w
Elies monlrent que les dtiveloppemenls dc —— -> - t - sont
1 1 1 sin am x sin 2 ama?
convergenls, lant que le module de la variable est au-dessous de la
plus petite des deux quanlilds 2 K. el aK', ce qui est encore la
conclusion, que donne immddiatemenl le thcor^me de Cauchy.
C’est a I’dgard des polynomes £ /u et qu’on lire de la th^orie
de la transformation de nombreuses propriety que je vais indiquer
succinclement. Les premieres et les plus simples r^sultent des
eq nations
sin am ^xa?, ^ = % sin am (x, x),
i i
les conditions
S,«=ll(x), =
II = II(•/.),
J =‘I , ( y 0 1
f I J (>'-') — ( - O'" ‘ 1 ’(■■<•)•
On en deduit aisement pone <I>(x) les consequences sui vaults :
supposant en premier lieu que in soil pair el posant m = 2/2, nous
aurons cette expression canonique
-!>(•/.) = G(i — vJ-h G, (i — y. 2 -j-
-+- G.(i — x J + y>)»-«x»x'« + .. I +G,(i - x*-h
oil p est Tentier eontenu dans -- Supposons ensuite in — n/> H- i ;
la forme analylique preeedentc n’esl modilice quo par rinlrodur-
tion du facteur
(i4-x*H2-x* )( i_ax*) ==<?(*),
et l’on obtient
c I 5 (y-) = <?(x) [ H (i — y . 2 + y.O«-i IIi (t — y.--i- v.-’' )" - '' 7 -' ' A " t
-+- H 7 (i — X* 4- -/>)«-1-3-7 yj»/yj^l |,
q etani l’enlier eontenu dans ---■■■ 1 • Si nous continuous tie designer
par B w le m' cmc nonibre de Bernoulli, les valeurs des premiers coef¬
ficients G et H seront
G = ^,
n
G| = 2 *“-*—i 5.2*"- # B 1<1 ,
G, = — 4- {;i\on — 745) 2 V ' 1 - 15 — (iSo/i — 9495 ) 4/ ' _ ' u Raw
jj _ 2 ff,t Bg n -t_i
2ft + I ’
H, = — a v/t-6_ (3o — 93)2 4,| - 5 B 2 »_i ^
2 ft + l *
Voici maintenant les proprieties alg^briques remarquables aux-
relations
sin am - ix ,
sin am(('r, vJ)
sin am ( ixx,
sin am (x,v.) . /. ivJ \
sin am lax, — )
/ X. -4- / V. •/. - l A \
sin am (- x ,-1 - —7
\ '4 -4— lj
i am (x, y.) sin am ( ix, x')
auxquelles je joindrai encore celle-ci
i _ (i + cosama;)(i4-Aama;) i
j’en deduis les diverses consequences suivantes.
Soit d’abord, pour abreger I’ecriturc,
ir = (— o»*n(x'), n" = ( -1 /. 2/ "ii i
puis
Uo = (— l ) H * ( i -!-*)*'« II
n i = (i h~ v.') 2 "' 11 (~~~7) >
. ...(j£g);
on aura en premier lieu
Tr 0 = a a/M—i(n # _|_ it"),
n,= It),
TT, = a*'«-i(H h-II')
el il est aise de voir que I’une quelconque de ces equations suflit
pour determiner sauf un facteur constant .les coefficients dw poly-
nome II(#).
Je remarquerai ensuite que se conclut immediatcment
de II(x); on a, en efFet,
s'expriment par res formulas
<]>, =
■2-
III - 2 — I
i ■> n
— l)7. 22
‘1-
- -l
i ‘±m
— 1)7.2"' 2
■>2 m -3 _ t
MI 0 h- n;.
Hll-r- Ctli'p
(llj-4- all").
^nfin on pent, (! une mauiere inverse, determiner d’abord le [iol
nome <I>(x), en employant. a cet ellel la relation
( a 5 1 ) <t> ( 7. ) = ( t>,| -j- <I> , -4- 'I>0,
qui est one consequence des precedenlcs. On en deduira ensui
puis
11(x i = ---- (<I> — ( I J „),
(-±m — gr 2 '"- 1
-( ( V
]I t = -
-r«i»i — a*i>),
- ( f l> 2 - 'X 'I 1 ).
Ces resultats manifeslent entrc II(v.) et <I>(x) une dependence re
proquc, que ne pouvail yui^re la ire prevoir leur origine; ils ee
duisent aussi a remarquer les deux combinaisons lineaires si
\ antes :
0(x) = ( a /H-l_i_ l)cl>(7.) -- (2 1)1 -H (V. ),
01 ( y - ) = — l)(I>( 7 .) — (?.M — 1 J( 7 .).
Nous auronSj en eflet,
( , + 3t ) Sw » = (-ir^e(v.),
(! -h *)*''*«, (j~j = (— l) m+ ‘ ** ©I (X),
cert deux nouvcaux polynomcs.
Je clierclic en premier lieu I’expression la plus generalc des
poljnomcs enlieis o(a?), de dogee m en x-, tels qu’on ail
11 )
(i)
n m cs (x ),
el je ferai d'abord celle remarque que, si fz(x') est suppose s’an-
nuleravee la variable, il conlienl le faeleur .r-(i — x-)-. Soil a cel
ell'cl, dans liquation (a), x — o; on on conelul (pie cp(.2?) s’annule
pour i el admel par suite lc l'acleur .r-( i— ,r-), puisqu’il ne
renfermc que des puissances paires de la \ariable. Or, en posant
(5 ( X ) — X- ( I - X- ) <1 (x I,
I’equalion (i) donnc
ee <[ui monlre immediatemeni quo h{x) sY*\anouilpour x = ±: i.
.I’ajoulo qu’cn faisant
on bien
< \>(x) — (l — X 2 ) x(x)
o(x) — X 2 ( 1 — X 2 ) 2 y (,T ),
on obliendra a 1’cgard de yX x )
8
(;)=XO;,
(l 4- x) 2m -
e’osl-a-dire les dqualions cat'acldrislicjues du polynome propose
'f(x), en y changeant m en m l\.
Une seconde remarque va maintenant en donner l’exprcssion
gdndrale. Soil pour un moment
cp 1 (,r) = ©(.r j ) — A(r h- x 2 ) 1 ",
Or, en disposant de A de maniere que cp, (x) s'annulc avcc x, on Ir
ramene, coniine nous l’avons vu, au produil d’un polynome dr
meme nature, de dcgre 2m — 8, multiplie par le i’acleur x 2 (i—
Operant done sur co nouveau polynome eoimne sur le precedent,
il est clair qu’on parviendra de proclie en proclu: a l’expressinn
eherch^e
o(.t) = A(i + j ; 2 ) m -i- A, (1 -t- .r 2 )'"- J ,/: 2 (1 — x ' 1 )-
-+- A 2 (I -r- x 2 )"‘~ 8 (1 - X* r- A, ( I - X- ret *»’(I — ^ )'•'.
/• designant l’enlier contenu dans ~ Mais cc resullatne nous suflit
pas ct nous avons encore a considcrer les polynomes cpii salislmil
aux conditions,
a -2W 55/1^
‘ \*7
o(x),
(r
Or, en faisant
e’est-a-dire
X- -4- 1 x — 1 = o,
O-j.
la seconde equation donne
O ( X) = 0 ,
de sorte que tp(x) est divisible par x 2 -+-ux — 1, et, par conse¬
quent, aussiparx 2 — 2X — i,attendu que s(—x) = cp(x). Ayanl
■faisons
(# 2 -f- ix — 1) (a? 2 — ix — 1) = x'* — (i x: 2 —i— i ,
o(x) = (x k — 6a? 2 -t-i)^(x);
•on trouvera ais 6 ment les conditions
a?2w ~ 4 ^ = ^O)*
si oils oanoniques des polynomes 0(x), 0,(x), et, par consequent,
I os valours de n(x) cl ^E>(x) sous une forme algebrique semblable.
VI a is o’est Irop in etendre sur ces polynomes qui m'ont surtoul
< xa'upc au point dc vue de l’usage qu’on pent on faire dans le dr-
veloppcmcnl on serie des puissances et produils de puissances des
IV me Lions sinning, cosam.r, Aanw, Cette question deja traitee
par M. C.-O. M eyer (/s nlwickelung dev eUiptischen Functionen
. > lv x K x
sin ±l am—— / <l 2 arw- ax ,
ncK' fh den Sinus and Cosinus dev Vielfachen von x, ce journal,
l . .X. X.IX.V II) joue un grand role dans la methode de calcul des per-
l il rli a lions epic M. Hugo Gylden a publiee dans les Memoires de
Sa i nt- I. Viters lining' ( St adieu cmf deni Gebiete dev Storungs-
/ /i eortc, 7 0 serie, L. Wl), et oil j’ai vn avec le plus vif inleret les
1‘on.c lions elliptiques reeevoir une application beureuse et habile
a la M.ocani<|iic celeste....
lamollu'-de-Meursac (Cliarenle-Interieurc). octobrc 1S7.).
EXTRAIT
d’une
LETTRE DE M. Cii. HERMITE A M. Paul MANS 10 ?
SUR
UNE FORMULE DE M. DELAUN4
Nouvelle Correspondance math dmatiq ue, t. II, 187 G, p. 54-5!
M. Delaunay, dans sa These sur la distinction des max in
minima qui dependent du calcul des variations [Jotime
M. Liouville, t. VI, p. 212) a donne, sans demonstration, la
male suivanle :
PD" J Q = D"'PQ — D^- 1 P'Q h- nu D‘ 2 P"( v > [)"' P ( "
ou P et Q sont deux fonctions do x , .. . etanl les 01
eients de x y x 2 , ... dans la puissance (1 x) m . Oil peul Pel
facilement, si l’on observe que tons les lermes du second mo . 1
donnent, en ddveloppant les derivations indiquees, des resi
compris dans cette formule
les coefficients A, B, C, L dependant seulemenl de m.
somme peut done £tre reprdseutee par I’expression de meme n
a Plm) Q-+-b Pl/n-i) Q' + c P0«-*> Q" -4- . . . h- Z PQ<'»>;
et il suffira, pour obtenir les coefficients numeriques a, h , .
de faire one hypothese particuli^re convenablc sur les fonctb
P — e/w,
Q = e?-*'.
On sera ainsi conduit a I’idenlile
•*' — l)l[ pi)"'- 1 g(/ J +7U'_4_ ni i p^\)tn-i e (i>+ii x — — I yiipin e {j)+t/'x
— e i ,+, /'x(ctj>» 1 -T- L>p">~ 1 q Iq»> ).
Or, cn ctrecluanl les derivations el supprimanl dans les deux
membres le 1 ‘aclcur exponenliel, (die proud ecllc forme
( p -H q )"' — »l\p( p H- q ) m 1 H- nu [>-( p -1- q )" 1 ' . H- i)" l p' n
= ap ,ll -h . . -t- lq">\
el le premier mombre so reduisanl a (p - 4 - q —/>)'", c’esl-a-dire
simplemcnl a rj n \ on voil cju’en clfel. les coefficients a, b, ... dis-
paraissenl, sauf ie dernier qui a ])onr valour l’unile.
Paris, 'J 5 novembi'C 1S70.
suit
L’AIRE D’DN SEGMENT DE COURBE CONVEX
Nouvelle Correspondance mathematigue, t. II, 1S7G. Question l
Tiieoremk. — AMB elant un arc cle courbe plane, cotivexe
projette A sur la. tangenLe BA' en B, et Von projette J 3 su
tangente AB' en A. Celapose , si Von neglige les quanlitei
cinquieme ordre, le segment AMB est equivalent a a { d<
somme des triangles rectangles VA'B, BB'A.
REDUCTION DINTEGRACES AREE1ENNES,
AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES.
Annales de la Soriete scie?itijir/ue de Bruxelles, i 1 ' 0 annee, 187G,
p. i-iG.
Dans une Nole du Tome 8 du Journal de Crelle, p. 410,
Jacobi, en generalisanl mi resullaL oblenu par Legendre, a monlre
quo les deux integrates abcliennes dc premiere especc J'
el f ~~=z> od l’on suppose
J v^R(-)
R(s) = z(i — z) (1 — abz) ( [ -1- as) (i bz),
peuvenl £lre ramenees, aux intdgrales elliptiques, par la m6me
substitulion
r /c'H-r
Y z ■■■ . .. . . . j
Y 1— k* si a 2 to -)- /1 — sin 2 cp
dont on deduit Jes relations
r
r
-j=== = ; (4*'-I- /') [F(k, <p) -+- F(/, ?)],
V/R^)
Les valeurs des modules /c, l et de leurs complements k’ y V sont
OEUVRES DE CHARLES 1IERM1TE.
‘A-JO
dounces par les formules suivanles, ou je pose pour abrei*
£ = \/(i + ci) (i + b) , a savoir :
/,• = v /g ~ s/T> __ \ « — y'o
c c
/•' — 1 ~~ V^> t /, _ i -i- \ 'ab
c ~ c
De ce resultat, extrennemenl remarqualde, ne semble avoir i
lire jusqn ici d'autre conclusion cpie ccile indiquee par Jacobi li
nicmc, el qui consisle a obtenir la partie reelle et le coefficient de
dans 1 integrate f ‘. — • Si I’on represenle cel
J o v 1 — (e + if) sin*<p
quantile par A + fB, 1’illuslrc geomelrc en conclut, en efiel, I
expressions
en prenant pour les paramelres a el b, qui frgurent dans R(^),
valeurs
a = ^ (l — e J 2 " 1 "./ 2 " 1- e — 1 j \/{ \ — e)'- -+- /‘ 2 -j- e — l
y/ e- — f* — e sje' 1 -+- f- -i- c
el pour les facteurs g et A, celJes-ci,
f = [t/(i-e)* + /»-e + i]'s, h = L A 1 . ~ e )- + /-+ — j .1*..
y/( i — e) 2 H-/ 2 -l- e i
Je me propose de faire voir qu’il a une porlee bcaucoup p
etendue, et qu’il ouvre une voie nouvelle, meme apres les Jjel
decouvertes de Clebsch, dans Ja recherche difficile des i ntegra
de diffdrentielles algdbriques, qui peuvcnt se rdduire aux fonclic
elliptiques. 11 ofFre, en effet, le premier exemple, et le seal con
dx
f \/R(z) 3 J \/(->-a
x — b)(x -— a )
en prenanl
el, si Poii pose ensuite
on obliendra la relation
'>.z i — b
7 = 3 (^ 2 — a) ’
//RO1
dy
fa* — 3 ay -t- b
(3n esLainsi, par induclion, eonduil a eroire qu’il exislc pour les
irrationnelles alg^briques, dontlenombre caraeleristique, ordinai-
remenl d<5sign<£ par/), esl superieur a I’unild, dcs eas de reduction
dc leurs iiitegrales aux fonctions elliptiqucs, dans lesquelsles p fonc-
lions de premiere espece seraicnlexprimoes par aulant d’integralcs
ellipliques dillerenles, an moycn de p substitutions. Sans insister
sur I’intcrdt el. la difficult^ dcs recbcrcbes qui se pr^senlent alin
d’essayer dc confirmer eclle induction, je me propose, dans colic
Note, d’acbever, si je puis dire, la reduction aux fonctions el lip—
tiques des integrates ab^lionnes eonsiddrees par Jacobi, etd’arriver
par la a line sorle de jonction entre la throne des sinus d’atnpli-
tude et celles des fonctions de Gbpel el de M. Rosenheim, oil le
rapprochement des forinules et des relations qui les concernenl
]>ourra dormer, ee me semble, dcs observations utiles.
I.
lin posant pour abr^ger x — sin 2 cp, je reprends la substitution
de Jacobi sous cetle autre forme, donn^e aussi par le grand
el d’oii Foil lire facilcmenl
el, par suite,
, _ x _ ( 1 — -s H t — ab z)
(i + «)(i+M’
— /'-X = (t-l
(f-+- as) (m- bz)’
(A) Afj;,X-)=/K(Ij
si l’on ecrit pour abreger
A (a?, /ij = y/a?([ — a?) (i — k-x).
Cette relation conduit comme consequence, en y clumgeant
signe du radical sjcib, a la suivante :
(B) A(y,0 = /RO)— c(l + /“ bz ) ,
U + oj)-(i+ b z)-
ou le nouveau module l est determine par la condition
Or, ayanl
l = ~/b
c
dx _ c»( i — abz-)
dz (i -y oj)J(i -+- bzp ’
on en tire sur-le-champ les deux egalites
dx. _ c(i -h \fabz) dz
dx _ c(i — )/abz) dz
s/RiT)
Je me propose maintenant d’en poursuivre les consdquenc
et, conformement a la nature des integrales abeliennes de p
nii^re classe, je chercherai a reduire aux fonctions ellipliques
somme des deux integrales semblables
REDUCTION n’lNTEGRALES ABELIENNES AliX EONCTIONS KLUl'TlQUES. '25')
en prenant pour X et Y des fonctions algcbriqucs de deux, va¬
riables independanles x et y, et pour /(X) ct ,/ (Y) les memes
fonctions rationnelles de X et Y. On y parvient en consideranl
I’equaiion
F*(.s)-R(s) = 0 ,
ou F(;) est un poljnome de troisieme degre cn z, determine de
telle maniere qu’elle adinettc comme facteur, d’une part lc polj-
nome du second degre
«T>(.-) = a?(H-a-3)(i-i-6 3) — c-z,
avec la condition (A.),
✓KO) = * t*. *> 6 ~r ;
c{ i — y /abz )
el, en second lieu, le facteur semblablo
4 * 1 ( 3 ) •+■ fl3)(H-65)-C*3,
et avec ia condition (B),
y/R(7j=A( J) l) —
■+• y /cib z)
Nous allons voir, en eflct, que les quantilds X cl Y seront les
racines de l’dcjualion du. second degre cn z, reprdsentcc par le
•quotient entier
F»(s)-R(«)
IJ.
Je ferai usage, k cel cflel, du thdordme d’Abel, en supposant la
foncLion ralionnelJe fix) rdduite simplement a —-—> ou g est une
x — ff
constanle inddlermii d . t i’en ddduirai 1 1 tion suivant .
/■
dx, , 1
r dx i
' (3-0-
-g)sjR(x 0 ) J
(3-i— .f)v / lUa , i)
r _
( iy o . j
dy\
' (y o-
-AO\/R (Ju)J
(yi—g)\'
r
dX 1 /
dX
1 (X-
ff) /R(X] J
f Y -g) v'TwT)
Maintenant on va voir que les deux sommes d’integrales
/ dx Q r dx ,
(z - 0 — g) v/R(a- 0 ) J (^i —
et
C dyo _^ (' dy x
J (>o—.^)v/K(ro) J (yi —
se reduisent aux fonclions ellipliques.
Considerons, en efl’el, la premiere qui se rapporte aux raeines
dc {’equation
O (~) = + — c-z = o
ct ou i’on se rappelle qu’il faut prendre pour chacune de cos
raeines
vTiuJ= 4(*, a-)- 1 + — )J(I - ±±~Ji.
•J e Iransformerai d’abord coniine il suit cette relation. Aprcs I’avoir
mise sous la forme
\/ R (~) c(t — \Zabz)-= b(x, k) (i -+- az ) 5 (i -f- bzy-{\ — \fal> z),
je multiplie membre k membre avec la suivantc :
. (■-✓=?»)■
(l-+- ciz) (l b Z )
ce qui donne, en simplifiant,
c(i — k-x) = A(a?, k) (i az) (i -+- bz) (i — </abz ).
On introduit ainsi, dans le second membre, la quantite
) = A(>. /•) (i — \ abz)
Or, il vicuL oa dillereuliant lequation <J>(s) = o :
('Al' , ^Al> ,
el 1’on conclul lacilcmenl, on <livisailL membre a membre,
dz
c(\ -- Jd x ) dr
|HHS
y/K(c) (/abz — i) Mx, k)
dz o(\ -- k-x) dx
{z — ,sr) y/ K( 3 ) (/abz — j) (z — #) A(.r, A)
SupposanL mainlenanL s = ;r 0 , puis ^ = ct ajoutanl in ombre
a membre, on cst. conduil a oalculer la fouclion symelriqtie
(/abx {) — i) (a’o— #) ( I>'(.r„) (/ abx x — i) ( x x — #) <!>'(.r,)
dos raoines de I’equalion <!>(;;') = o, qu’il csl aise d’oblcnir. J-Ccri—
tons, cn ell'et,
_ _ \ }
(s/abz — (y /ab — / \ z y /abz — 1/
el la valeur clicrchee r^sullera de Ja ibrinulc elementaire
‘I’O) {x — Xq) (#— Xi)<l>'{Xi)
on faisanl successivement x — g el x— -yL=- Gc calcul, forL simple,
s/ ab
conduit t\ joindre 4 la conslante g une autre /i, qui en depend par
la relation
rdg
h =
(i -+- ag) (n- bg)
c t — \ a &)
dc sorte qu’on a
divi.se les deux membres par y/R(g‘), que les termes en l - et en
sont les niemes, dans les developpements des quantilds
dX r dY
c(i-+-ag)(i-t- bg
f (X-g)s/ R(Xj Y- ff ) s /R(Y)
sfab ['dx a -\-b — sjab C dy
r dx
~)J A (a™,
k) c(i -t- ag) () -+- bg)J A(jk, 0
suivant les puissances descendanles de g. On obtient ainsi
relations auxquelles nous voulions parvenir, a savoir :
h
•• dX
/" dY _ i
r dx
i r d y ,
/tux) + j
' /R(Y) ~ c „
f A(x, k
j c J i(r> i)
X dX
r YdY i
r dx
. . 1 r d r .
' \/R( Y ) c \/abo
f A(x, k
) c \fab'J » 0
Qu’on definisse done les fonctions inverses de nos intdgrj
abeliennes, en posant les equations
J* c(i-j-/abX)dX
P
/R(X)
’ c(i — \fab X) dX
a/KTX)
On voit qu’on aura
_ C
U ~ J AO, k)'
■PP
■f
\fixb Y) dY
y/R(Y)
* c (i — \fab Y ) dY _
/HTT) ‘
_ r dy
J A(y, 0
Par consequent, les quantites X et Y, fonctions algdbriques (
et y-j s’expriment en it et e par des fonctions algebriques
sin am(w, k) et de sin am(p, /).
Cette conclusion donne beaucoup d’interdt au calcul des val
de X et Y, et je terrninerai cette Note en indiquant succinctec
la marcbe que j’ai suivie pour l’effectuer.
Revenons, a cet effet, a l’dquation
F*(*) — R(*) = o,
par M. Weierstrass, et qui sont l’une des plus belles ddcouvertes
de I’illuslre gdometre; je me bornerai a remarquer qu’il esl facile
d’en conelure la reduction aux fonctions elliptiques des integrales
plus gdndrales
f /q)dJL | rf( Y) dY
J /R(X) J /R(Tj '
EfFectivement, toute fonction rationnelle f(x) s’exprime lindaire-
ment, d’une part, au mojen des quantiles —-—, de leurs ddrivees
x g
par rapport a g et de l’autre par les puissances enlieres de la
variable. Or, on obliendra ces dernieres integrales qui appar-
tiennent a la catdgorie des foncLions de premiere el de seconde
espbce, en dgalanl dans les deux membres les coefficients de leurs
ddveloppements suivant les puissances ddcroissanles de h. G'estle
calcul que je vais faire afin de parvenir aux valeurs des fonctions
inverses de nos integrales abeliennes, exprimees par des fonctions
algdbriques de sinus d’amplilude.
in.
Considdrons d’abord le lerme
que j’dcrirai ainsi
log
fuo-v/kTT)’
log
F(a n
] — log [ I
v/R(g) l
F(^) J
Nous avons dit prdcddemment que F(g-) est du troisidme degrd
en g , et, com me R(g’) est du cinquieme, on voit qu’elle s’dvanouil
pour g infini. Passons ensuite aux integrales
/
{x
A (A, k) dx
— Il) A(37, k)
J
A (h, l) dy
(r- h a(>, iy
C*g
C J
i-
/_
• c •
divise les deux membres par y/R( «•), que les lermes en - et en
sont les inclines, dans les developpements des quantiles
r dX r dY
J (X — g) y/RCX) (Y — g) \/R(~y 7
et
a-k-b-h \/a£> r dx a -+- b — y /ah r dy
c ( t-H ag ) (t -+- bg)J A(a?, k) " + ~ c(i -+- ag) (1 -t- bg)J A(jy, O’
suivant les puissances descendantes de g. On obtient ainsi
relations auxquelles nous voulions parvenir, a savoir :
■* dX
C dY 1
r dx i
r d y ,
\/rTx)
1 /R(Y) ~~ c ^
/ A (a?, k) c J
’ 0
" X dX
r y dY _ i
r dx 1
r dy
SWx)
1 \/W(T) ~ cs/Vb^
1 L(x, k) c\Jabo
> My, i)
Qu’on definisse done les fonctions inverses de nos integra
abeliennes, en posant les equations
/
/
e(i + /a?X) dX
^/rTx)
c(i — \fab X) dX
(X)
/
■/
c(i + ^6Y)rfY = ?
‘i y/R(T)
c(i — \/abY)dY _
a/irTT)
On voit qu’on aura
u
-f
dx
A (x, k)
v
-J
' dy
Mr, O'
Par consequent, les quantitdsX et Y, fonctions algebriques d
et y, s’expriment en i/ et n par des fonctions algebriques
sinam(w, k) et de sin am(V, /).
Cette conclusion donne beaucoup d’intdrdt au calcul des val(
de X et Y, et je terrainerai cette Note en indiquant succincten
la marche que j’ai suivie pour l’effectuer.
Revenons, a cet effet, a l’equation
F*(.s) — R(^) = o,
et a la determination ae v {z) par tes conditions posees au para-
graphe I. Ge polynome dtant du troisieme degrd, je Jui donnerai
la forme suivante, ou P, Q, R, S sont quatre coefficients arbi-
F (z) = (l + a J l^.± bz \ [Vabz + P(a + b) -4- Q] -+■ c(R z H- S).
Gela pos£, ces coefficients devront etre ddterminds de manure
a avoir
F(z) = JW(T),
en prenant pour z, d’abord les racines de liquation
a?(n- az ){i -i- bz) — c-z = o,
avec la condition
v/R(.z) = A (cc, k)
c{x—>/abz)
qu’on transforme facilement ainsi
/TT7- a/ n M (' — Job z)
puis en second lieu, les racines de liquation
y(i-\-az)(\- s rbz) — c^z = o,
avec la condition correspondante
/R(«) = M# - , l )
(i+aa) 2 (i H- bz'f
Or, en remplagant dans le premier membre f 1 + a „f ^ z \ p ar ££,
et z' 2 dans le second membre par
— (a-+- b)z — i
Sa?- P =
R^_ f _Q_l_ c 2S =
A (a?, k)
\fab{\ — k-x)
(a + i + sjab) A(ar, k )
\/a6 (i — k-x)
En operant d’une maniere semblable, avec les conditions cc
cernant le second facteur, avec la variable^, on trouve
Sjk — P = —
Rj y -+- Q h- c 2 S = —
A (y, L)
\fab{ \ — fty)
{a-\- b — \Jab) l)
\/ab(i — l-y)
Ces equations entre les coefficients P, Q, R, S, sont simples
donnent aisement les valeurs suivantes, ou j’^cris pour abreger
A(a?,/r) = A, ■ a = a 4 - b -+- \fab ,
A(jKjO = Ai, [3 = a H- b — \fab ,
P — .Xfl — ^y) A -f- X(l /f 2 37)Ai
\/ r ab(i — k z x) (i— i i y)(y — x)
Q — ( a T -+- ° 2 ) (i — l-y) A -+- ($x - 4 - c 2 ) (1 — k-x) A t
\/ab(i — £ 2 a?) (i — l*y){y — x )
p __ a(i— l 2 y) A + p(i — ^ 2 57 )A|
\/ab( i — k^x) (i — fiy) (y — x)
g __ (i — l 2 y) A -4- (t — k 2 x) A| _
\[ab.{\ — k-x) (i — l l y) (y — x)’
le polynome F(s) dtant connu, j’emploierai l’identite
F 2 ( 2 ) — R(-)= C[a:(i + aii)(n-5z)-c 2 ^]
X [jK(H-a«)(i + 6^) — c 2 z\
x[(*-X)(*-Y)],
ou Ton trouve que le facteur constant C a pour valeur
C
j_ /P ab\ 2
xy\ c )
et Y que M. Weierstrass, en les considdrant comme fonctions des
variables u et p, reprdsente par al(«, v) a , avec un indice unique.
Ce calcul m’a donne pour rdsultat les formules suivantes :
v/«AXY =
JK(i — l' 1 ,)') A — x(i — k n -cc) A|
rO — 11 y) -+-^(t — k*x) a, ’
\/ab {i — X) (i — Y;
= (t — 'Jab) (t — y) (i — r-y) A — (i - 4 - sfab) (i — x) (i — /c 2 o?) Ai
y( r — ^ 2 jk) A -t- o?(i — A" 2 or) A t
x '/*y
/(i y)
v/(i— abX)(\ — abY)
= C 1 — \/ab) (i — r) (i —- Z 2 ,/) A -+- (i -+• \fab) (c — x) (r — k-x) A t
y{ 1 — / 2 JK) A -4-07(1 — /c 2 a?) A t
Jxy
x - v ■■■■ -. - . *
/(i -o7)(r —y)
\/6(i —- «X) (i— « Y)
= (v^ •+• y/^) ( 1 — ^y) A — {'/a — s/b ) (i — A 2 07) Ai j -
y( l — A-h o?(r — A' 2 or) A! V^JK,
y/«(i — 6X) (i — b Y)
= y/fr) ( f ~ A + (/a — y/6) (r — Ar 2 o?) A t , —
jK(i — ^ 2 jk) A ■+• 07(1 — k 2 x) Aj
Elies ouvrent la voie & des reclierclies sur lesquelles je me propose
de revenir dans une autre occasion.
NOTE
SUR UNE FORMULE DE JACORI.
Memoires de la Socidte royale des Sciences de Liege ,
a e serie, t. VI, 1879, p. 1-7,
et Mathematisclie Annalen, t. X, 1877.
Les belles recherches de M. Tchebichef et de M. Heine snr
tdgrale ^ ~ z \ dz ont montrdi dans les parlies ^levdes de IV
lyse le rdle et l’importance de la thdorie ^l^menlaire des frac.1
continues algebriques. G’est une nonvelle application de 1
iheorie que j’ai l’honneur de presenter a la Socidtd, et qui
pour objet la relation importanle dont Jacobi a fait la ddcouv
a savoir
d n (x — x^) 4
dx n
C sin [(72. -t- 1) arc cos a?],
G ddsignant une constante.
Je rappellerai, d’abord, qu’^tant proposee une fonclion J
developpable en sdrie infinie de la forme
f( x ) = ~ + ^
ai
x 3
toute reduite, ou fraction convergente , dont le ddnor)
teur est un polynome de degr6 n en x , s’obtient direcle
comme il suit.
On determine en premier lieu ce d^nominateur par la cone
que le produit f(oc) F(x), etant ordonnd suivant les puiss
f(x) F(x) — F t (a7) -
x >>+ 1
et, par consequent,
/(*) :
. F iC' r )
F(») F(*)\a!«+i
les cieveloppemcnls suivant les puissances dccroissantes de la fonc-
tion f(x) et de la fraction rationnelle coi'ncideronl jusqu’au
terme en - developpemenl de commenganl par im
termc en — • De plus, les polynomes F(j:) et F ( (x), sauf un fac-
Leur constant cominun, seronl determines d’unc maniere unique.
Gela pose, soil, en parlieulier,
/(*)=-
i.3 i
•x. 4 oc h
il sera aisc, dans cc cas, dc former F(a?) elF, (x) pour toute valeur
de n. Soil, pour cela,
(x -+- \/x- — i)" = F(.r) -|~
■M*),
c’est-&-dire
F(x) = cos/i(arc cosa?),
F[(a7)— sinn(arc cosa?);
je dis que ces polynomes entiers de degres n et n — i donnent
precisemeut les deux lermes des reduiles. On"a, en elfel,
O i)"' = -^4-...;
1’equation proposee, si l’on y change le signe du radical, donne, par
et, enfin.
F(aQ
\f x- — i
F,(x)
Fi(a?) •+•
x n
La condition posce, comme definition des reduile
ainsi completement remplie. Or, on peut encore la rc
autre maniere, comme on va voir. Formons la derivee
1’expression
il est aisd de voir d’abord qu’elle sera de la forme —=
un polynome entier en x de degre n. Soit ensuite, en
suivant les puissances decroissanles de la variable
1
(a ? 2 — i) 2 — a# 2 "- 3 -!-.. \x h-1- -
je remarquerai qu’en prenant la derivee d’ordre n , 1
tiere du second membre conduira a un polynome
n — i, tandis que la partie contenant les puissances ne
variable donnera une serie inlinie commencant pa
Nous trouvons done encore la relation
P
\/x 2 —
= Pj -t- -
qui determine, sauf un facteur commun constant, (
l’avons dit, les polynomes entiers qui y entrent. On
en ddsignant par N une constante numdrique,
P = N cosn(arc cosa?),
et, par consequent,
d n (x -— i)
dx ' 1
N cos n(arc cosx)
\/x 2 — i
n(ni) (n-+-2)... ( 2 n — 1 );
et comme on a
cos n( arc cos x) = 2 n ~'x n -+-...,
cette constante se Irouve d£termin6e par la condition
n(n •+■1) (n -t- 2) ... (271 — 1) = a ' 1 " 1 N ;
d’ou l’on tire
N =
n(n ■+- 1) (n -t- 2) ... (y.n — 1)
__
t .2.3.. .(2/1 — r)
2«-‘ I .2.3. . — 1 ) J
ou encore
N =
i. 2. 3 . .. ( 2 n — r)
2 .4 • 6 • • • (2 n — 2)
= 1.3.5. ..(271 — 1 ).
La formule de Jacobi que nous avions en vne d’dtablir est une
consequence immediate de ce resultat; car en mettanL la relation
oblenue sous la forme suivanLe :
d ,l ( 1 — x 2 ) 2 _ (• j),, jy cos/i(arc cos.r)
dx a
— (— f )" -1 N cos/i(arc cos#)
on en conclul, en integrant par rapport a x ,
1
d.' l ~ x ( r — x 2 ) * _ (— i)" -1 N
dx<'~
sin /i(arc cos#).
Nous n’ajoutons point de constante, attendu que les deux
membres s’dvanouissent quand on suppose x = 1 ; cela dtant, il
suffit, comme on voit, de changer n en n ■+■ 1 , pour arriver au
thdor6me proposd, la valeur de la constante C dtant
C - (— ^ t - 'i .
Paris, aotit 1873.
SUR QUELQUES APPLICATIONS
DES
FONCTIONS ELLIPTIQUEJ
Comptes rendus de I’Academie des Sciences , t. LXXXV, 1877
p. 689, 728, 821, 870, 984, 1085, 1185; t. LXXXVI, 1878, p. 271
422, 622, 777, 85o; t. LXXXIX, 1879, p. 1001, 1092; t. XG, 188c
p. 106, 201, 478, 643, 761; t. XCIfl, 1881, p. 920, 1098; t. XGIV
1882, p. 186, 372, 477, 5p4, 753.
La theorie analytique de la chaleur donne pour l’impor
question de l’equilibre des temperatures d'un corps solicle h
gene, sounds a des sources calorifiques constantes, une dqu
aux differences partielles dont Emigration, dans le cas de 1’
soide, a ei 1’une des belles decouvertes auxquelles est attac
nom de Lani. Les resultats obtenus par l’illustre geomelre d
lent principalement de l’etude approfondie d’une equation
rentielle lint^aire du second ordre, que j’ecrirai avec les noli
de la theorie des fonctions elliptiques, sous la forme suivanlt
^2 y
i)/c 2 sn 2 a? -+- h] y,
k £tant le module, n un nombre entier et h une constanle.
a montre que, pour des valeurs convenables de celte cons
on y satisfait par des polynomes entiers en sn#
y = sn^a? -+- /i, sn"~ 2 a7 -+- h. 2 sn"- 4 a? -4-. . .,
dont les termes sont de m^me parity, puis encore par ces e^
sions:
y — (sri"- 1 # -+- h\ sn re - s a? -f- hi sn ll - s x . .) cn x i
y = (sri' 1 - 1 # -t- h\ sn"- 3 ^ -+- h " 2 sn"- s a? H-.. .)dna?,
y — (sn / 4 - 2 a; h".' h% sn' l - G ar cn x dn x.
consideration de la seconde solution de l’dquation diHerentielle,
d’oii il a tire des theoremes du plus grand interet ('). C’est egale-
ment cette seconde solution, dont la nature et les proprieties ont
ete approfondies par M. Heine, qui a montre l’analogie de ces deux
genres de fonctions de Lamd avec les fonctions spheriques, et leurs
rapports avec la thdorie des fractions continues algdbriques. On
doit de plus a Imminent geometre une extension de ses profondes
recherches a des equations diflerentielles lineaires du second ordre
beaucoup plus gdnerales, qui se rattachent aux inldgrales ab£~
liennes, comme celle de Lame aux fonctions elliptiques (-).
Je me suis place a un autre point de vue en me proposant d’ob-
tenir, quel que soil, h, l’integrale generate de cette Equation, et
c’est l’objet principal des recherclies qu’on va lire. On verra que
la solution est toujours, comme dans les cas particulars consider^s
par Lame, une fonction uniforme de la variable, mais qui n’est
plus doublement pdriodique. Elle est, en eJTel, donnee par la for-
mule
j- = G F (a?) -I- C' F(— «•),
oil la fonction F (cc), qui satisfail ii ces deux conditions
F(a? -t- 2 K ) = |j. F(a?),
F(^-H2iK')= |FF(^),
dans lesquelles les facteurs ju et p/ sont des constantes, s’exprime
comme il suit. Soil, pour un moment,
nous aurons
F(a?) = D £ -1 <J>(ar) —A,D "" 3 4»(a?) + A 2 D»~ s
(‘) Comptes rendus, i ,r sem. i8lj5, p i386 eti 6 o 9 ) Journal de Mathematiques,
t. XI, p. 217 el 261 .
( 2 ) Journal de Crelle (Beitrag zur Theorie des Anziehung und der Warme
t. 29); Journal de M. Bor char dt (Ueber die Lameschen Functionen; Einige
Eigenschaften der Lameschen Functionen clans le Tome 56, el Die
Lameschen Functionen verchiedener Ordnungen , t. 57). Le premier de ces
M 6 moires, paru en i8/J5, mais dald du igavril i844, conlient une applicalion de la
seconde solution de liquation de Lam 6 , qui a 616 par consequent d 6 couvcrte
par M. Heine, inddpendamment des travaux de M. Liouville, et k la m 6 me
a, par exemple,
A — ( n ~ 1 H n — 2 ) \ h n ( n -+• 0 (l H- ) ~[
1— 2(2/1 — i j |_ 3 J
A _ ^ n — T) (n — 2 ) ( /T. — 3 ) ( n — 4 )
8(271— 1)( 2/1 —3)
A.+ + ■-*-*■) A + + (I +
3 9
Je m’occuperai, avant de traiter le .cas general ou le nombre
est quelconque, des cas particulars den — i et n = a. Le prem
s’applique a la rotation d’un corps solide autour d’un point fi:
lorsqu’il n’y a point de forces acceleratrices, et nous conduira a
formules donnees par Jacobi dans son admirable Memoire t
cette question (OEuvres completes , t. II, p. i3g, et Comp
rendus : 3o juillet 1849 ). Fy rattacherai encore la d^terminati
de la figure d’equilibre d’un ressort, qui a ete le sujet de trava
de Binet et de Wantzel (Comptes rendus , i e '' sem. 1 844? p- 11
et 1197 ). Le second se rapportant au pendule sphdrique, j’au
ainsi reuni quelques-uncs des plus importantes applications <
aient ete faites jusqu’ici de la thdorie des fonctions elliptiques.
1 .
La methode que je vais exposer, pour int£grer liquation
Lame, repose principalement sur des expressions, par les quanti
e(s), h (x) : des fonctions F(a:), satisfaisant aux conditic
enoncees tout a l’heure
F(ar -h 2K) = [2 F(a?),
F(* + a£K') = p' F(a?),
qui s’obtiennent ainsi:
Soit, en ddsignant par A un facteur constant,
H(a?-i-2K) =—H(a?),
H(a?-+- 2iK')=~E(x)e K l ' r ‘ h ' K ’ 1
donneront celles-ci:
+ = f(x)e*
_£^ +2 ( -Xk'
/(a? + atK')=/(a7)e k
Disposant done de to et X de maniere a avoir
on voit que le quotient ^-7 — esl ramene aux fonctions doublement
\ n J(x)
periodiques, d’oii cette premiere forme g^ndrale et dont il sera
souvent fait usage :
F(a?) = fix) «I>(a?) >
la fonction < 1 ? (x) n’etant assujettie qu’aux conditions
<I>(i» -+- 2K) = <!>(«•), <t>(a? -4- o,iK r ) = <$(x).
En voici une seconde, qui est fondamentale pour noire objet. Je
remarque que les relations
/(^ + 2K) - ^ f(x),
fix -t- 2iK') = f(x).
ont pour consequence celles-ci:
fix — jK) = -/(a:),
f{x—ii K')= -,f(x),
de sorte que le produit
*(<«) = F(x)f(x — x)
rectangle des periodes; et, en egalant leur somme a z£ro, nc
obtiendrons immediatement 1’expression cherchee. Remarquon
cet effet que/(;r) ne devient infinie qu’une fois pour x — o,
que, son residu ajant pour valeur
AH (to)
Il'(o) ’
on peut disposer de A, de manicre a le faire egal a burntd. Posi
done, en adoptant cette determination,
/(*)
H'( o) H {x 4- to ) £>' x
H (to) H (a?) ’
on voit que le residu correspondanl a la valeur z — x de ( I>(.z)s
— F(.r). Ceux qui proviennent des poles de F(s) s’oblienn
ensuite sous la forme suivante. Soit z = a l’un d’eux, et posons
consequence, pour s infiniment petit,
F (a -+- e) = Ae - 1 Ai DjE -1 -4- A 2 Df e - 1 4 -. . .
-+- A& D“ E" - ' -+- CIq -h Cl i £ —|— Clo £” —,
f{x — a — e) = f{x — a) — - D. r f(x — a)
4- D£ f(x — a) — ... 4 - y ^ ~ f(x — a) 4-
le coefficient du terme en ~ dans le produit des seconds membi
qui est la quantite cherchee, se trouve immediatement, en rem
quant que
et a pour expression
A f(x a)-4- a)H- A 2 Dj. f(x — a) 4 -... 4 -A a D® < /(a*
La somme des rdsidus de la fonction ^(.s), dgal^e 4 zero, nous c
duit ainsi ala relation
F(ar) = S[A/(ar-a)-hA 1 T> x f{x - a) 44. . .4- A«D*/(a? — a)] s
oh le signe S se rapporte, comme il a et£ dit, a tous les p61e;
F( z) qui sont a l’interieur du rectangle des pdriodes.
II.
La fonction F(#) comprend les fonctions doublement pdrio-
diques; en supposant egaux a l’unite les multiplicatcurs p et pi je
vais imm^diatement rechercher ce que l’on tire, dans cette hypo-
these, du resultat auquel nous venons de parvenir. Tout d’abord
les relations
dormant necessairement )>. = o et to = 2mK, ou, ce qui revient au
rneme, w = o, le nombre m etant entier, la quantite
/O)
n'(o)II(ay + (o)
llCio) II(ar)
devient infinie et la formule semble inapplicable. Mais il arrive
seulemenl qu’elle subit un changement de forme analytique, qui
s’obtient de la maniore la plus facile, coinme on va voir. Sup-
posons, en efiet, X = o et u inliniment petit; on aura, en develop-
pantsuivant les puissances croissantes dc or,
d’ou
Il(co) co^A <> a IC / ^ !
H(jf + co)
H(ar) 1 H H(o?)
/O) = ~
H'(^)
11 ( 37 )
I-+-/C 2 3 \
6 2K/ 10 "*
D’autre part, observons que les coefficients A, A ( , ... doivent
etre considers comme dependants de w, et qu’on aura en parti-
culicr
A = a -+- a'co
a, a', ... designant les valeurs de A et de ses d^riv^es par rapport
a w pour cl>=o. Nous obtenons done, en n’^crivant point les
termes qui contiennent co en facteur,
A _ a V „/ , Ji'(x-a) ,
— Sa —l— Sa'+ 2a ~vj~} - 4 ■
i H (x — a)
Or voit que le coefficient de - disparait, les qualities a ay?
une somme nulle comme rdsidus d’une fonction doublement per
dique, et la differentiation donnant immddiatement, pour to = <
D. C /(^)=D X
Di/(*)= D* -
nous parvenons a l’expression suivante, ou a, a,,
valeurs de A, A,, ..., A a pour oj = o :
C’est la formule que j’ai dtablie directement, pour les fonctn
doublement periodiques, dans une Note sar la theorie cles fo<
tions elliptiques , ajoutde a la sixieme edition du Traiie de Cal
differential et de Calcul integral de Lacroix (Heumite, QEuvt
t. II, p. 125).
Revenant au cas general pour donner des exemples de la dd
mination de la fonction /(a;), qui joue le role d’dldment sim
et du calcul des coefficients A, A,, A 2 , je considererai
deux expressions :
F(x) - + + +
' 0«(a?)
ou a, b , —, l sont des constantes au nombre de n. On trc
d’abord aisement leurs multiplicateurs, au moyen des relations
0(a? -I- iK) = -+- &(x),
H(a; -h 2 K)= — H(ar),
0(a?-H 2 tK') =— &(x)e
Hr -t-oiKM
FT ( nr
= a + i+ ...+ /,
puis, comme precedemment,
_ 17C(,)
K
(in aura
K'
F(.r-i-2 K ) = [jl F (x), 2 K ) = ( — i) 11 p. F t (x),
V(x -+- aiK') = p' F(a?), F^a?-!- 71K') = p' F|(a?).
II en resulte que, quand a esl pair, la fonction
/(*) =
IF(o) ll(x -+- o)) A :v
H(w) ll(ir) ’
ayant ces quantiles p el u/ pour mulliplicaleurs, pcul senir d’ele-
menl simple pour nos deux expressions; mais il n’en esl plus do
mcmc rclali\cmenl a la seconde F^ic), danslc cas oil n eslimpair:
on volt aisemenl qu’il faul prendre alors pour element simple la
fonction
M*)
ll'(o)(-)(.r-!- to) A x
eiwjllpr)
afin do changer le signe du premier mulliplicateur, le rdsidu corres-
pondant a x — o etant d’ailleurs egal ii l’unild. Cela pose, comme
F(.7.’) et F,(u?) ne deviennent infinies que pour x=i &', ce soul,
les quantiles f[x — f.K/) et/i ( x — i k/) qui ligureronl dans notre
formule. II eonvient de leur attribuer une designation parliculi^rc,
et nous representerons dorenavanl la premiere par '■?(#) et la
seconcle ]>ar y(.r), en observant quo les relations
0(aH-iK') = iH(^c vu
_ /7C
H(arH-iK') = * e(a?)<? 4K
donnent lacilement, apres y avoir change x en — x : ces valeurs :
H'(o) 6(a?-Hio)e^ r
9 (^) 1 .—" _ " ?
vVH(u>)e(*)
. . H'(o)I-l(a? -+- to) e^ x
= - - -Mr --—-
r iv -t-s; ei r , [i rv -t-sj, siuvani les puissances croissam.es (
la partie qui rcnferme les puissances negatives de cetle quan
et qu’on pourrait, pour abreger, nommer la pavtie principal
cet efl’et, je remarque qu'en faisanl, pour un moment,
on aura
F(^‘) =
11 (.v)
6'‘{x)
F (i K' H- e ) =
vV »ii(Q
\\(x) :
. Hi(a-)
’ Q ,l (x)’
B) =
vV HQ)
1 - 1 «(e)
Nous dcvelopperons done II(s) el T1,(Y), par la forimib
Maclaurin, jusqu’aux termes en z u ~' : el nous mulliplierons j)
partie principale de p p/ ( ^ > qui s’oblienl, coniine on va voir
moycn de la function de M. Weicrslrass :
, i-+-/■« i -t- 4 /r 2 /r' ..
Al(a?)i — x --— - x* —. . ..
b I 20
On a en efl'et, d’apres la definition meme de 1 ’illusLre analy
,i .J 2
II(.r) = II'(o) Al(.rq,
et l’on en deduit
ZlJ'
G
i -i • 4 /< - -
[ 20
«(l+ /,*) I
(> E "~ 2
/ 1 ■+- /,•*
"(
.1
2~K
]
IV.
Je vais appliquer ce qui precede au cas le plus simple, en
posant n = i el X = o, ce qui donnera
F(x) = 6(37 + a) +
®*(^)
F, (x) = + «)»(•-*+ 6 )
U 1 8*(x) ’
sun QUIiLQli KS APPLICATIONS IUCS ['ONCTIONS KIAII'TIQU ICS. 9-7^
et, par consequent,
T 1 (e) = 0 (a) 0 ( 6 ) 0 - [ 0 (a) 0 '( 6 ; •+- 0 ( 6 ) 0 '( a ,
Hi(s) = 11(a) II ( 6 ) -+- [H (a) M'( 6 ) -+-11 f /> _»\ \' (a) | s —....
.Maintenanl, la parlic principale de jj „ ■■■■- nc conLennnl que Ic seal
terme rnr —; -v on a immediulement
U - (O) E"
1^10) F , = II (a) II ( 6) , U(a)H'(6) +ll(6)II'(g)
/ p' e2 £
II’2(o)„ , , 0 (a) 0(6) 0(a) (-)'( 6 )-i- 6(b) 6'(a)
—— F|(tlv + e)= --- 0 ---r---,
Vl J -
cL, par consequent, ces deux vela lions :
il "' ( °) .,. e ^± a ) <d(x t b \ = _ l-I («) II ( 6 ) o' (x) - | l-I ( a) Il'( b) -r- II ( b) 11' ( a) | ©( »•),
v/jjl' ©*C^)
U = _ 0 («) 0 ( 6 )<p'(r)H- | 0 (a) 0 '( 6 )-i- 0 ( 6 ) e'(a)|o(:r).
vV 0- ’O)
En y rcmplacant 'f(x) par sa valear ^1°^ - ■ X ^ ) } jo les
ecrirai sous la forme suivanLe, qui esl. plus simple :
H' (o ) II (a -+- b ) 0 (or -+- a) 0 (,r 0 - b )
l-I (a) 11 ( 6) 6* (or)
— _n fl ^+ g + 6 ) | H'(a) M'( 6 ) ~l 0(.r a b )
~~ ,B 0(ar) h I.H(a) ^ M(6) J &(xj
II' (o) II (a -f- b) 11 (x a ) II (x -f- b )
0 (a) 0 ( 6 ) 0 2 (<r)
0 (,r-+- a H- b) r 6 '(«) 0 '( 6 )"J Q(x -+- a -0 b )
~~ x 0(F) H “ L ^ eT^TJ
On en lire d’abord, k I’dgard des functions ("), cetLe remarque quo,
sous la condition
on a l’dgalild (*)
oil d>( x ) designe lc premier membre, y la fonction
, H'(6)
.1 /, la constanle + Tf(6)'
Si nous multiplions par e~P x , elle devient, en effel,
<I> 0 ) c-vx— _ D x {y e~ ,>x )i
6 (x-^a-hb)
e (.t )
d'oii
I ( I>(ir) e-i >x dx = —y e~t >x .
Ce resultat appcllc I’atlcnlion sur un cas particnlier des folia¬
tions ®(x), oil, par suite d’une certaine determination dc A, elles
ne renferment plus qu’un parametre. On voit qn’en posanl.
o (x, a) -
. H , (o)0(a? + g) -
H(a) 0(a?)
re <[«i enlraine, pour le multiplicateur p/, la valeur
- ~ -2iK' 1
■n Il'(ff)
I’integrale J <o(x,a) cp(a?, b) dx s’obtient sous la forme fmie c
plicite. Un calcul facile conduit en efTet a la relation
r n'(q + M uw _imn
I o(a?, a) a(x, b) dx = — o(x, a -+- b) Hi/-/-*-/n H'«> 'H*) J
Faisons, en second lieu,
/<>> a) =
cu designant alors par u.' la quantite
H'(o)H (g + «) f -gg--
</ f x' Q(a) 6(x)
l J - = e
et nous aurons semblablement
fx(x> a )X( x , b) dx=—<o{x, a +b)e
L
r nvt + ^) 0VU 0'tM l M{ ,
de l’equation Il / (a?) = o, puis de 1 ’equaLion (->'(37) = o, on aura,
dans le premier cas,
37, a) cp(rc, b) dx — 0;
el dans le second,
f
7 (37, ct) 7(27, b) dx = o,
sous la condition que les deux racincs lie soicnl point ei>ales et de.
si^nes contraires. Si Ton suppose b —— a , nous obtiendrons
I "* cp (ay, a) 0(3?,— a) dx = 2 ^J — ^ >
/ 7(3?, a) 7.(27, — «) ^ = ^ (J — /i‘‘-K sn 2 «).
On voit les recherches auxquelles e.es Iheorenies ouvrent la voic ct
<jiic je me reserve de poursuivre plus Lard ; jc me .borne a les indi-
<[uer succinctemenL, alin de monlrer (’importance des fonctions
®{x) et y (#). Yoici maintenanL comment on parvienl a les delinir
par des equations difl’drentielles.
V
Nous remarquerons, en premier lieu, que les fonctions <p(#) el
y(x) peuvent etre rdduites l’une i\ l’autrc; leurs expressions, si
l’on yremplace le multiplicateur p/ par sa valeur, dtant, en effet,
tp( 37 , to) =
X(®, w ) =
H'(o)0(g + oQ - *g M-/K
H(oi) 0(37)
H'WH^ + cu) - - TT
0(01)0(37) ’
on en deduit facilement les relations suivantes
dc s, de y(fK'^-s), qui jouera plus tard un role importanl, el
dont nous allmis. corame on va voir, tirer 1’equation dillerentiellr
([ue nous avons en vue. Pour le former, je partirai de l’e^alitf
!>.,■ log ‘/-(sc) =
H'Car + m)
.11 (X -!- « )
d’ou I’on deduit
Q'(^) _ Q'(<«)
0 ( x) 0 (CO )
D t log/_(/K'-+- s)
0' ( (0 -+- £ )
0(w + e)
H'(e) 0'(co)
HU) “ tiW*
Cela post', nous aurons d’abord
B'(io -+- £ i _ 0'(to ) _ 0 '('qj ) s 2 D 2 Q'( t0 )
0(w-t-£| 0((U) ~~ Z M 0(to) " + ~ 1.2 ,O 0(tO)
mais, I’equation de Jacobi
D.
^ = i -***»■.
0 (x) K
donnant en general
D". + 1 ^ = — DS sn* ar,
■* 6(ar) A
ce developpement prend celte nouvelle forme
0'( (i) 3 ) 0' (to)
0 ( 0) -- 1 — 3 J 0(CO )
-lD w /tSsn»
I .2
Joignons-y le resultat qu’on tire de l’equation de M. Weierslrass
■111
H(e; = II'(o) e 2U A1 (e)i,
en prenant la derivee logarithmique des deux membrcs,
H'(e) __ J Ar(s) t
H (e) E K A1 (£) i ’
et nous aurons
sans qu’il soil bcsoin d’inlroduiro nn faclenr constant dans le
second membre, puis([ue le premier lenne de son dcveloppement
csL comine il le faut d’apres la nature de la fonctiony (os). Cette
I'ovmule donne le resullal cherclie par mi calcul facile ; elle montre
qu’en posant
e) - - ' Lie - Q s e3 —
Kn voici une premiere application.
VI.
Considdrons, pour la decomposer en dldments simples, la fonc-
tion k- sn - xy^(x), qui a les mulliplicaleurs de y (#) el ne dcvienl
infinie cpie pour x = i K/. On devra, a cetefl'et, en posant x ==fK/-he,
former la parlie prineipale de son dcveloppement suivant les puis¬
sances croissanles de e, que nous obtenons immddiatement en
miiltipliant membre a membre les deux dgalitds
7.(' K '-t- £ ) = ~ — ^ Qe — •• •>
- = - + -....
a- snM iiv 4- s j y (t IS. 4- £) = — 4 - (I A 2 ) — - 12 J - - 4 -. ..
= D! £-'-4- |^(l4- A 2 ) — ^ A 2 sn 2 to'j
cl l’on en conclut la formule suivante
** sn*a? y(x) = ' D* y(.r) -4- ^ (i -+- A 2 ) — A 2 sn*wj /.(.r
Elle montre que, en posant y = y(.r), nous ol)tenons tine solution
de Pequation lineairc clu second ordre
^2- = sn2.r — i — A 2 4- k- sn’-co)y,
qai esl celle de Lame dans le cas Je plus simple oil Pon suppose
n=i. la consLante h ——i — k- + k- sn- to elanl quclconque,
puisque to est arbitral re ; el, coniine celle equation nc change pas
lorsqu’on change x en—,r, la solulion obtenuc. en domic uuc
scconde, y = */_( — x), d’oii, par suite, I’integrale complete, sous
la forme
r = Cy^)^C'yS-x).
A ce resultat il est necessaire de joindre ceux qu’on oblienl qiiand
on remplace successivemenl to par to + i'K/, to + l\, to + K + (K\
ee qui conduit anx equations
d-y _
dx*
^2 k' 1 sn 2 a? — i
[ — A 2 -4
sn 2 to
b
d* y
dx 1 ~
^ ‘ik- sn 2 .r — i
t — k- 4-
/.* 2 cn 2 u>
dn 2 to
h
d 2 y
d^ =
^2 k- sn 2 a7 — i
[-A 2 4-
dn 2 to
cn 2 to
)r,
La premiere, d’apres Pegalite y (a?, to + j'KP) = s (x, to ), a pour
intdgrale
y = Ctp(x) -+■ C — x);
et, en introduisant ces nouvelles fonctions, a savoir
w) = z(x, w -+- K),
i ©i(a7, to) = cp(ar, to 4- IC),
ii'oisicme,
y= sC VA^)-^C > y ml (—x),
y = l ?iO) -+- c' Oj(— x).
I -<:s expressions de <?, (x) el y, (*) s’obtienncnt aisement a I'aide
<los foaclions 0, (.r ) = 0 + K), H, (*) = H (x H- K.); on trouve
am si
i (tt’j o) = -rr--- -e i tl) ) aw ,
111 (io j 0 (a?)
7.1 O, w) :
IT'(o) H, {x -+- co)
Bi(co) fc)(ar) C
Nous allons cn voir un premier usage dans la recherche ties solu-
lions de l’ec[ nation de Lame par des 1‘onctions doubiemenl perio-
<li<|ucs.
YU.
Nous supposons a celeflel co = o dans les equations precedentes,
<ui exceptant Loiilefois celle oil se trouve le terme — qui devien-
drail infini. On obtienL ainsi, pour la constante h , les detcrmina-
I ions siiivanles :
h =_ ! — a-s, h=- r, h = — k-.
Cilo soul piVicisdmenl les quantiles cju’on trouve en appliquant la
imHliodc de Lame ; et en ra£me lemps nous tirons des valeurs des
fonelions y (#), '/j (a?), cp, (%), pour w = o,les solutions auxquel-
les conduit son analyse
v &(x)
O-h (X)
8{X) }
-./F
01 (x)
8(x) ’
ou, plus simplemenl, puisqu’on peut les multiplier par des lacteurs
constants,
y = sna?, y — cnx, y — drur.
IVlais une eirconslance se presente maintenant, qui demande un
oxomen alientif. On ne peul plus, en effet, d^duire de ces expres-
solution generale de Pune quelconquc de nos Irois equations, on
laissant to indetermine, par la formule
y= CF(a7,co)-+-G'F(—a", co).
Jc la metlrai d’abord sous cette forme equivalente
Y ~ C F(ar, co) -h C' F(.r, to);
puis, en developpanl suivant les puissances croissanles de to, ji
ferai
F (x, co) = F 0 (.r) co Fi(a?) co 2 F 2 (#)
ce qui permettra d’ecrire
r = (C-+-G') F 0 (a?)-h w(C — C')Fi(*)-h co 2 (G + G' ) F,(.r ) 4-...,
ou encore
y= C u F 0 (cr) - 4 - Cj F t (a7) co C 0 F 2 ,
en posanl, d’apres la methode de d’/Uembert,
C 0 == C-4- C', C, = co(G — G').
Si l’on suppose mainLenant to = o, on parvienl a la formule
ir =GoF 0 (a7)-+-G 1 F 1 (a 7 ) l
qu’il faudra appliquer en faisanl successivement
F(a?, co) = F(x, co) = F(>, w) = cp, (x) ;
constants. Observant done que, pour co = o, on a
, e, ^> = i D e i( M ) = £ _ /, D H{(to) _ _ __
u B(to ) K w Bi(to) K ’ w 1 - 1 1(10} K 1
nous obtenons immediaLement les valeurs que prennent leurs deri-
vees par rapport a to, dans cette liypolhcse de to = 0
.1 Ufa?) ^
K (-) (.7:) X ’
KB (a?) X
(J —
K B(a') X ‘
La solution gene rale de 1’equalion de Lame, dans les eas parti-
euliersque nous venons de considerer, pent done sc representor
par les formules suivantes :
h——i — A*®,
y — G sn.-r •+- C'
sn x |
' W(x)
. n
.1
K ^
h -
jk = C cn a? -+- C'
J — k- K ‘
K *
/'■ =~* 2 >
y — G dn.r - 4 - G'
cl n x j
‘ Q'i(x) _
_#■ W
J — K ’
— *
VIII.
Un dernier point me reste a traitor avant d’aborder, au moycn
des resultaLs qui viennent d’etre obtenus, le probleme de la rota¬
tion d’un corps autour d’un point fixe, dans le cas oiiil n’y a poinL
de forces acc^ratrices. On a vu que les quantity cp (a?), %(&),
?' ( x )i 7 j {%) sont les produits d’une cxponentielle par les fonc-
tions p^riodiques
H'(o) 9(^-+-co) H'(o) I-I (x - 4 - to ) H'(o) 0 L ( x -+■ 10 ) Ff'(o) H if #-4-to)
H (co) 0 (a?) ’ 0(co)0(a7) ’ ll l (to)B(a?) ’ Bj (id ) 0(;r)
developpables par consequent en series simples de sinus et cosinus
de multiples entiers de —• Ges series ont £t£ donn^espour la pre-
montrer comment on pent y parvenir an moyen <
vant.e
n 2 li - / U
/ F(ar 0 4- x) dx- 1 - /
— I F ( x 0 -t- a iK'+s
Jo
F ( 2*0 -+- ■>. K -+- r) ci.r:
) dx ■— j F (x o - _ .
oli, les quatre inlegrales clant rectilignes, S repi
des residus de la fonclion (x) qui correspondei
a I’interieur du rectangle dont les sommets on
quantites x 0) x 0 + 2K, .r„ + 2K + a/K.', .r 0 -+- 2
ccL eflet qu’on ail
F (x — ?.K) = 1 j. I’’i x ),
F(a? -+- -n'K') — \j! Fi>) ;
on obliendra la relation
(1—ij.') f F(ar 0 H -x)dx — (1 — jjl> ^ F(.r 0 -t-
ct, si I’onadmet en outre quele mullipliealour u. •
on en conclura le resultaL suivant:
X
K
F ( r 0 -t- x) dr
Cela pose, soil, en designant par n an nombre ct
on aura
F(*)
H'(<>) QQ -4- to ) ~ .
U(w,)e(a;j 1 '
ji = r.
f'
-i- |dH-!n/ K’i
e ,v
et, en prenant la constante x 0 dans des Iimites 1
unique de F(#) qui est k I’interienr du recLai
nous obtiendrons pour le r^sidu correspondant, <
pour S, la valeur
cl l’on voit qn’en posanl I'equation
ll'( o ) fc)f.r 0 -4- x -4- to) ^ jf——
lido; e< a"„-{- a?) jLi L n e ’
on cn deduit immediatement la determination de A w . Nous avons,
en ellel,
'),KA,J= j' F (crn-{-O') cIt,
et, par consequent.
sin i to -+- >./it K')
■>. Iv
La co ns lan to jo q que j’ai inlroduilc pour plus de genera life, et
aussi pour eviler qu’un pole de F (a?) se trouve sur le contour
d’integration, pent mainlenant sans difficult^ elre snpposee nulle.
Nous parvenons ainsi a unc premiere for mule de devcloppement,
i It n x
7 . K II'( o) 0(a? -+■ to;
7r i-pw)0faf)
uK')
donllcs Irois an Ires rdsullenl, comrae on vale voir. Qu’oq change,
en ellel, co en w z’K/, on en conclura d’abord
yJK. I-r(o)IIQ+o.
r. 0 (to) 0 (.r)
-=2-
- [w -I- ( 2/1 -+- i)iK']
puis en multiplianl les deux membres par l’exponentiellc, et posaul
m= 2n-\- i,
sK I-F(o) I-I(a7 -4- w)
it 0(w)0(a?)
= 2 -
sin ^ (to -i- mi K')
reslaient a iron vet*:
■>.K JI'(o) Qi(x: -
Hi(io)0(a?)
!i) = V
cos (oj -+- <j.niK.')
2 K IP ( o) H i (x h- to j
it 0 1 (to)0(a?)
=y
Voici a leur sujet quelques remarques.
IX.
Elies sont d’une forme diHeronie dc celles de Jacobi el l’on
s’ensenir ulilement dans beaucoup dc questions quc je ne
aborder en ce moment. Je me contcnlerai, sans en fairc l’el
d’indiquer succinctemenL comment on en tire lcs sommcs
series suivantes
iTXn.v ircm.y
Zf(mi\\!)e ,v , ^Lf(miK')e 2K ,
oil f(z) estune fonclion rationnelle de sin ^ el cos ~r, sans p
enliere et assujettie a la condition f(z + ?.K) = —./(-)• ^ Sl
en diet, d’employer la decomposition de celle fonction en elen
simples, c’esl-a-dirc en termes lels que IJ,'--->
-sin i
oblenir immediatement la vaJeur des series proposees, au move
ces deux expressions
VD« f - 1 1 r^-p** K
SD* r_ l _1 /"TiT- n« 2^ II'(o) HQ-t- to)
J’ajouterai encore cu’on retrouve les rdsultats de Jacobi s
el tie signes contraires. II vient ainsi, en ellet, en designant par m
un nombrc cju'on fera succcssiveinent pair cl impair,
-x in — iK’ .
rr- cos-T7— sin —
k •>. k a 1\
r K') sin — /?i£K') sin to -+- iniK') sin (to — mi K' j
. m - :>■ . mm K -to
’• sm —sm-p—■ cos —p
•>. k K ■). k
employons ensuitc lcs equations clu paragraplic 3o dcs Funda¬
mental cpii (lonnenl
miziK' \-*-q m
iK
cL nous parviendrons a ccLLe nouvellc forn
i vV"<>-i- q w ) si» ^
e 2,v e. a,v ' v 1 1 J ■). K /HTt.r
---1--- = -—-cos-^-
sin —p Co) -+- tnili') sin-^r(to— mi K') i — •>. q‘ n cos -+- (] %m
4vV"0 — 7 '") cos
i — : xq» L cos -p- H- cf>
aK . m 7r.r
~ nr'
C’esl cede qu’on voil dans la leltre adress<5e ^ I’Academie des
Sciences et publide dans les Comptes rendus du 3o jaillet 1849 ;
car, en inlroduisanl Ja constante b= on peul <5crire
™ _ g i -g
TCO)
t— 1 q ni cos -j£-
Mais une faute d'impression, reproduitc dans les OEuvres co
plates , L II, p. i 43 , et dans le Journal de Crelle , t. XXXI
p. 297, s’est glissee dans ces forinules. Les equations ( 3 ), ( 4 )j(
(G) renfevment en effel les quanlites
/g r3 (i -+- q*), ... et 1/9(1 — <7), v/^ 3 ( r —
qui doivenL etre remplacees par
y/g(l -f- 9 ), 1/^(1-+- 9 s ), ... et \/q(l — q), V /q*(l — q*),
On pent d’ailleurs parvenir par d’autres methodes a ces resal
importants. M. SomolFles obLienl en decomposant la quanlite
— q vz) (x — q*vz) (1— q 5 v z). ■ .(1 — q v~ l z (1 — 9 3 < ) ~ 1 J 1 ) ( » — 9 il( ’
(5 — i)(r — 9 ^;(i — 9 ^)...(i — 9 2 —*)(i — ? 4 -s" 0 - • ■
en fractions simples
J±. + Y—+Y .
3—[ jLdl — q' im z jLdz — q-'"
Le P. Joubert m’a communique la remarque qu’on peut, en
vant la meme marcbe, partir de ces expressions finies
— 9 1 -l>){z~q*-i>)...(z — (r - q^bz) (1 — q*+ b z). . .(1 —
(5 “ 5 r J ( 5 _ 5 ra)...( a _ S ,l«-rl ) ( l _ 73 )(l — 9 ^)...(l- < 7 2/i - 1 -'-)
(z — 9^ ) U — ..(z — q* ,l ~ /j ){l — q i+l ‘z) (\ — q ! ^ b z). . .(i — 9-
U — 9M- — 9'0 - • •(- - 9 i,l_hl ) (1 — qs) 11 — 9 3 -)- • -(I — 9 * n+l z
et faire grandir indefiniment le nombre /? .
Enlin, et en dernier lieu, je remarque qu’au moyen de la
mule
qui a etd le point de depart de mon proc^dd, nous pouvons
simplement ddmontrer les relations dtablies au paragraphe
1 Q(x-\-a) &(x -t- b)
0 *(a?) 1
3 (a?-t- a)H(cc -+- b)
Fr (x) = o, et dans Ja seconde, deax racines de I’dquation
= Si l’on prend, en efifet, successivement
Q(x -t- a) Q(x 4- b)
I(af) = -6^j-
F/-N- H(a? + a) H(a? + &)
k ; . W{x) ’
on aura p. = i et p/ di Arrant de F unite, sauf la supposition que
nous excluons de b = — a. On obtient d’ailleurs, dans le premier
cas,
__ H(«)ir(6)H-II(£)ir(a) j —-
b -_____- v'H,
et, dans le second,
S =
&(a) &'(b) 4 - 6(6) Q'(a)
11'* (o)
vV>
de sorte que, sous les conditions aclmises, lcs deux valeurs de S
s’evanouissent. Cela dtant, nous pouvons, dans la relation ainsi
demonutee,
F(a? u -t- x) dx — o,
supposer x 0 — o) car Fining-rale est une fonclion conlinue
de x 0 , non seulement dans le voisinage de cetle valeur particuliere,
mais dans Fintervalle des deux parallcles d l’axe des abscisses,
mendes 4 la m^me distance K' au-dcssus et au-dessous de cet axe.
X.
Dans la llteorie de la rotation d’un corps autour d’un point fixe
O, le mouvement d’un point quelconque du solide se determine
en rapporLant ce point aux axes principaux d’inertie Ox', Oy', Oz
immobiles dans le corps, mais entrahtes par lui, et dont on donne
la position a an instant quelconque par rapport k des axes fixes
Ox, Oy, Oz, le plan des xy dtant le plan invariable etl’axe Os la
perpendiculaire de ce plan. Soient done x, y, z les coordomtees
d’un noint u c ns nar r nnor a ix xes fixe . et m. X les e.oor-
x — a b 7]-f-c
y — «' % ■+■ b> r k 4- c' C,
z = a"; -t- 6 'y] -+• c"£,
et la question consiste a obtenir en fonction du temps les ne
coefficients a, 6, c, .... Jacobi le premier en a donnd une solulit
complete et definitive, qui oflre l’une des plus belles applieatio
de calcul a la Mecanique et ouvre en raeine temps des voies no
velles dans la tbeorie des fonctions elliptiques. C’est a l’etude d
resultats si importants ddcouverts par fimmortel geometre que
dois les recherches exposees dans ce travail, et tout d’abord l’inl
gration de liquation de Lamd, dans le cas dont je viens de m’c
cuper, ou l’on suppose n= 1 ; on va voir en effet comment
tbeorie de la rotation, lorsqu’il n’j a point de force acceleratrii
se trouve etroitement liee a cette Equation.
Pour cela je partirai des relations suivantes, donnees dans
Tome II du Traite de Mecanique de Poisson, page 1 35 :
da ,
Tt = *'■-»?■
db
di= Cp ~ ar '
dc
dt
aq — bp.
dd
dt
cW_
dt
b 1 r — c q,
c’ p — a! /’,
dc'
dt
- a! q — &'/>,
== b" r — c" g,
db"
—- = c p — a r,
dc"
—— — a q -
dans lesquelles p, q, r sont les composantcs rectangulaires di
vitesse de rotation, par rapport aux mobiles OxOf 1 , Qz 1 . (
etant, des conditions connues
p = za\ q = $b", r = '(c",
ou a, ( 3 , v sont des constantes, on tire immddiatement les ec
tions
da" "n \ i it it db" , „ „
- 3r =(Y-P)4c, 7 = (.-r)««,
dc"
= ((} — a )a" L
dt 1; “ ’ dt
dont une premiere integrale algebrique est donnee par l’egali
a a" 2 -+- p6"2-t-Y c " 2 = 8,
8 dtant une constante arbitraire. Ces qualities a, [3, y, o soatli^es
aux conslantes A, B, C, A, l du Mdmoire de Jacobi par les rela¬
tions
elles sont done du signe de l qui petit £tre positif on ndgatif, comme
reprdsentant le moment d’impulsion dans le plan invariable. Dans
ces deux cas, [3 sera compris entre a eL y, puisqu’on suppose B
compris entre A et C ; mais j’admettrai, pour fixer les iddes, que L
soit positif. On voit de plus que, 8 dtant unemoyenne entre a, [3, y,
peut £tre plus grand ou plus petit que [3 : la premiere liypoth&se
donne BA >•/-’, et Jacobi suppose alors A >> B >> C ; dans la
seconde, on a BA< l 2 , avec A <;B<^C; ces conditionsprendront,
avec nos constantes, la forme suivante :
(I) «<P<8<y,
(II) a > p > S > y,
et nous allons immddiatemenl en faire usage en recherchant les
expressions des coefficients 6", c", par des fonctions ellip-
tiques du temps.
XL
J’observe, en premier lieu, qu’on obtient, si l’on exprime a" et
c" au moyen de A", les valeurs
(Y — a) a" 2 = y — 8 — ( y — P) b"\ ( Y - *) c" 2 = 8 — a — ((J — a) 6" 2 .
Posons maintenant
a
b" 2 = 1 - i U 2 , c" 2 = --- W 2 ,
Y-P y — a
(p —a)(Y— 8) .
puis
y ~ 5 v 2
Y —a ’
W 2 = I — A-’-U 0 -.
il viendra plus simplement
V*=i-U*,
Jntroduisons, en oulre, la quantile n- = (o — a) (y— [3) ; l’et
tion (a — y) c"a" prend cetLe forme :
^ = »YW,
dt ’
et l’on en conclut, en designant par t 0 une constante arbitrairi
U = sn[n(£— t 0 ), A-], Y=cn[/?(f — <f 0 ), A], W = dn[/i(Z — 4 )
J’ajoute que les quantites ^—Y, — \ ' a ' ’ ( ^ — a ) ( Y ~
sont toutes positives et que k- est positif et moindrc que l’ur
sous les conditions (1) et (II). A l’dgard du module il suffiL en
de remarquer que l’identite
(S —a)( T —[3) = (y —a)(o —P) + ((3 —a; (y —5)
do line
(y —g)(S —(3)
(8 — a)(y — p)’
de sorte que k 2 et k' 2 , etant evidemment positifs, sont par
m&me tous deux inferieurs a 1’unitA Ce point etabli, designon:
e, £ r , t" des facteurs ^gaux a ± i ; en convenant de prendre d
navant les racines carries avec le signe -f-, nous pourrons ecri
•V?3
etla substitution dans les Equations
- =(y-P)^ c ",
db" „ do" a „
-^. = («-y )c«', . — =
donnera les conclusions suivantes. Admettons d’abord les cc
tions (I): les trois differences (3 — y, a — y, a — (3 seront n^gat
et Ton trouvera
ainsi, en faisant, avec Jacobi, e =— i, z' =-f- i', on voit qu’il
faadra prendre e" = + i dans le premier cas et la valeur contraire
s!' = — i dans ie second. Cela pose, el en convenanl loujours que
Jes racines carrecs soient positives, je dis qu’on peut determiner
un argument to par les deux conditions
cn co =
d’ou nous lirons
ces quantities satisfont en eflet a la relation
cln* to — Idcn* to = *' 2 ,
comme on le vdribe aisthnenl. Je remarque, en outre, que cnco et
dnco <5tant des fonclions paires, on peut encore a volontd disposer
du signe de co. Or, a J ant nous fixerons ce signe de
inaniere que, suivantlesconditions(1)ou(II), , qui est unefonc-
tion impaire, soil dgal a -f- ^ ou k — - --- - -• Nous dviterons,
en ddfinissant la constante to comme on vient de le faire, les dou¬
bles signes qui figurent dans les relations de Jacobi; ainsi, 4 Fugard
de a", b", c", on aura, dans tous les cas, les formules suivantes, ou
je fais pour abr^ger u = n(t — t 6 ):
,, cn u dniosnit „ sn aid nit
a — -, b— - 1 c ——:--
cnco * cnto i cnto
Enfin il est facile de voir que co = i u, u ^tant r^el; de la formule
cn(iu. k) —- 1 ■■■ ;, on conclut, en eflfet, cn(u, k’) — {/% -,
v ’ 1 cn (o, /c ) ’ 3 \ j / y y — a
valeur qui est dans les deux cas non seulement r^elle, mais
J’aborde maintenant la determination des six coefficients «,
c, a', b' y c' en introduisant les quantites
A — a-+- ia\ B — b -+■ ib', C = c -+- ic',
et partant des relations suivantes:
Act" Tib "—|— G c" o,
i A — B c "■+■ C b" = o,
qu’il est facile de demontrer. La premiere est une suite des eg
lites
act!'bb" - 1- cc"= o, a'a"- 4- b' b"c'c" — o,
et la seconde resulte de celles-ci :
a — b'c" — c'b", a’= b" c — c"b, a"=bc' — c.b
Qu’on prenne, en efTet, les valeurs de a et a 1 , on en deduira
a - 4 - ia’~ ( b ' — ib)c" — b"(d — ic),
ce qui revient bien ala relation ^nonc^e. Cela pose, je fais use
des equations de Poisson rappel^es plus haut, et qui donnent
DfA=Br — G q, D*B = C/> — Ar, D*C = Ar/— B p,
puis, en remplagant /?, < 7 , r par a a", (3#", yc\
D,A = Bc'y — C&"(3, D,B = Ca"a —Ac"y, B t G = Ab"$ — Tic
Mettons maintenant dans la premiere les expressions de B e
en A, qu’on tire de nos deux relations, a savoir
B =
a" b "— ic"
ad 1 — 1
A,
C =
a"c"-+- ib"
a " 2 — 1
A;
on obtiendra ais&ment
D,A _ ( T — $) a!'b"c—i(' { b"*)
A a"2— 1
ou bien encore
DfA _ o" - D t a"-+- i(aa" i —8)
veau calcul,
D ? B _ b"D t b"-+- —8)
__ _ _____ ,
Df C _ c"D* c”-+- i( y r ." 2 — 8)
__ _ c "2 __ !
Ces formules seront plus simples si l’on fait
A = a e iC2t , B = b G = c e l Y c ;
car il vient ainsi
D; a _ a"D* i(% — o)
a — a " 2 —i ’
D,b b"X) t b tt ->r tfP — o)
b “ b"*—i
D,c c"D, c" 4 - i(y — 8)
c c " 2 — i
Cela etant, j’envisage la premiere, et pour un instant je pose
a"- — i = a 2 , ce qui clonnera
D/ a _ « D* a -4- i ( a — o) _ D* n .a — 8
a — a 2 """n ft 1
On en conclut ensuite, en difl^rentiant,
a \ a / ii \ ii / n 3
puis encore, par l’dlimination de
D?a _ Dfft (a — 8 )\
a ~ ft ft* 3
mais, comme consequence de liquation differentielle,
(D ( a“> ! =(-f — P)’*“ie">= tS—P — (a —[ Y -S-(f -«)»'*],
on a la suivante :
— — (o — a) 2 — (8— a) (P -+- y — 2 a)(i + n 5 ) — ([3 — a) (y — a) (n 2 +a*).
Or on en lire, en differenliant et divisant ensuile les deux mem-
bres par 2 aD,it,
Dpt (5 — a)*
a a 1
= ~ [( s — a ) (P -+■ 7 — 2a ) -+- (P — a ) (Y ~ a )l — 2 ( h 1 — a ) (Y “ *)“*•
Nous avons done, apres avoir remplace a 2 par a"- — j ,
D 2 a
= (P — «) (7 — 3) —- (o — a) (y — a) — 2 (|3 — h) (y — a)a" 2 ;
e’est le r^sultat que j’avais en vue d’obtenir.
Deux voies s’ouvrent maintenant pour parvenir aux expressions
de A, B, C; voici d’abord la plus el^menlaire. Revenanl aux for-
mules
B= a T-' C ' A, C = — A,
a - — i a - — i
je remplace a", b" : c" par les valeurs obtenues au paragraphe XI,
page 2 9 3: .
et, au moyen des relations relatives a l’addition des arguments,
j’obtiens ces rdsullats :
a"b" — ic" _ sniteniidruo + sn to ento dn u __ cn (u — to)
' sn 2 &—sn 2 w — sn(« — to)
o"c"ib" _ enu dmo -+- snui cn u cln u i
<*" 2 —i i( sn 2 it — sn 2 .to) t sn ( a — to ) ’
de sorte que nous pouvons ^crire
p - cn(q — q») A = A
sn(a —to) ’ £sn(£t —to)
D t a __ a"'D t a"-\- c'(g — o ) __ (y—$)a" b" c“ -4- t'( a — S)
a a"- — i ' a " 2 — i
et je fais le meme calcul, apres avoir remplace -y — (3 et a — S par
les valeurs suivantes :
. onto ^ sn <u dn to
7 — p = m -> a — o — in -,
1 snco Unto onto
qu’on Lire facilemeut des equations posees page 29.3 :
cl “" = \/:pr|’ dn “ = tAErjr sn “ = 1 '\/-7^
et de a = \J ( 8 — a) (y — ( 3 ). L’expression a laquelle nous parve-
nons aiiisi,
D* a sn n cn u dn it -4- sn to cn co dn co
a sn 2 u— sn 2 co
nous oflre une fonction doublement periodique, dont les periodes
sont 2K, 2zR3, eL qui a deux p6les, u = co, u = «K/. Les r^sidus
correspondant a ces poles dtant H- 1 et — i, la decomposition cn
elements simples donne immediatement
sn u cn a dn u -+- snto cn co dn co _ TI'( 11 — to) 0'(ct) ^
sn 2 tt— sri 2 to II (u — co ) 0(u)
et la constante se determine en faisant, par exemple, 11 — o ; on
obtient de celte maniere
p_ H'(co) cncodnto 0'(co)
II (co ) sn to ' , 0 (to )
Nous pouvons done ecrire, apr£s avoir pris pour variable
u = n(t —£ 0 ),
D„, a H'(u— co) 6’(u) 0'(to)
a ~ H(tt —to) d(u) 0(co). ’
et, si l’on designe par Ne iV une nouvelle constante 4 laquelle nous
donnons cette forme, parce qu’elle doit £tre, en general, supposee
lmaginaire, on aura
H(m —
29 8 OEUVRES DE CHARLES HURMITE.
De cette formule resulte ensuite
A = N
Hf u— (
0(u)
.[S
ou plus simplement, en mettant v — ol£ q au lieu de v,
A = Ne<v - i u ~Z M } e [~ +
0 («)
et l’on en conclut immediatement
B =
C =
c n (n — to)
sn (u — to)
i sn(t£ — to)
A = i/JP N e*
A = ^N e' v
H, (« — to
6(u)
r/« . 6 '<o>n ,
2 e L©iw) J' 5
0 (u — to )
i 0 ( u )
•/a 0'(to) 1 u
" ©(«>) J“_
Des deux indetermindes Netv quifigurent dans ces expression
derniere seule subsistera comme quantity arbitraire; N, qu:
rdel et positif, se determine comme nous allons le montrer.
XIV.
Je fais a cet effet, pour plus de simplicity, dans les express
precedentes,
ia. 0'(to) ..
X + efe =tX '
en observant que cette quantity \ est reelle, car on a to =
que nous l’avons fait voir (p. 293). Gela etant, nous pouvons e
V «00
B = v ^N e . (M -“)‘ ! '' X “ H:Vl
0(M)
sn(t£— to),
on (u — to),
A«"-bB£"+Cc"= - u) e '0*-”i
cnto 0(a)
Or on a
X[—onasn(a —io)-t- dnwsnacn(a— to)— snio dna].
cn a sn (a — w) — dn at sn a cn (a — to) -+- snto dn it — o,
cette Equation £tant l’une des relations fondamentales pour l’ad-
dition des arguments [Ja.cobi, OEuvres completes , t. II, p. 320 ,
Equation ( 16)], et nous obtenons ainsi
aa”-\- bb "-+- cc"= o, a'a"- h b'b"-±- c' c" = o.
,le remarque ensuite que la somme des carr^s A 2 B 2 G 2 s’eva-
nouit comme contenant en facteur sn 2 (z^—co)H-cn 2 (a — to)—i,
et nous en concluons
a 2 -\- b 2-i- c 2 = a' 2 -b b' 2 -+- c' 2 -
aa' ■+■ bb' -+- cc' =-. o.
Ayant d’ailleurs
a!' 1 -+- b” 2 d' 2 =
cn a \ 2
cn a) /
i — sn 2 a
cn 2 w
^dnwsnaN 2 /snwdna\ 2
^ cnio j \ cnu /
(i — /c 2 sn 2 co)sn 2 a (i— /r 2 sn 2 a) sn 2 co
cn 2 w cn 2 oj
les six relations que nous avons en vue serontcompletement v^rifi^es
dfes queN sera d^termini de manure a obtenir cv 6 2 + c 2 = i (’).
( 1 ) Les Equations
fA=Bc" — Cb", iB=Ca“~Ac", iC — Ab" —B a",
dont la premiere a dt<5 employee pr^cddemment, page 294, et qui contiennent les
suivantes ;
a=b'c" — c'b", b—c'd' — a'c”, c=d¥ — b'd',
a' — b" c — c"b, b' = c"a — d'c, c' = a”b— ¥ a,
se vdrifient aussi de la mani&re la plus facile. Les relations auxquelles el les
conduisent, <1 savoir :
cnu = cn acn'( u — w) 4- dn to sn u sn ( u — 0),
cn« = cnwcn(u-u) — dnasnasn(a — 0 ),
dnwsna = cnwsn(a — w) 4- snwdn a cn (a — w),
OEUVRES DE CHARLES I1ERMITE.
3oq
Formons pour cela lescarres des modules de A, B, G; en reniar-
quant que, par le changement de i en — i, to se change en — to, on
tronve immediateinent
a , + Wc N- gj“.±."0 e j « -J.O sn („ + M ) an ( « - M ),
0 2 (ii) V 1 K '
6 2 -4- b ,s> - — k N - —cn(?< -+- to) cn(u — to),
« s («)
' c«+c'»=W e( ‘ t ^° l>9(! ‘- M ' ) ;
0 2 <» '
d’ou, en ajoutant membre a membre,
■2 — ——[sn(u +to) sn (ti — to)-f-cn (u -+- to)cn (i< — to) -+- i].
Formons enfm les trois produits
(b — ib') (e-b ic'), (c— ic')(a-h ia'), (a— ia')(b-h ib '):
nous trouverons
( b — ib') (c -+- ic') = -
0 ( o) FI i ( o) H i ( u
io)8(»
ni(«)0 ! (“)
( c — ir.')( n u- in' ) — — e,(o)H,(o)0(.u+. l QH(u-o i )
ni;(to) 0 '-’(tt)
(a — in r ')(h+ fh')~ 0 f o )Q|(o)H(» + o))Il,(t< —(o)
H U«)8 5 («)
or les relations eldmenLaires
8 (o) 11 ,( 0 ) 11 , (k + u) 0 (u — w) =-Fl(w) 0,( u ) II (u) 0 , (u)-F-H,(w) 0 («) ©(«)!!,(«),
0 , (o) H, (o) 0 (u-t-u) FI (u — u ) =-H(u) 0 («)H, («) ©, (u) + H,(u) 0 ,(to) 0(ii) II(«),
0 (o) e i (o)H(if 4 -w)H,(tt-w)=: (u) PI, (u) + II (to) H,(u) Q(u) 0,(k)
conduisent facilement h ces tlgalilds -
(b~ ib')(c -h ic') = ~ b"c"-h ia",
(c — ic' )(a -+- ia') = — c"a!'- 1 - ib ",
( a — ia ’) (6 •+. ib' )= —a" b" -+- ic ";
sn (u -f- to)'sn(it — to) ==
sn 2 u — sn 2 to
i — k' 2 sn 2 i£ sn 2 to ’
cn (u -+- to) cn (a — to)
donnenL
cn ' 2 u -i- cn 2 to
i — k 2 sn 2 u sn 2 to ’
sn(u ■+■ (o) sn(u — to) -h cn(u -h cv) cn(u — w)
on a d’ailleurs
a cn 2 to _
t — k’ 2 sn 2 u sn 2 to 5
0 2 (o') e(MH-co)6(M — to)
0 2 («) 0 2 (tO)
= i — k' 2 sn 2 u sn 2 to ;
nous obtenons done
i = /cN 2
0 2 (to) cn 2 to
> J (°)
et par consequent, a pres une reduction facile,
, e,(o)
ii^to)
On ea conclut les resultals de Jacobi, que nous gardons sous la
forme suivanle:
a -+- ia' =
b —|— ib' =
0 1 ( o) II ( u. — to ) eMw-i-v)
H I (to) 0 («) "
© (o) Hit u — to) eMw+v)
Hi(to)0(«j
c -+- ic'
H i (o) 0 ( u — to) ert'-w-t-v)
i li , (to ) 0 ( u)
et il ire nous resle plus qu '4 y joindre les expressions des vitesses
de rotation autour des axes fixes O#, O/, O z.
Ces quantity, que je ddsignerai par v 1 , v", ont pour valeurs
v=ap-hbq-\-cr,
v' = a p -4 -b' q c' r,
' . v" = o."p h- b"q -+- c"/’,
ou encore, en remplaQantjp, q, par a a", j lb", yc",'
v = aa "a 4- bb" (3 -+- c c"y,
v’ = a'a!'«. ■+■ b’b"$ -+- e'e"^, ' .
V = Aa"a B 6" (3 -b C c"y,
et, si nous employons de nouveau les dgalitds
a" 2 -
on obtiendra la formule
C =
a" c" -+-
Or, au moyen des relations
T — P = * /l “
et des valeurs de a! 1 , 6", c", il vient
(o — a)a"-h i(y —3 )b"c” . sn io cn u dn w -+- sn u cn w dn u
-——!-E--= — in -r- 5 -
a- — i sn 2 «.— sn 2 u>
_ . dn(u — to)'
sn(u — to)’
l’expression precedentede A nous donne done immedialemenl
H| (w) Q(u)
Voici maintenant la seconde m^thode que j’ai annoncee pour
parvenir a la determination des quantit^s A, B, C.
XV.
Je reprends liquation differentielle du second ordre, obtenue
au paragraphe XII, page 296, a savoir :
B?a = [(P —a) (y — 8) — (8_«) (y —a) — a(p — «) (y — a)a" 2 ]a,
etj’y joins les deux suivantes, qui s’en tirent par un changemenl
de lettres
Dfb = [(Y-P)(a-S)-(8-p)(a-P)-2( T -P)(a-p)A' 2 ]b,
TMn—rv*_^ fft __ ~.\/n „\ / a .. .A
/o
et de ces formules qu’on dtablit sans peine,
dn to ’
sn to dn to
cn to ’
cn to dn to
3-8= *
r — p = in
y — o = in -
cn to dn to
cn to
sn to dn to
dn to
nous obtenons, par un calcul facile,
(£ — «)(y — o) — (o — «)(y — a) — a(p — a)(y — a)a" 2 =/t 2 [ 2/.' 2 sn 2 «— i—/c 2 -*-/: 2 sn 2 toJ,
(Y—i3)(«-o) —( 8 —i3)(a — j3) — 2(7 —j3)(a —P) 6 " 2 =« 2 ^iA- 2 sn 2 M —i —/f 2 -+-A- 2 ^l ]
(« — Y)(p — S )—( S — Y)(P — Y) — a (“—Y)(p —T) 0^*= «a[a/.-SsnaM — l —
Prenantdonc pour variable Inddpendanie a au lieu de t, on aura
D 2 a = [a/e 2 sn 2 u — i — k* + 4 ' 2 sn 2 to J a,
D 2 b = [a/c 2 sn 2 it — i — /e 2 -+- /c 2 ] h »
D, 2 t c = |~2 /c 2 sn 2 tt — i — k 2 -i- —7-" 1 c )
el nous nous trouvons, par consequent, amends & trois des quatre
formes canoniques de liquation de Lamd, qui onl did considdrdes
au paragraphs YI, page 280. La solution gdndrale de ces equations
nous donne done, en ddsignant les constantes arbitraires par P,
Q,R, F, Q',R',
fl'((01 t _ (^'IWI "
II (u — to)e fc),a)) D/ II (it-4-to) e ^ l <oi
a = ? - eW) - H_P -e(IT3-*
QpMi w _ flirwi u
H|( tt — to) " o> II,( /t -4-to) e ^,1(0,
^ <d{u.) v tH«J
ll'itol _ H'((OI
r p 0(tt— to) e Uia,) 0 (tt H- to) (3 “ IUJ)
c __r --- + R-e(S)-'
... an ueu ae i\e u », ...
A = P
B = Q
II (u — w') Tf ■
000 e
H,( K -,o) \‘l
0(u)
t)((D) J
Q'lio)) '
fc)i(d>).
r i a Q'KQi n
, p, H (tt-T-to) fc),.COlJ"
0 («)
fi-p ©Vtoil
, O' + iT-^ianr
+ 4 »(«)
G =
R
0 (M — to)
0(«;
'■y ir«0il n/ . p‘Y lrccoi - !
T^nTSyJ" , P' 0 ,1 T~hI5)J h
La determination des six conslanles qui entrent dans ces expres¬
sions se fait tres facilement, comme on va le voir.
Je remarque, en premier lieu, que nous pouvons poser
ia e'(to) _ 1 0 ', ( to ) _ LJ_ H'(to) _ ^
ii ‘ 0(w) n " r " 0 1 (w) • n H (to) ’
\ designant la quantite deja consideree au paragraphe XIV,
page 298. On a, en effet,
0j(to)
0, (w j
H'(co)
H(to)
©'(to)
B (to)
e»
0(co)
= D w log tin tu = -
= D w log snw =
k- sn co cn to
dn to
cn to dn w
snw
etles egalites precddentes sont veriliees au moyen des relations
a — =
Y —a
. cn to dn to
in -5
sn to
que nous avons donndes plus haut. Une consequence imporlanle
decoule de la : c’est qu’en changeant u enu-\-/\¥s., les fono-
. H (u — w)e'A» H,(a— u))e^ iu 6(u — (si)e l ^ u , • ,
tions -——--, —-, ——- se reproduisent
0(a) 0(a) 0(a) r
multipliees par le m6me facteur e'"^ K , tandis que lcs quantiles
II(tf h- to) \ w yiw,]'
0(a)
H i(m +
0(a)
r«‘P Q',non
„ , [i'l Il'itol
0(a -+- to ) J n „ ((0(
0(a)
sont affect^es des facteurs
O l-a*
j des fonctious doublement periodiques, ne changeant point
quand on met u H- \ K. au lieu de u\ il faut done que les facleurs
qui multiplient A, B, C, lorsqu’on remplace u par u + 4 ^, soient
les memes, ce qui exige qu’on fasse P' = o, Q / = o, IV = o. Ce
point etabli, j’ecris, en modifiant convenablemenl la forme dcs
constanLes P, (J, II,
0 (u — to) eA u
A = ' -«cTTj- ,n( “““ ) ’
(-) ( il, _til 1
l! = Q —— cn( “~ 1 ' ,)i
C = p &("■ — m ) r ilu
V(u)
et j’emploie la condition Aa ,, H-B6 ,/ H-Cc v =o, qui conduit a l’ega-
lite
— P cn u. sn (11 — to) ~t~ Q dnto sn a cn(u — to) — til sn ro dn u = o.
Or, en faisant 11 = 0 et u — m, on en deduit
P = Q = til;
de sorte qu’on pent poser
P = sfk N Q = fk N e‘\ 11 = ,
ce qui nous donne les expressions de A, 13 , C obtenues au para¬
graphs XIV, page 298. Le calcul s’ach£ve done en determinant,
ainsi qu’on l’a fait plus Uaut, la valeur du facteur N.
XVI.
Les formules que nous venons d’etablir ontetd le sujet des Lra-
vaux de plusieurs gdometres; M. SonioIF en a donnd une demons¬
tration dans un Mdmoire du Journal de CrelLe (*), peu diflerente
de celle de Jacobi, et qui repose aussi sur l’emploi des trois angles
( l )Demonstration des formules de M. Jacobi relatives ala theorie de
serie 2 e , t. Ill, p. 33 ), a employe le premier les Equations
rentielles de Poisson et les quantiles a -t- iab ib\ c + ic
j’ai fait usage, mais son analyse est entierement diffdrente
mienne. C’est a un autre point de vue que s’est place M.
lini (*) en d^duisant pour la premiere fois les consequence
lytiques de la belle theorie de Poinsot, que son auteur ni per
n’avait encore donnees d’unc mani&re aussi approfondie. Je
tionnerai enfin deux r^cents Mdmoires de M. Siacci, profes
l’Universite de Turin, et dontl’auteur a bien voulu, dans la
survante, m’indiquer les points les plus essentiels:
« Turin, 2/j decembrc 1877.
» Poinsot, a la fin de son Memo ire sur la rotation des
demontre que la section diamdtrale de Pellipsoi'de central,
minde par le plan parallele au couple d'impulsion, a son air<
tante. Ce theoreme a 616 le point de depart d’un Memo
dont les rdsultats se rattachent a la theorie des fonctions ellip
aussi bien qu’a la theorie de la rotation. Je me suis d’abor
pose le probleme de determiner le mouvement des axes d
section : pour abreger, je l’appellerai section invariable ,
plan, plan invariable. Une premiere solution du proble;
sugg^ree par Phomothilie de la section invariable avec l’i
trice de Dupin, relative a l’extrdmite de l’axe inslanlane (
La rotation d’un systeme de trois axes rectangulaires, dont 1
miers coincident avec les axes de la section, n’est que laresi
de deux rotations, Pune due au mouvement du pole sur la p
l’autre due au mouvement de Pellipsoide. Soient, sur ces a>
P 2 j Pales composantes de la premiere vitesse angulaire; 11
m z celies de la seconde. La r^sultante se composera de P t
P 2 m. 2 , P 3 m 3 ; et, comme le pole reste sur un plan, c
(1) Pi-t- m,= o, P a -)-/n2 = o, P3 r+-m 3 = dty : dt,
C 1 ) Determinazione analitica della rotazione dei corpi liberi se
concette del signor Poinsot (Memorie dell‘Accademia delle Science del
to di Bologna , vol. X).
(’) Memorie della Societa italiana delle Scienze, 3° scrie, t. III.
SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTLONS ELLIPTIQUES. 807
<p etant la longitude d’an des axes de la section. Soienty/Xtj, \Jci 2 ,
y/ a.3 les demi-axes de l’ellipsoide (le troisieme est celui qui ne se
couche jamais sur le plan invariable); a? t , x 3 les coordonnees
du p 61 c; X,, X 2 , X 3 (X 3 = o, X|, X 2 sonL les demi-axes carr^s de la
section) les racines de liquation
(X)^-
On aura
, ( a \ — X,.) («2 — X,.) (<7,3— X,.i T , lt m s ms> [d\ s , c/X.,<\
,Hf = — ( x,— x,) ( x,—isO- +
(r, s , s' etant trois nombres de la s£rie i, 2, 3 ). Comme
X, X 2 = const. = c-, on a m 3 — const. C’est, en diet, la distance du
centre O au plan fixe de contact; de meme m X: m 2 sonLles distances
de 0 des plans tangents aux surfaces (X,) et (X 2 ). Au moyen de
ces valenrs, les equations (1), qui reviennent cn substance aux
Equations d’Euler, donnent t et en fonclion de x = X, + X 2 . En
posant t = nu (n expression connue), on obtient
(2)
( 3 ) *
u Id log su id
2 \ c/a
d log sn ix
dz
±^. [II(cc, c"a) -+- IT(it) it)],
u ' c/log It (ca) c/IogII(/x)" 1 . 0 (ic— /a) 0 (ic— it)
2 c/a dx ~~ 4 i °^ 0 (cc-l-/a) 0 (icH-ex)’
et l’on prendra le signe supdieur ou inferieur, suivant que m \} >
ou < a 2 .
Le module est
03(112 — a\)(d i — ccicc 2 )
ct 1 ( ccj — a 3 ) (ct-ciia-i)’
et <7 et 7 sont ainsi donnes
d(f
'-f.Tr-
■ /c’ i sin- o
“"(£)-
C ± O3
r d(?
J 0 \/i — A'* sin*'
V a 2
donne A, et A 2 . L’etucle de l’expression ( 3 ) ddmonlre que le 11
vement moyen des demi-axes de la section est donnd par le t(
inultiplie par u , et l’inegalite par l’aulre, lorsque cr << K/; lor;
cr^K/, le mouvement inoyen et l’indgalite sont donnds pa
memes Lermes en y cbangeant cr en cr— 2K'; et Foil Lrouve
dans le second cas, le inouveinent moyen coincide avec celu:
projections des demi-axes sfu~ x ci^, et dans le premier avec(
des projections de \/a s et de l'axe inslantand.
» On pent tirer < 1 / de l’expression de la longitude (p) d’une d
quelconque OR, dont Fexlrcmite a £0, £ 3 pour coordonti
Je trouve ainsi
arc tang
nuor\ g|
Cli — 1,
■To 1-1 Woar 3 ^ 3 \ . / )»! (
— An <3! 3 - J \ Cl [ - Aj. Cl 2- X[ C?g-
et je donne aussi l’expression developpee de (p). Comme c
sont fonctions arbitrages de u , on voit l’infinite de formes q
pent, donner a l’expression (2) de tl.
» En faisant coincidcr OR avec \/a^ \/ci. 2) \/a$ et avec i
inslantane, on ohtient leurs longitudes p 1( p 2 , pa, p- et I’on a
. , s . nu a r — A, m .<2
f 4) w = 'J -,-— arc tong-=— = a — arc tang — •
‘ ‘ n nii a,.~ Xn ‘ & m 1
» Ces quatre expressions de ^ contiennent les principaux t
remes sur la transformation et sur l’addition des paramelres
integrales elliptiques de troisieme esp6ce, mais sous tine ft
nouvelle, £1 cause des lermes circulates.
» Le mouvement des projections des axes clu corps et de l’axt
tantand a £te determine par Jacobi: leurs in^galitds sont don
au moyen d’une conslante a , qui se trouve lide avec nos quan
par l’dquation a- + t == 2a; mais aux expressions des mouven
moyens concourent les moments d’inertie du corps. Au moyei
quantitds cr et t, eiles acquierent, comme on a vu, une forme
c: ____ _ .1. 1.. _
«i _ snta tin ig cn w a 2 _ sniacmu nnta a 3 sn ib cn ib flrwa
c sn ib dn ib cn 7a c sn ib cn ia dn ia ’ c ~ sn 7a cuta (In ib ’
.rf _ cn 2 a sr\ _ dn 2 i6^ s .rr ( _ sn 2 76^ 2
«i c» 2 76 a 2 cn -ib ’ a 3 cn 2 77> ’
en changeant x \ : en m\x \ : «*, on change b en a.
» J’ajouterai aux resultaLs de moil Memoire le cosinus de direc¬
tion des axes de la section invariable par rapport a l’axe instantanc
et aux axes du corps; ils sont
nil
Y dn (u -+- in )*— X dn (u
s/mi+ml
2 7 y/XY d,
n ( ia) dn ( u
— ia)
Y dn (u.-\- ia) ■+■ X dn( u
— ia)
2 y/XTdl
i (u -+• ia) dn (u
— ia )
mice.
Y sn (u -+- in) -+- X sn (u -
- ia)
m 2 ,r | Y s
; n (u -+- ia) —
• X sn (u -
— 7a)
a, — X|
2 cn ia y/XYZ
a , — X 2 _H_ ~
2 i cn ia
y/XYZ
m,a ; 2 _
Y en(n-l- ia) + Xcn (u-
zifal,
;» 2 .r 2 _ Y<
:n («-1- 7a) —
-Xcn(a-
— 7a)
«o — X]
2 cn ia y/XYZ
iin — li "" 1 "
y. 7 cn ia
y/XYZ
mi ■r.i _
_ Y —X
Y-t-X
«3— X|
2 i cn ia y/XY Z
a-i — X 2 .j, cn ( a y/X.YZ
oil
X 2 = i — k i sn 2 ib sn 2 (u -
■H ia),
Y 2 = i — 7c 2 sn 2 ib sn 2 ( a — ia),
Z(.-
- k- sn 2 ia
sn 2 /() = i,
. n __j_ 2 sn 7 a sn 7 i
\J c \/ s 11 a i t — »n 2 «cr
Les doubles signes se rapportent aux cas de avec la con¬
vention que, suivant que a -)- b > ou <K', X, Y, ou bien
X sn(«— ici), Ysn(?«-f-tV*) imaginaires conjugu6s, aient leur
parLie r^elle positive. On tire ces expressions de ( 4 ). La substitu¬
tion directe des valeurs oc K , x 3 ; m { , m 2 ; ^|, donne des ex¬
pressions assez simples, mais tout a faitdiffdrentes, et leur cdmpa-
raison donne lieu & des formules remarquables. »
’Les r^sultals dont on vient de voir Vindication succincle sont
les premiers qui aient <Std ajoutes aux travaux de Jacobi dans la
tb^orie de la rotation; mais je dois signaler encore, en.raison de
l’int&^t que j’y attache, un point.non mentionnd dans ie r^sumd
Oy f , dont le premier soil constamment parallfele a la directioi
rayon, vecteur de Ferpoloide; M. Chelini a inLroduit, en suivai
methode de Poinsot, les angles des axes d : inertie avec les drc
Ox {J Oy, } Oz, et donne ce systeme de formules, ou t desigr
rayon vecteur de FerpoloYde
, ,, fa— o)a"
cos(x l x) =- ,
cos(/, x'} — ^—
$)b"c"
cos {z :
cos(a?,/) = ,
/ / ( a —
cos(y-,jr ) = -
y ) c" a",
cos (3
\/)
cos(a 7 ! 3 ') = —-
. „ (£-
eosCy^ ) = -c—
a ) a!' b”
COSf.3
.*')
C’est le passage des neuf cosinus de M. Chelini a ceux de Jac
qu’il dtait important d’eflfectuer pour completer la deduction
lylique de la theorie de Poinsot, alors mdme que, par cette i
on ne di\t peut-etre pas y arriver de la maniere la plus rapidi
renverrai, sur ce point essentiel, aux beaux Memoires de M. Si;
en me bornant a remarquer les relations suivantes, dans lesqu
V i = v — iv' ,
cos(a?! x') -+- i cos(yi x') — - AYi,
cos(a?]y) -+- i cos(yiy') = - BV h
cosfai s')H- icos(y 1 s') = - GVi,
et J J ajouterai quelques formules relatives a Ferpoloide.
XVII.
Si Fon met, au lieu de £, yj, dans les equations du ]
graphe X, page 290, les quantites suivantes :
l=pp* *) = ^p, ? = »’p,
°0i p, q, r sont les composantes de la vitesse et p une inddt(
nde, on aura> pour determiner la position de Faxe instantai
x ( a p -4— b 17 + C r)p = p p,
y = (a'p ■+■ b' q- f- c'r)p = p'p,
•s = («”/> -t- + c"r)p = p"p,
dontla derniere est simplement z= op. Or, Perpoloide dtant la
trace de cet axe mobile sur le plan tangent a Peliipsoi'de central,
* = 8, on voit qu’il suffit de faire p = 1 pour obtenir les coor-
donn^es de cette courbe, exprim^es en foncLion du temps, ou de
la variable a. Nous avons ainsi x — v,y — v'\ mais ce sont plutdt
les quantity x + iy et x — iy qu’il convient de consid^rer, et je
poserai en consequence
x 4 - iy = — i/i
x — iy — -1- in
Il'(o) 0 j (u — u>) g'&wH-v)
IJi(w) 0( u)
II' (o) 0 1 (u + o)) e-^wH-v)
= * (“),
ce qui permettra d’employer les conditions caracteristiques
<I J ( u -1- % K) = p. ( u ), <I> ( a -4- 2 i K') = — p' <I> ( «),
$l(ii+lK)=-$l(«), + 2iK') =-
pi p
ou i’ai fait
pi = p' = e K
Elies monlrent, en effet, que les produits (u),
D u <t>(u)D n <& { (u), et en general D"*(|>(m)D^<[>, (a), quels que
soient m et n, sont des fonctions doublement periodiques, ayant
2K. et afK/ pour p^riodes. En particulier, nous envisagerons l’ex-
pression
D,*4>(m)D,* *,(») = 37'*+/*,
puis les coefficients de i dans les suivanles
D (i <!>(«) <J>, ( a) = xx ! + yy' + i( xy' — yx' ),
D* <t> 0 ) = 37'37* + //'+ i(x'y"— yx”),
ces fonctions doublement periodiques donnant, par les formules
connues, les elements de l’arc, du secteur et le rayon de courbure.
312
OELVRKS UK CHARLES IIERM1TE.
elements simples, rappelee au commencement de ce travail (
p. ayo), et dont rapplication sera facile, 4 >(w) et 4 >, ( a) ayant [
p 61 e unique u = iK!. N’ayant ainsi a considerer qu’un seul
ment simple, il suffit d’avoir les ddveloppements suivan
|>uissances croissantes de e de <I>(t K' + e) et (i K/ 4- s) ; ils s
Liennent comme on va voir.
Je remarque d’abord que, au moyen de la fonction cp,(.r,
definie au paragraphe VI, page 280, on peut ecrire
iOu _ iSu
— Croi(u, —to) e n , <I> 1 (tt) = Ci t?i(a?, to) e n ,
C et C1, dcsignanl des constanles. C’est ce qu’on voit en joig
aux relations precedemment employees,
07 10 )
' 0(to) :
0',(to) _ i'i 11' C <i>)
0,(io ) ~~ n " T ~ 11 (to) ’
la suivante
U\(f
~ H.(o
qui resulle de la condition a — 0 = in Snt '^J - (§ XV, p. 3 o 3
la mettant sous la forme
ta 10
-— los en
n n
IljC03) __ 07to)
Hi (to) 0(to)
Cela posd, l’equation /cp ( (i/, to) = y (m, to -f- K -f- iK 1 ) me
qu’on a le d^veloppement de ©i («’K/s, to) en changeanl
plement to en to -t- K -f- jK' dans la fonnule de la page ay9 :
X.(tK'-f- e, to) — - — -Qs — -Q,s 2 — gQs5 s + . . .,
ct il vient ainsi, en nous bornant aux seuls termes necessaire
i ta, (i K/
/c' 2 ik- —i\ £ k’- snto (Into e a
on 2 to 3 / 2 cn^to 3
Ddsignons par S,, pour abr^ger, la sdrie du second raerabj
par S ce qu’elle devient lorsqu’on change i en — i, e’est-a-d
SUR QUELQUKS APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3 13
ou Ret R ( sonl deux nouvelles constantes, dont la signification se
montre d’elle-meme. 11 est clair, en effet, qne ces quantites sont.
Its residus des foncLions $(m) et <£,(«) pour = z'K', de sorle
qu’on trouve immidiatement les valeurs
R = — ne iw , R, = -4- e 2K ,
et par suite la relation RR, = — n Voici maintenant les applica¬
tions de nos fornniles.
XVIII.
Je pars des equations suivanLes
» e <I >(i K' + e) D, <I>, (i K' M- e) = _ n i ($‘' + S^S i — ~ S ^ ,
D, *( i K' + e) <I>, (i K' ■+■ e) = - n 2 (s' -+- ^ S j S,,
l)!4»(iK'H-e) Ds^CiK' + e) = —~ S'- ^ ^Si — — S,^),
et je me borne a la partie principale des developpements en fai—
sant, dans les deux dernieres, abstraction des termes r^els; le cal-
cnl donne pour rdsultals
_ F _ n 2 _ no _ _Q_
£2 e'*- ’ £2 * ne 2 ’
si I’on <*crit, pour abr^ger,
P
Q =
71 * A'* rt*( 4 /•*—!)
—;-1-i— -' + S’-,
cn 2 co j
an a /c' 2 sn to dn to
i cn 8 to
3§n2/-'2
CII 2 tO
-t-8/i*(a** — i)-t-83(i).
(*) M. Magnus de Sparre a signald ( C. B., l. XCIX, 1889, p. 906) l’oubli du
signe — devant le premier terme tie la quantity Q. II cn a conclu que liquation
determinant les points stationnaircs pouvait s’dcrirc
UlillVHKS DE CHAULES HERMITE.
Remplacant done A et I par -D c i, -ID\1, on obtiendra,
designant par C, C', G" des constantes,
ar'2 H-ya = C h-PD u ^ 1 ^l n s D s^(]G
e t“) 0 “0(>)’
ary — yx> = C' + n& D u
©O)
<T"—y ar"= C ,/ -f- 5 £> - 6 ' (ll) .
n Q(u)
Emplovuns enfin ]a relation D & '^ u ^ J /a ■>
r j cnun id reunion - = ~_ A 2 sn 2 u, etnousp
viendrons, en modifiant convenablement les constantes, aux (
pressions suivantes,
v* +y> =c + („._8«_^)*. s „. u _„ u . tsnl „,
xy' — yx'= C' — S nk*- sn 2 a,
xy" — yx" = C"— — A-2 sn s Um
n
our determiner C, C', C", je supposerai u — o; il suffira ainsi
connaitre Jes valeurs des fonctions *(m), et de leurs pi
mieres denvees quand on pose u = o; or on obtient, par un cab
iacile dont je me borne a donner le rdsultat,
e~» <J> (u)~ — in + R u . • n ' k * cn 2 io - 4 - ( 3 * dn 2 to
cnio enw n onto dnio
e+' v <J> t ( u) = -+- in _ nco q dno) u __ i » 2 /c 2 cn 2 io -+- ft 2 dn 2 u>
cnt0 enw /icncodnra
on en conclut
li¬
nt
9,
G = p2^!^, C'=nj3^!^, p,__ g rtk* cn«u)H-| 3 *dn 2 tu
10 cn 2 io ^ n ctl a w ’
Soient done S l’aire d’un secteur, s la longueur de Fare et 11
rayon de courbure de Ferpoloide; nous aurons
D«S =
- 8 A 2 sn 2 i/
r cn 2 o>
n 2 A ' 2
cn 2 a)
/t 2 sn 2 « — n 2 A i sn 4 u,
sn 2 u — n 2 A’* s x\ % u
lant I’aire a partir de t = ou u = o,
Q'f «)
= nu
fin 8
cn 2
J \ ^ Q'(u)
il en resulte qae, u devenant m + sK., le secleur s’accroit de la
quantity constanLe
ou, sous une autre forme,
^V/7^p [( 'f — (V — P ) SJJ-
Je ddmonlrerai ensuite que le irinome en sn u qui se prdsente dans
I’eldment de Fare, et dont les racines sont rdeiles et de signes con-
traires, a sa racine positive comprise eutre t et^* En faisanl, en
effet, sn«=i, puis sn«=y.> nous irouvons pour resultats les
quanlites
a »(Y — 8) (5 — Tj) y 8 (p — 5)
{'! — p) (3 — a j ’ '(-[i
dont la premiere est positive el la seconde ndgative. On yerra sans
peine aussi qu’en introduisant dn« au lieu de snt£, il prend la
forme suivante, qui est assez simple,
^ — ['((» -+• P — 28) — a(3] dn 2 w, — (y — P) (8 — a) dn 4 u.
Enfin, et en dernier lieu, je remarquerai que les constantes qui
entrent dans le ddnominalcur du rayon de courbure peuvent
s’ecrire ainsi
q = 8(Py -+- y a ■+■ a P) ■+■ 2a Py;
P(n 2 /c 2 cn 2 to -t- p 1 dn 2 to) _ [3(y — o) (pa -t- Py — a Y) / , \
__ - ( ).
(') Nous supprimons ici quelques lignes relatives k la for mule donna nt les
Doinls stationnaires. inex te e mm il a indiaud dans la note de la t>ase 3r3.
XIX.
A pres l’erpoloide, je consid<he encore la courbe splierique
crite par un point determine du corps pendant la rotation, et
les equations sont
x — a \-T- b -r\c
y — a ' £ -+■ b' 1 ) - 1 - c' X,,
z = a"\ -f- b\ -f~ c'%
Je remarquerai tout d’abord que les elements geomelriques
eonservent la meme valeur quand on passe d’un sysleme de i
donnees rectangulaires a un autre quelconque, seront des
lions doublement periodiques du temps. Si I’on pose, en ellc
T>'l X — Cl §„ H- b C £„)
D py = ab' c £ rt ,
D{* 5 = a"\ n -+- b"-f], L -\- c"t n ,
les equations de Poisson donnent lacilement
= D t £„-t- q £, t —
'0//-t-1 = - DiiQn-t- r \n — /■’ K'n
= -0/ -t- — q U,
et ccs relations permettent d’exprimer de proche en procbe.
toute valeur de n, les quantiles vp,, par des fonctions r
nelles et entieres dc a", b" ,c". On trouvera, en particulier,
5i = h "K — c "m-, -Oi = e" fq — a" ati == a"a-i] — b" fic
et, par consequent, end^signanl par s l’arc de la courbe,- no
rons la formule
(D^) 2 = -+- Yjj -+- .
On obtient ensuite, pour le rayon de courbure R et le ra;
torsion R,, les expressions suivantes
= Mi — Mil
U — TilKz -Ma? P = Cl^2— ?2^1,
«i u u
A = •ill r i2 113
Cl Ca C*
C’csL a Peldment de 1 ’arc que je m’arreterai un moment, afm do
tirer quelqaes consequences de la forme analytique remarquable
que presente la quantity H-H-Nous avons, eu effel, la
relation
^i-H •O'^li-'-CCi = o,
qui donne faeilement
CO (D,0*=(S s + V+CM?+
eL, par suite, cette decomposition en facteurs imaginaires conju-
guds, ou j’ecris, pour abrdger, p- = !•- -f- rj- -f-
(¥-+- C 2 ) ( = (C$1 — &I-H- tp'^li) (C£i — CCi — iprii )•
Or les valeurs de a", b" , c", a savoir
conduisenl a l’expression suivante
C£i —£Ct-+- i?'f\ 1 = a ^ (^0 -+- ip£) cn a
PV^T^F (? * )s "“
- rjW “ *>t) <i"“>
etnous allons’facilement en ddduire les valeurs particulieres des
coordonndes £, pour lesquelles l’arc de la couebe sphdrique,
au lieu de cldpendre d’une transcendante compliqude, s’obtient
sous forme fmie explicite. Je me fonclerai, & cet efFet, sur cette
remarque, que le produit de deux fonctions lindaires
11 ( 7 1 — ( A cn it . _1_ R cn »/ r ! Hn \ ( A ' „ . TV o„ , . n ,1 »
A* A'*4- B» — GU-'*= o, A'* A's-h B'*— C' 2 /d 2 = o.
A cet eflet, j’observe que les formules
:i sn it cn u dn u
i — k ' 1 sn 4 u ’
i — a sn 2 u 4 - /c 2 sn 4 zz
i — k 1 sn 4 u
- -ik 2 sn 2 it 4 - k 2 sn 4 zz
permettent d’ecrire
A cn a a 4 - B sn a it 4 - C d n a u
_ A 4- G — i( A 4 - C k* ) sn 2 u 4- (A 4- C)/c 2 sn 4 tz 4- aB sn it cn a dn 1
i — /l 2 sn 4 u
Cela 4 tant, soit, en d£signant par g et h deux constanles,
A 4- C — a( A 4- G k 2 ) sn 2 it 4- ( A 4- C)/c 2 sn 4 u
4- 2 B sn u cn u dnzz = (g sn u 4- h cn u dn a
on verra que les quatre equations resultant de Identification
reduisent aux trois suivantes
A 4 -G = A 2 , a(A 4- GA: u ) = /z 2 (i 4- /c 2 ) — g 1 , B = gh\
or 1’elimination de g et h conduit immediatement a la condilin
A 2 /c' 2 4 - B 2 — G 2 /c' 2 = 0.
Soit de merae ensuite
»/ D , . ( g' sn it 4- h! cn it dn zz ) 2
A cn iu 4- B sn2Z/ 4- C dn iu = —- : - ; -—,
1 — A ’ 2 sn 4 a
sous la condition semblable
A' 2 /c' 2 4 - B' 2 — C' 2 /t' 2 = 0;
nous en conclurons, pour y/n (2 m), l’expression suivante
=
ou, en developpant
/il(2Zi)
(g sn u 4- h cn it dn it) (g' sn u 4- K cn u dn it)
1 — k- sn 4 a ’
~) _ Kg’ s " 2 11 A- hh'\ r — ( 1 4- A 2 ) sn 2 it 4- k 2 sn 4 zz] 4- ( gh! 4 - hg') sn u 1
1 — /c 2 sn 4 zz
SUn QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELL1PTIQUES.
3ig
on en deduit ensuitc facilement, si ]’on change u en —>
I o 2
a \/ll(u) = gg'(dn u — cn«)+ (g/i'-h hg') sn u -+- /i/i'(dn u -+- cn u).
Yoici maintenant l’application de la remarque que nous venons
d’etablir.
XX.
Revenant a 1’expression prec^demment donn^e des facteurs de
(D t s)2, je pose
B = + c =—/y/^h5- <?£),
et j’observe que, an moyen de la valeur k ! -~ ^ nos
conditions se pr^sentent sous la forme suivanle
ph(P+ P)’-t- 7=-s« - ■>£)’= °>
an - ipK)‘+ p4rs (S ! + P)*+ ;pr 8 M + •>£)■ = »•
Elies donnenl imm^dialemenl £•/]£ = o ; et nous poserons en con¬
sequence:
Soit, pour abrdger,
nous obtenons les trois systemes de valeurs
i" £ = o, V = c, £ 2 = b,
•i" y)=o, £ 2 = a, £ 2 — c,
3° C = 0 , 5 s -b, v=a.
Maintenant je vais demontrer que, de ces diverses solut
premiere est seule reelle et repond a la question proposee.
Pour cela, je rappelle que les constanles a, [" 5 , y, 8 sa Li si
conditions
(0 « < P < & < y,
ou a celles-ci
(H) «> P > o > Y<
et j’observe qu’on aura, dans les deux cas,
(a — 8) (y — P) < o, (p — °)( a — y) > o > (y-S)(p —
J’ajoute a ces resultats les suivants
yo —i— p3 — yP > o, ao -h yd — ay > o, P8 4- ao —
qui clonneront, comme on voit,
a < o, b > o, c > o.
On peut ^crire, en effet,
yo -+- p8 — yP = po -+- (o — p)y,
a8 -t- yd — ya = a8 -f- (8 — a)y,
Po -+- ao — p.a = a8 -+- (8 — a) p,
et, dans le premier syst^me de conditions, on voil ainsi
premiers membres sont tous positifs. Nous ferons ensuile
sant au second systeme,
■ y8 -+- P§ — yP = Y§ -t- (8 — y)P,
ao -+- yd — ay=y8-H(8—y)a;
mais ces transformations faciles ne suffisent plus, a l’^gard de la
troisieme quantite j3o 4- ao — (3a, pour reconnaitre qu’elle est tou-
jours positive comme les autres. II est n^cessaire, en effet, d’intro-
duire une condition nouvelle, ~ "+"p ayant son origine dans la
definition des quantitcs qui sontproportionnelles auxmo¬
ments principaux d’inertie. Nous ecrirons, dans ce cas,
et le dernier resultat qui nous restait a dlablir se trouve demontrd.
Les valeurs r^elles ainsi obtenues pour les coordonnees Sj, vj, a
savoir £ = 0 , 7] = y/b, ‘C = \/c, donnent, en prenant les radicaux
avec le double signe, quatre points qui decrivent des courbes rec-
lifiables, ou plulbt deux droites remarquables: £ — o,7| = ±: y/~
dont tous les points ddcrivent pendant la rotation du corps de telies
courbes. Pour former l’expression de l’arc s, observons que, d’apres
l’egalite a + b + c= o, on peul ecrirc i p = y/a, ce qui donne les
valeurs suivantes :
B =ws/Wf b ’ c=? V^-« c -
On a ensuite
A' = — A, B'=B, G'= G,
et nous en concluons
(A cnu -1- B sn it 4- G dn it) (A' cn it -+- B' sn it -+- C' dn it)
= (B sn it -+- G dn it) 2 — A 2 cn 2 u.
La condition A 2 k' 2 4- B-— C 2 k 12 == o conduit enfin & cette nou¬
velle transformation
(Bsnit + Gdn it) 2 — A 2 cn 2 it
G 2 £' 2 _ B 2
= (B sn it-h C dn it ) 2 - — - (dn 2 u — /c ' 2 sn 2 tt)
/ B \ 2
= ( G /c' sn it -h p d n it j ,
322
0EUVHES DE CHARLES IIERMITE.
sion de l’arc de la courbe spherique,
s — Y p'Z. y (~ t ~ aS ~ P a ) (° ~~ a ) (Y ~ ft) Jksnudu
-1- [3 ^ ( ao -+- yo — ay) (o — a) (y — a) J' da a du,
puis, en efFectuant les integrations,
s = Y y j^_ ~ ( H- ao — p*) (8 — a) (y — (3) log(dna — /c cnu]
-+- P ^^ ( ao -+- yo — ay) (o — a) (y — a) am u.
II en resulte que, u devenant u + 4 K., bare s’accroit de ia quail
constante
' 17Z P\/ (aS •+• y3 *y) (o a) (y a J •
XXL
Je terminerai cette elude de la rotation en indiquanl encore
point de vue sous lequel on peut traiter la question et ou 1
dvitera le defaut de syrndtrie des methodes precedemment ex
sees, qui donnent d’abord les quantity A, B, C ; puis, par
calcul different, la quantite V, en separant ainsi des express^
composees de la m^me maniere avec les quaLre fonctions fon
mentales de Jacobi. Des transformations algebriques faciles ■
equations de la rotation, lorsqu’on suppose en general lc co
sollicite par des forces quelconques, permetlent, en effet, d’as
cier les composantes de la vitesse aux neuf cosinus ; elles seron
point de depart du nouveau procede que je vais donnerpourle
ou il n’y a point de forces acceleratrices. Avant de les exposer,
rappelle d’abord les equations d’Euler
T) t a" = b" r — c" q,
D* b" — c" p — a" r,
D* c"= a"q — b"p,
puis
D* A = B >•- Cq,
D, B = Gp — A r,
D<C = A q — B p.
Cela eiant, soit, comine pr^c^demment,
v = a p -{- b q c r ,
v' — a’ p -+- b' q -+- c r,
v*= a" p b"q -+- c"r,
V = A/) + B^4-Cr; g
en ecrivant, pour abr^ger,
k~pD t p-{-qD i q-{-rD t t' — ( a" p -t- b”q -+- c H r) ( a" D t p -H b" D tq-h c" r),
nous aurons, comme consequence, les relations suivantes, que je
vais demonlrer:
I.
A A = V( D t p — a"T> t v") -+- i V D* a",
BA = V(D/gr — b"D t v")-h iD t YD t b",
CA = V(Di/'— c"D t v")-h iD t VD[c",
II.
Va"= Ap"+ tD^A,
V &* = Bp"h- i‘D ; B,
V c" — G v" -t- tD,C;
III. IV.
iCD* b" = B /• -h ic"D f B, t BD* c" — C q ib n D*C,
iAD f c" — Cp -+- ia" D f G, i CD,a" = A /• -+- ic"D f A,
*BD,a* = kq -+- ib"T> t k.-, iADf6*= Bp + ia‘D t B.
A cet efTet, je remarque que, en ecrivant A sous la forme
A =|D t (p 2 -h q 2 -+- r 2 ) —
la condition p 2 + q 2 +■ r 2 = c 2 +■t> /2 + v" 2 donne immediatement
A = vD t v -+- v'Dtv'.
Observons encore qu’on tire des equations
sion suivante :
ci' v — cw' — b" r — c" q = D t a".
On a d’ailleurs immddiatement
D i p — a" D f v" = aD(P + rt'Dj-p',
et ces resultats transform ent l’equation
AA = V(D J /j-fl"D < p") + iD f VD i fl"
dans la suivante
(a -4- ia') (vD f v -+- v'Y) t v')
== (v -4— iv ; —t— ct!Yyiv ) —iD i v -+- ) (<2 v )>
qui est une identite.
Passons a Pegalitd V a!' = Ae" iD t A ; il suffit d’y remplacer
les quantites Y, v" ) D ( A par les expressions en A, B, G, p : q , r } ce
qui donne
: (A/? -+- Bq -+- C/•)«" = A (a" p - 4 - b" q - 4 - c" r) 4- i(B/’ — Gq),
et par consequent encore une identity, en l’ecrivant ainsi
q(Ba "— Ab"-+- iG) 4- r(Ca "— A c" — t'B) = 0.
Enfin les equations
iADj c"— Cp 4- i D f C a", t AP* 6 " = Bp -4- i D f B a"
des systemes III et IY conduisent, par un calcul semblable, en so
servant des expressions de D^c" et D,6", aux memes dgalitds
Ab" — Ba"=iC, A c"—Ga" = — iB;
elles se trouvent done encore vdrifides ; or toutes les a Litres equa¬
tions, dans les quatre systemes, se ddmontreraient dememe, on se
ddduisent de celles que nous venons d’dtablir par un simple chan-
gement de lettres.
XXII.
J’applique maintenant ces rdsultats au cas oil il n 5 y a point de
forces accdldratrices, et ie nose k cet effet n = act" n —
A = a 2 a"D,.a"H- (3 2 6"D;6 "h- y 2 c" Y) t c" ~ (a — J3)(p — T)(y — a)a"&"e".
Ayaut ensuite
Djjo — a"D t p" = oc(y — (3)6"c",
on voit que, en supprimant le facteur (y— (3) b" c", liquation
AA = V( p — a" D f p") +• i D;YD; a"
devient simplement
A«"(i-(l)(a-y) = V«-wD f V.
Dans les trois autres syst6mes, les reductions sont encore plus
faciles, etnous nous trouvons ainsi amends aux relations suivantes :
I. II.
A«"(« - P) (a - y) = V« -h iV t \, Y«" = AS + £D, A,
B6'(P — y)(p — a) = Vf3 + i D; V, V6" = BSh- iDjB,
Cc'(y —«)(Y — P) = V < Y-M , DfY; Vc" = C S -+- z D f C ;
III. IV.
i.G a? (a. — y) = B y -h iBa'(P — a) = Cp -h £Df C,
zA6"((3 — a)=s Coc-hiD,C, i G 6'( y — P) = A y -+■ eD t .A, .
j‘B c"(y — P) = A p -4- iD # A; z A e"( a — y) = B a -t- iD^B.
La question est maintenant d’obtenir quatre fonctions A, B, C, V,
qui verifient a la fois les douze equations. Nous ferons un premier
pas vers notre but, par un cbangement d’inconnues, en posant
a 1 r> dmo . snto
A—j - a, B = --1), C=-c, V = — mu;
/ccnw /ccnoj cnw
nous prendrons aussi la quantite u pour variable inddpendante k
la place de l ; enfin, en employant les expressions de a ", b\ c u , on
trouvera les transformees suivantes de nos equations :
I. II.
•i l« •/ lS t-,
n«cn«ii=—r — D„», z/c cruzo =—a — D b ii,
n ' n •
/csnizb = ^»— D w t), /csnu» = —b— D w b,
n n
, f’y ta . it,
z dnut= —u — D„ : i n«n= — c — D„c:
III.
cn u c = — li — Du b,
n ’
k sn u rt = — c — D,, c,
n
i dnwb = — a — D,,u
n
IV.
ik ciudi = — c — D„ c,
n
k sn u c = ^ it — D„ a,
n
fc'dnMii = — b — D„b.
n
Je ne m’arreterai point aux calculs faciles qui donnent cesresul-
tats, etjeremarque immediatement qu’il convient do les disposer
dans ce nouvel ordre, a savoir
•7 i a _
i>tciiMa= —t) — D w t),
ik cn u b = ^ c — D„ c,
n
ik cn « c = — b — D„ b,
n
ik cn uv = — a — D., a,
n
k sn u it = — c — D„ c,
n
i 3
k sn u b = — ti — Du u,
n
k sn uc = l -j-a — D w a,
k sn «t) = — b — Dub,
n
i dn u a = — b — • D w b,
n
i dn u b = — it — D, t rt,
n
idnuc = — i) — D tt w.
n
i dn u i) = — c — D It c.
n
Par la se trouvent mises en Evidence trois substitutions remarqua-
bles, qui correspondent aux multiplications des quatre fonclions
par cn u, sn u, dnw, a savoir
(‘ b c ”V ( a b ' »V (" h c ”V
\» C b a/ \c t) a b/ \b a n c J ’
elles ont la propria caractdristique de laisser invariables les
quantiles du type (a — b) (c — l>), et, si on les applique deux fois,
chacune d’elles donne la substitution idenlique. Representons les
quatre letlres rt, b, f, ti par X* pour les valeurs o, i, 2 , 3 dc l’in-
dice, en convenant de prendre cet indice suivant ie module 4 ;
elles s’expriment comme il suit
Si l’on adopte un autre ordre, en supposant que Z s donne c, rt, b, ti
pourj=o, i, 2 , 3, on retrouvera encore, sauf un certain ^change,
les m6mes fonctions de l’indice, k savoir
i , • i , , n (a ifl i'o
nous clesignerons les conslantes 3 “> ^ 1 ~n P ar ts P our s ~°-> 1 5
a, 3; cela £tant, nous ponvons comprendre, dans ces trois seules
equations, le systeme de nos douze relations :
£.,Z 2 + . S —D„Z, + ,,
Zj_ s — D it, Zj
— D /4 Z 3 —
Le rdsultat relatif aux quantiles X* ne difF^re de celui-ci qu’en
ce que ikcnu , ksnu, idn« se trouvent remplacds respeclivement
par idn«, ikcn.u, ksnu ; en ddsignant “ ’ ~ ~ P ar "Oj P our
s=o, 1 , 2 , 3, nous aurons, en eflet,
1 ik cn uX x = r lS X 3 _ ? — D u X 3 ,. s ,
(II) < k sn uX,= 7)^X2+.?—D rt Xo +i -,
( i dn u X, = r ; . s X,_ ? - D , 4 X,_,.
I ik cn uL s —
k sii«Z 4 .=
i dnul s =z
Avant d’aller plus loin, jc crois devoir montrer comment ces deux
syslfemes d’^qualions se ramenenl Pun a Paulre, par un change-
ment tr6s simple de la variable et des constantes.
Je me fonderai, k cet eflel, sur les formules de la transformation
du premier ordre
cn
'iku, %
dn u
iku,
i£_
k
Ik sn it.
d n 11
dn (^iku,
cn«
dn u
en les ^crivanl de la maniere suivante, 011 j’ai fait, pour abr^ger,
k' cn ( iku, l) = — dn( u — K -+- at’K'),
/ sn ( iku, l) = -+- cn ( u — K -+- a i K'),
d n ( iku, l ) = — sn (u — K a i K f ).
Changeons, en effet, u en u — K. -b 2 t’K/, et d^signons par Z'ce
que devient ainsi Z, f ; les Equations (1) donneront celles-ci
ikl sn(i/ra, l) Z^= e 4 .Z' 2+J — Tk u Z' i+s ,
— k' dn ( iku , l) Z' = is^'i-s — D u Z\_ s ,
trouvera, si Ton remarque que il= —
l sn(ji, lyi'g = jj-Z's+s — D„Z2 +s ,
idn(u, l)V s = h-Z\_ s — D U Z\_ S ,
il cn(ii, l)Zg = Zj_ ? — D rt Zj... ? ;
nous sommes done ainsi ramene aux equations (II), en y rempla-
cant les constantes v), parce qui entraine le changemenl de k
en 1.
Je vais montrer maintenant comment la theorie des fonctions
elliptiques donne la solution de ces nouvclles equations auxquelles
nous a conduit le probleme de la rotation.
XXIII.
Je repr^senterai dans ce qui va suivre les fonctions 0 (m),H(«),
H, (u), 0, (a) par 0 O (u), 0, (u), 0 2 («), 0 3 (u), en adoplant unc
notation employee pour la premiere fois par Jacobi dans ses lecons a
I’University de Kcenigsberg, dont plusieurs auteurs onL depuis fail
usage. L’une quelconque des quatre fonctions fondamenlales sera
ainsi designee par Q s (u), et je ferai de plus la convention que Tin-
dice sera pris suivant le module 4, afin de pouvoir lui supposer
une valeur entiere quelconque. Cela posy, soit JU le residu corres-
pondant au pdle u = i R' de la quantity —> °u a ^
sont des constantes quelconques, et posons
*s(u)
Q s (u -h a) e *' 11
R 5 O 01 . 11 )
Nous definissons ainsi un systeme de quatre fonctions compre-
nant comme cas particular sn«, enn, dnn. lorsqu’on suppose a= o,
X = o, mais qui, en gynyral, ne sont point doublementpyriodiqu.es,
et se reproduisent mult’nl ftps nar dpn rnntOarOpn Inrdmi’nn cha ne r P.
_ iZLf: -h aj'XK' , . .
\x —e K- , les relations suivantes:
m -5- a K) = p. (— i)^ ( ] <& s (u),
et, en passant aux valeurs partieulieres de l’indice, les multiplica-
teurs seront indiques corame il suit :
*«(*)>
H- {*,
H- (1,
*1 (0,
— p,
p',
( I>2(0>
-11,
~ P'l
d+s).
+ H,
- p\
L’dtude de leurs propridtds pourrait peut-6tre former unchapitre
nouveau dans la thdorie des fonctions elliptiques, inais en ce mo¬
ment je dois me borner a en tirer la solution que j’ai en vue du
probleme de la rotation. Je partirai de ce que les rotations <!*,(«),
ayant un p61e a — fK/ a l’int^rieur du rectangle des pcriodes et
pour residu correspondant l’unite, peuvent jouer le role d’dlements
simples k J’dgard des fonctions qui ont les memes multiplicateurs.
Telles seront, par exemple, les quantitcis
cnu<P s (u), snu<fr s (if.), dnu<b s (u);
si l’on re marque qu’en meltant 2 + 5,1 — s, 3 — s, au lieu de s,
le facteur (— 1 ) * se produit mulliplid par — 1 , — 1 , + i,
— i)
tandis que (— 1 ) estmultiplesuccessivemenlpar— 1 ,+ 1 ,
— 1 , on reconnait en effet qu’elles ont respectivement les multi-
plicaleurs des fonctions
&l+s(u), <I>i _.?(«), &»-s( U).
(') Peut-6lre pourrait-on, afin d’abrdger, convenir de designer les quantitds
de cette nature sous le nom de fonctions doublement pdriodiques de seconde
espece, les fonctions pdriodiques dc premiere esp^ce correspondant au casod les
multiplicateurs seraient dgaux & l’unitd. Enfin les quantiles telles que ©(«), H(«),
..., les fonctions intermddiaires de MM, Briot et Bouquet, od les multiplicateurs
sont des exponentielles, recevraient par analogic le nom de fonctions periodic/ues
elements simples s’obtiendra immddiatement au moyen de la parti
principale des trois developpements
cn(i’K'-+- e) (iK'-t- e),
sn(iK'-h s)$ i (iK' + s),
dn(iK'-t- e) <I> 4 (tK'-+- e).
Or on a, sans aucun terme constant dans les seconds membres,
ik cn (iK'-h e) = ^ , k sn (i K'-t- e) = * > idn(tK' + s) =
et par consequent il suffit de calculer les deux premiers lermes d
developpement de Pautre facteur $ s (iK' + e), c’est-a-dire le temi
en-^i et le terme constant. J’emploie a cet elTet la relation, st
laquelle je reviendrai tout a l’heure,
-+- iK') = a u) e 4K
ou a est egal a i pour 5 = 0, 5=1, et a Punite si l’on suppoj
— l Jl (j + l)(.T + 2)(Ji+l
5 = 2 , s = 3, de sorte qu’on peut faire a- = — e
On en conclut P expression suivante
^(iK'+s)
Oi_ ? (a -t- e)
7 07(0 ’
A d^signant un facteur constant, et par suite ce ddveloppement, qt
je limite a ses deux premiers termes
t) = A °;7" ) [j + l + D. Iog0,-,(a)].
Mais A doit &tre tel que le coefficient de - soit Punite ; nous avoi
done simplement
^(iK'-Hs)= ~ -+-X + D a log0,_,(a),
et l’on voit que les parties principales des ddveloppemenls d
fonctions
ik cn (j’K'+ e)«t>*(iK'-+- e),
k sn(iK'H-e) <E> 4 .(iK'-t-e),
i dn(iK'-+- s)^(iK'+ e)
savoir
p -+- [X -t- D a log0 w («)] l •
La formule gendrale de decomposition en elements simples nous
donne en consequence les relations suivantes
ik cn u <t 's(u) = [X -H D a log0 1 _^(a)] 4> 2+s (it) — D rt 4> 2+J (u),
k sn u$ s (u) — [X -+- D a logOj-^a)] — D„
i dna^fit) = [X -+- D„ Iog0i_j(a)] ‘I > 3 - s (u) — D u <b 3 - s (u);
et l’on voiL qu’on les identifiera aux equations (I),. obtenues dans
le paragraphs precedent, en disposant des indetermindes a et A de
maniere a avoir
s f = X ~|- D„ IogO,_ 4 . (a).
Reprenons, a cet effet, les dgalites donnees, paragraphe XV,
page 3o3,
n . ^ ! snwcnw . sn to (In a) . ciuodnw
a — p — in - : -j a — o = in -< v — a = m - }
ana) cnw ' saw
en les ecrivant d’abord de cette maniere (voir p. 3o4) :
ia e'((o) __ i|S ©i(a>) _ i y H'(w) IS IIC10 )
7T + eJ^T) “X" 4 ' ©TK) _ IT(T^j “ V hTT^T
Rappelons ensuite que les constantes —— ont ete desi-
rr ^ n n n n
gnees par e* pour 5 = 0 , 1 , 2 , 3, et elles prendront, en introduisant
les quantiles 8 f (a>), cetle nouvelle forme
£j H“ Do)l°g0o( w ) = £ 2 ‘+"Dwl°g 03 ( w )
= £0 ~t~ logO, (u>) = £3-+- D w log 0 2 (ta).
II en resulte que l’expression
65+ Dw logO,_ s (o))
reste la m£me pour toutes les valeurs de sj par consequent, on
satisfait immediatement k la condition posee en faisant
et X =e,+ D w logO!_ ? (w).
a = — 10
Les resultats que nous venons d’obtenir montrent encore par
nouvel exemple combien la question de ia rotation se trouve in
raement liee a la theorie des fonctions elliptiques. G’est m&m
l’etude d’un probleme de Mecanique qu’est due la consideration
ces nouveaux elements analytiques <&, (m), tres voisins des foi
tions cp (x, to), cp, (x, to), y (x, w), y, (a?, w), employees au co
mencement de ce travail pour integrer l’equation de Lam£, m
qui en sont ndanmoins distincts et offrent un ensemble de p
prietes propres. II est ndcessaire, en effet, d’attribuer a la consta
\ quatre valeurs particulieres pour en ddduire ces dernieres fo
dons, et de la resultent, pour les multiplicateurs de chaci
d’elles, des determinations essentiellement dilFdrentes, tandis <
la propriete essentielle qui rdunit en un seul sysleme les foncli
^(w), c’est d’avoir, sauf le signe, les memes multiplicateurs.
me bornerai a leur egard k considerer, pour en donner l’integi
complete, les Equations dilFdrentielles auxquelles elles satisfc
equations lineaires et du second ordre comme celle deLame; n
auparavant je dois d’abord montrer comment les formules deJac
resultent de l’expression a laquelle nous venons de parvei
Z,=N^> j (m), ou N designe une constante. J’emploie, a cet el
la valeur de Rj, qu’on obtient facilement sous la forme
_i2£2 + Aii«
D _ <10 \- s (a)e - h
f i'Oi(o)
et ou l’on doit faire a = — w. En se rappelant la determination
facteur < 7 , et ecrivant pour un moment
nous obtenons ainsi
R 0 = —iQflRw), Ri = iQ9 0 (w), R 2 =Q0 3 (w),
Or on a
- z i,
-Z„
G
-Z 0 ,
r 3 = qo 2
V = — in'
v-ao luounuui, ox x vu x vxxi jjxa.v,c A ^ jJtti A^ Cl ICO 1JJ UCUJ.LA IC3 V s [J<*1
H, ..., les valeurs suivantes
iN
H ( u — to) e ku
N
II (it — to) A' 4
k c n w
i 0 (to ) 0 ( u)
Jlk'
lii(t o)6(u) ’
dn to N
IIi ( u — to) e^' 4
N
II, f //- — to) A' 4
k cn to
0i(to)0(?t) —
/le
11,(0)6(10 ’
sntoN
0 ( u — to) e^ u
N
0 (u — to) e^«
ento
t H (to) 0 O) _
s/T
i H, (to) 0(u)
v = i n N e ;, (, ‘-“p x “.
Je ne m’arrete pas a la determination de la constante N qni s’ob-
tient comme on l’a deja vu au paragraphe XTV, page 3oo, elle a
pour valeur H 7 (o)e iV , et nous retrouvons bien, sauf le changement
de \ en A, les rdsultats qu’il fallait obtenir.
Je reviens encore un moment sur la designation par 9*(a) des
quatre functions fondamentales de Jacobi, afin de la rapprocher
de la notation qui resulte de la definition mdme de ces fonctions,
par la sdrie
(J.V/TC
Q(x,v(u)=e 2
; j~(2 m + (J.) u -l- i 12 m + (J.) 2 i K'J
Supposant p et v dgaux a zero ou a l’unite, on a done en meme
temps
0 (tt) = 0 o (zO = 0 Oll (n),
H (u) = 0,0) = 6x,t(«),
II, (n) = 0 t (u) — 0 1 , 0 («),
0,(u) = 6 a (u) = 0 O)O (m);
et, en premier lieu, je remarquerai que le syst^me des quatre
equations fondamentales
0 ({t-t-fK'j = iH ( u) e
H (« -+- &K') — i 6 (u) e
Ei(u -+- iK.') — 0i (u)e
&i(u-+-i K')= Hi (u)e
pour X-bD a logQ(_,s.(a), ces trois groupes de deux equations
savoir
J Ui«I>j = e, &2+S—
j U! &Z+S = e 2 +, — D„ <i> s , v
l U 2 «J>^ = e, $ 1 -., —
j U — D„*„
j U 3 «J> S = E s D m «J>3- 3 ,
{ U 2 4 > 3_3 = £3-^5 —
L 5 elimination successive des quantites $ 2 +*; ^i_ji ^ 3 -j do
ensuite
(I) ©ti't’.j — (e^-h e 2 + s H- D w logUj)D rt h- (e,jE2-m■+■ e 2-t-slog Ui U 2
(II) JD 2 -+- £i_,? -i— D«logU 2 )D (i Oj-+- (£^ £,_£ -t- £i_ i DKJogU 2 U 5
(III) D 2 <I>s— (ej-+- e 3 _s h- D u log U 3 )D M <£*-+- (£*£3-5 -+- £3 -jDu JogU 3 — U|
Nous avons done trois Equations du second ordre dont une s
tion particuliere est la fonction <&* (w); voici comment on pan
a les intdgrer completement.
Faisons successivement dans (I), (II) et (III)
<f\.
= X,e
- (£,+•£,+,)
<t>,= X 2 e 2
*,= X 3 e*
• £ 3 —j)
on aura pour transformees
D 2 X t — Dalog^D^X,- (8, o, logUi-l-U 2 )X 1 — o,
D 2 X 2 — D„ logU 2 D«X 2 — (81 -+- 8 2 D m IogU 2 -h U 2 )X 2 = o,
D 2 X 3 - D (t logU 3 D, t X 3 — ( 0 ! -h 8 3 D« IogU 3 -l- U! )X 3 = o,
en posant, pour abreger l’ecriture,
§1 = J (e 5 — E2H-J?), §2= i( e 5— e I-^)l 03= 2 ( £ i- — e 3-i)‘
Je remarque maintenant que ces Equations ne changent p;
en rempla^ant dans la premiere, la deuxieme et la troisifer
par 2 + s, 1 — s et 3 — s, on 6crit dans toules en meme temps
le sera encore si Ton fait
-f* — (S$ 4- v )
Xj = 4 * 2 +i(-— «) <2 '
En employant les formules
e ? = X -+- D„ log01— x ( ci ), £ 2h-.? — X -+- D a logOs—.?(£*),
et mettant pour abreger Q. f an lieu de 9^(a), on en conclut pour
I’integrale generale
C6,i'M + fll -^DaiosO, ,0,-. G'O ^ g (u — a) ^W«iog0,-,0,_ t
Xj =-- —e ' H- 7T-, -e
0 0 (u) 0 ,,(//.)
Les solutions des deux autres equations seront semblablement
v C0 s (u-i-a) -^OoIobO^,., G'O5»«ioB0 t 0,.. t
2_ 6 0 (m) e ^ 0 o (k) C
xr G 0 s .(m -+- a) -7i)«ioe0 l 0, + , C'(Wit — a) y u.iojO.O,-..
X3= “^i. + e
XXVI.
Les relations qui nous ont servi de point de depart donnent lieu
a d’autres combinaisons dont se tirent de nouvelles Equations du
second ordre analogues aux pr^c^dentes, et qu’il est important de
former. On a, par exemple, comme on le voit facilement,
= U 2 (s/IX+,--D,,.<t> 2+ ,),
et l’on en conclut, en changeant i en i — s,
U ! ( Ej <!>., — D, t <I>, ) = U 2 ( E 1 -5— D« 0 s -j )•
Joignons 4 cette Equation la suivante
U 3 4> 3 _,= e 3 -./L-D« c I>,
D u f P.v — (£i-log U 2 U 3 ) D„ (s,_ i .e 3 _s-+- D„ log U 2 -+- e 3 -« D« lo$
De simples changements de lelLres.donneront ensuite
Dftr^.s--(£3-i-T-E2-H5+D w log U S U,) D M 4> f +(£3_ 4 .E 2+ .. s .- I -e 3 _ J D a log U 3 4-£2-+-sD (i lof
Df,^-—£2 +s+ D w logU 1 U s )D lt tp,,-4-(e 1 _ J e 2+jr +E 2+Jf D„ logU 2 -t-ei- A -D«lof
Cela pose, je fais dans la premiere, la deuxieme et la troisi
de ces equations, les substitutions
J’ecris aussi, pour abi'^ger,
°1 = 7 ( £ t—.? e 3".?)) ^2 = 2'( £ 3-.? e 2+.?)> 8 ,,= 2( e )-i £ i+.f
les transformees qui en resultent, savoir
D£ Y, — D„ logU 2 U 3 D w Yi — (V,* —S', D n log —Y t = o,
D* Y 2 - D tt log U 3 U ( D„ Y 2 - — 8' D„ log Y 2 = o,
D* Y 3 — D u logUi UoD„ Y 3 — ^8',* — o' D« log ^ Y 3 = o,
se reproduisent comme les equations en X, lorsqu’on chan
ena + i, i — $, 3 — s et u en — u, les quantites o et 8', ainsi
les d^rivees logarithmiques, changeant de signe. On en cor
immediatement pour les int^grales completes les forrnules
v C0,s( it -f- a) — 4 i)„ Iog0,6 a+t
C' 0 2
,+ s (u - a) Jd„io K 0,0,
1 A.(a> "
0 o (a) 6
Y C0,,(i4 + a) — ^ D„ ioj 0,+j 0 3 _
2 0o(a) 6
91?!
_ s (u — a) Jd.iobO^.,
0o ( m ) ^
v C0 s (« + a) — ^ i>« Iok 0 ,6 ,_ t
13 = — H -7 — - e
C' 0,
H-
,_,r u—o) 4 i) nlogO.Oj
®o(m)
0 O (K)
Ge sont done les memes quotients des fonctions 9 qui figu
dans les valeurs de X, et Y,, Xo etY.,, X 3 et Y n , les exponenli
Constance tait presumer 1 existence d equations lineaires du second
ordre plus generales, dont la solution s’obtiendrait en remplagant,
dans les expressions CA + C/B des quantites X et Y, les fonctions
ddtermin^es A el B par Ae^ u et Be~-P u , ou p est une constante
quelconque ; voici comment on les obtient.
XXV11.
Consid^rons en general une Equation lindaire du second ordre a
laquelle nous donnerons la forme suivante
PX"— P'X'-b QX = o,
oil P et Q sont des fonctions quelconques dela variable u, el dont
l’integrale soit
X= CA-i-C'B.
Je dis que, si l’on connait le produit de deux solutions particu-
lieres, et qu’on fasse en consequence
AB = R,
nous pourrons obtenir liquation qui aurait pour solution l’ex-
pression plus generate
X = CA G'B
J’observe ii cet efl’et que, le rtisulial de J’dlimination des conslantes
G et C etant
X A B
X r A p —i— A/ — B p *4- B' — o,
X* Ajd 2 h- %PJ?p 4- A" B/> 2 — %B l p + B"
le developpement du determinant donne pour liquation cherchee
y.r—=
les nouvelles fonctions 19 et (SR ajantpour expressions
p = AB' — BA' — aABjo,
= A'R"_ R' A "G- ( AR"_ A RA"i n _ a AR' — RA'U!a-oARnJ
AB'— BA.' = \'g.
en designant par g une constante dont voici la determination.
Donnons a la variable une valeur u — u 0 qui annule B dans
celte equation et la suivante
AB + BA' = R',
et soient P 0 et R' 0 les valeurs que prennent P etR'; on trouvera
immddiatement la condition
Pag = R'o-
La constante g etant ainsi connue, nous avons deja la formule
J> =
Pour obtenir (EH, je remarque d’abord qu’on peut dcrire
puis semblablement
AB'+BA'
P'B'— QB P'A' — QA P'R' —aQR
-p-A h -p-B =-p-;
nous avons d’ailleurs
par consequent
AB"— 4A'B'-+- BA" =
AB"-t- 2A'B'+ BA"= R",
a PR"— 3P'R'H-6QR
et l’on en conclut la valeur cherchee
& = Q<f-
a P R" — 3 P' R' t> Q R
p — 3P^ ( p 2 -f-aR/? 3 -
Ge point etabli, j’envisage, dans les Equations different elles en
X,, X 2 , X 3 , les expressions du produit AJB, que je ddsignerai suc-
cessivement par R, (w), R a (a), R s (m), en faisant
R l(K) =
R *(**) =
R »(u) =
0 / 1 2 (o)6j(it + a) 0 2 4 -i(ti — a)
0^(u)0 l - s (a)6 3 - s (a)
Q'i 2 (o) 0.t(u -j- a) 6 t - s ( u — a)
Qo(u)Q s (a) Oi -s(a)
0 1 2 (o) 0^ (u -t- a) 0 3 ~ v ( u — a )
0 o 2 ( M )0 1 _,(a)0 2+ ,(a)
ces quantites pour chaque valeur de s, mais j’y parviendrai par une
autre voie en conservant l’indice variable. Et d’abord, au moyen
des relations
■v(.y+n
0,(« + 2K) = (-i) 2 0,(u),
04-1)04-2' I7t t ^
0,( M + uiK') =(—i) 2 0 5 (w) e K
on obtient
Ri(« + 2 Kj = - Ri( u),
R 2 (?< H- aK) =— R 2 ( u),
R,(k + iK)= + R 3 («).
Ri (u -f- 21 K') = — R] (w),
P 2 (« -+- 21 K') =-h R s (ii),
R3 (u 21 K') = — R 3 ( u ) ■
Les fonctions R, ( it), R 2 ( u), R 3 (it) possedent ainsi la meme perio¬
dicity que cn«, snw, dna, par consequent les quantites proportion-
nelles U,, U 2 , U 3 , ayant le seul p6le u — iK 1 a l’interieur du rec¬
tangle des periodes aK, 2 z'K', et pour rdsidu correspondantl’unile,
peuvent servir, a leur egard, d’elemenls simples. Employons main-
tenant liquation
0 S (u l K') = cr Oi—.v ( u) e 4 lv " ,
ou j’ai posd
- Y (.1-4-11 (.v 4-2) (2.?-)- 1)
a =— e ,
et designons par a,, 0 - 3 , ce que devient cr, et, changeant s en
2+s, 1 — s, 3 — s, nous trouverons (‘)
Ri ( i K' -t- e) = — ffffi
O', 2 (0) Oi_ A .(n: •+- e) 0 8 _.,(— a -+- e)
0?(s) fli-i(a) Oa-s(a)
R 2 ( i K' +e)= - acr 2
O', 2 (0) Oj_j( a -4- e) 0 , v f—a -+- e)
0 2 (e)0 1 _ 4 .(a)0 i (a) ’
R 3 ( i K' -+- e) = — <ra 3
0?(0) -+- e) 0 2+i? (— a -t- e)
0?(e) Qi_ f (a) 0 2+ . v (a)
Cela etant, comme on pent inlroduire 4 volontd un facteur constant
dans la fonction R, je prends, au lieu des expressions prdcedentes,
( l ) On d6montre facilement qu’on a
s (s — 11
celles-ci, qui en different seulement par le signe ou le facteur ±
savoir
R i (i K' h- e) =
R 2 ( i K'-t- s) =
R 3 (i K’+ s) =
O', 2 (o) 6i- s (a e) 0 3 _,s(a — e)
61 ( e ) 6i—s ( a ) 0 3 - s{ a )
O', 2 (o) n- s) 0.,(a — e)
0 2 ( E )0 1 _,fa)f) i .(a)
0', 2 (o) 0 i-s (<3 + e) 02 + , f (a — e)
0 2 (cj0,.-. 9 (a)0 2+i (a)
Developpant done suivant les puissances de e et faisant usage <
quantites 8, pr^cedemment inlroduites, qui donnent
O'isia) _ %-,(a) _ *
il-s(ff) 03-.<t«) ‘ ? ° U
Oj , 5 (q) _ Q.;(q) = _ *
0i-i (a) 0.?(«) 2 ° 2 ’
Oi-xf«) 0 2 +*O) __
0i-«(a) 0s+*(«) 3 ’
nous obtenons, pour les parties principals, les quantites
[ 20 1 I ). 0 2 I 2 0 3
e 2 e e 2 e e 2 e
et Ton en conclut les valeurs suivanles, qu’il s’agissait cl’obten
R,(k) = 2o 1 U 1 -D u U 1j
R 2 (tt) = ao 2 U 2 — D W U 2 ,
R 3 («) = 2S 3 U 3 - D m U 8 .
Ces r^sultats nous permettent de former les fonctions et 1
mais, pour la deuxieme, le calcul est un peu long, et je me 1
nerai a en retenir cette conclusion, que dans les trois cas on parvi<
en d^signant par U une quantity qui soit successivement U t ,
U 3 , a des expressions de cette forme
» = aU+ a'D M U,
tt= [3U+ P'D„U-h j3"D 2 U,
ou les coefficients a et (3 sont des constantes. Leur complica
tient a ce qu’ils sont exprim^s au moyen des quantites a et p
figurent explicitement dans l’int^grale, et nous allons voir c
XXVIII.
Soient U et U, deux fonctions doublement periodiques de
seconde espece ayant chacune an pule unique u = o, et reprdsen-
tees par les formules
__ Il(u -ha) et>“ _ H (u + (3 ) _
~ H(«) ’ 1 H(it) ’
je me propose de former en general liquation du second ordre,
admeltant pour int^grale I s expression
X = CU-hC'U,,
qui est
JE U Ui
J' U' U; =|IJE ,, -J9 , T+©JE=o 1
T U" U'I
en posant
f = UUi —UiU', (Si = U'U[ — U, U".
Nommons pour un moment p. et p' les multiples de A, v et w'
ceux de B; on voit d’abord que les coefficients et Ct sont des
fonctions de seconde espece aux multiplicateurs pv el p.V, ayant
de meme pour seul pdle a = o, qui cst un infiui double pour |ll et
un infini triple pour Ct. Liquation ||1 = o n’admet ainsi k l’int£-
rieur du rectangle des p^riodes que deux racines, u = a et u = 6,
et, en decomposant en dldlments simples les fonctions de premiere
, ID' & , . .
espece, et — > on aura les expressions suivantes,
_ H'(«— a) H'( u — b) H'(it) .
f> J J (it — a) 11 (u — b) * 11 (it ) -l ~ ’
« _ P H'( u — a) Q II '(u—b) RH'(b)
f> ~ 1-1 (it — a) ~ t ~ IJ(it — b) ~ t ~ H (it) ~ + " ’
ou P, Q, ... sont des constantes assujetties k la condition
P + Q + H = o.
Les quantiles a et b , que nous venons d’introduire, reprdsentent
done, k Fugard de liquation differenlielle, des points que
rentielle, au lieu des constantes a, p, p : q qui entrent dans I
fonctions A el B. Je me fonderai, a cetell'et, sur le lemme suivai
qui donnera, par un calcul facile, la determination des coel
cients P, Q, ....
Considerons l’equalion dillerentielle
v"— f(u)y'^r g(u,)y = 0,
oil les fonctions uniformes /(m), g(u) admettent seulemenl f
infinis simples qui soient, d’une part, u = o et de l’autre u =
b , c, .... Posons d’abord, en developpant suivant les puissant
croissantes de s,
et en second lieu, pour les diverses quantity a , 6, c, ...,
/(an-£) = -H fa+ e) = ^ + ••
Si l’on a, d’autre part,
F G = o,
puis, pour toutes les quantites a, 6, c, ...,
8a = 8a{fa—ga\
l’integrale de I’equation proposde sera une fonction uniforme ay
pour seul point singulier u = o, et, dans le domaine de ce poi
les integrates nominees fondci men tales par M. Fuchs seront di
forme cp, (u) et^ -f- cp 2 (u) : oil cp, (u) et <p 2 («) represented
series qui proc&dent suivant les puissances ascendantes enti&re
positives de la variable.
XXIX.
Ce sont ces belles et importantes decouvertes de M. Fuchs d
la theorie generate des Equations difF^rentielles lin^aires qui j
mettent ainsi d’obtenir les conditions necessaires et suffisai
fonction uniforme de la variable. II n’est pas inutile, a l’^gard de
ces conditions, de remarquer qu’elles se conservent, comme on le
verifie aisement, dans les transformees auxquelles conduit la substi¬
tution jk = ze ~ au , a savoir
-'-[ia+/( u)]z'-+- [a*4-a/( u) -+- tf(n)Js = o.
J’observe encore qu’on peut supposer doublement periodiques les
fonctions f(u) el «•(«), en convenant que les quantity « = o,
u = a, u=b, ..., au lieu de repr^senter tous leurs poles, desi-
gneront seulement ceux de ces poles qui sonl a l’intdrieur du rec¬
tangle des periodes. Soit done, en nous plaganl dans ce cas,
ou bien, d’apres la remarque qui vienl d’etre faite,
f(u) = «a -f-
1J'
ff(u) = a 2 4-0 —
©
V’
a etant une constanle arbitraire. Je disposerai de cette constante
de sorte qu’on ait
Win —a) ll'( a — b) H'(«) 0'(«) &(b)
JW “ H (u~a) + U (i< — b) 2 II (u) + 0 (a) + B (b)*
et par consequent, d’apres les formules connues,
/O)
sn a
sn u su (u — a)
sn b
srutsni u — b)
Cela etant, il est clair qu’on peut ecrire, avec trois inddlerminees,
A, B. G.
F = —
cn a dn a cn b dn b
sn b
/«=--
G = — A - B,
cnadna sn b
_r " sn a sn(a — b)
_ Acnadna Bsn&
Or la condition
conduit a
sn a sna sn(a — b)
ffk— ga{fa— ga)
sn b (A — B)
- A 2 - C - o;
snasn(a — b)
le second p61e u = b donne semblablement
sn a(B — A)
- B 2 — C = o,
sn6 sn(6 — a)
et Ton conclut enfin de liquation F + G= o
cn a dn a
sn a
cn 6 cln6
-4- A -4- B = o.
Je remarque imm^diatement que cette derniere relation n’est
point distincte des deux autres et qu’elle en r^sulte en les retran-
chant membre a membre et divisant par A — B. En l’employanl
avec la premiere, nous trouvons, par l’elimination de B,
A 2 — a A
ou encore
[a
sn b
%— sn 2 &
sn a sn (a — b)
sn b
sn 2 a sn 2 (a — b)
-t“ G = o,
sn a sn (a — b) J
sn- (a — 6 )
Remplacant desormais G par ^ —— — G 2 , on voit qu’onaura
sn b
sn a sn (a — b)
et par consequent
sn a
„ [* srm sn/; "I ,
^ [_snz<sn({£— a) sn«sn(ii —
[ A sn a ^ B sn b ^ i ^ 1
sn«sn(« — a) ' sn«sn(a — b) sn-(a— b) J ^ ~ °
est une fonction uniforme cle la variable avec le seal p6le u — q.
Nous sommes assures de plus, par une proposition gdnerale de
M. Picard (Complex rendus du 21 juillel 1879, p. i4o, et du
19 janvier 1880, p. 128), que cette inlegrale s’exprime des lors par
deux fonctions periodiques de seconde espece. Si done onreslitue,
en faisant la substitution y= une constante arbitraire dontil
a ete disposed pour simplifier les calculs, il est certain que la nou-
velle equation differentielle contiendra, comme cas particuliers,
toutes celles dont il a etd prdeddemment question. G’est, en effet,
ce que je ferai bientdt voir; mais je veux auparavant obtenir une
confirmation de l’important tbdoreme du jeune gdometre en efTec-
tuant directement I’iutegration de cette Equation et donner ainsi,
avant d’aborder des cas plus gdndraux, un nouvel exemple du pro-
eddd ddj& employd pour I’dquation de Lamd dans le cas le plus
simple de n = i.
XXX.
Considdrons la fonction doublement pdriodique de seconde
espcce la plus gdndrale, admettant pour seul pdle a = o, & savoir
/(«)
[ , 0'IU) I
x -<^r
et proposons-nous de ddterminer to et \ de telle sorte qu’elle soit
une solution de l’dquation proposde. Soit, & cet effet, <I>(tz) le
rdsultat de la substitution de/(«) dans son premier membre. Les
coefficients de i’dquation ayant pour pdriodes 2K et afK/, on voit
que cette quantitd est une fonction de seconde esp&ce, ayant les
mdmes multiplicateurs que f(u), qui pourra, par consdquent, rem-
sentant des infmis simples et le troisieme un infini triple
aurons done
•!>(«) = 31/(m — a)^"&f{u — b)+ C f(u)-+-<Z.'f{u)-+-€'f'
et la condition = o entraine ces cinq Equations
3i = o, 2> = o, <£ = <>, c= o, r'=o,
qu’il est aise de former, comme on va voir.
Nous avons pour cela a decomposer en elements simp
produits de f{u) et f'(u) par deux quantity de la meme
-—--e’est-a-dire a cliercher les parties principa
sn« sn(K-jt)) 1 1 1
developpements de ces produits, d’abord suivant les puissai
puis, en posant u =/> + £, suivant les puissances de s
resulte de l’expression de f(u) qu’on a
f(u) — yj tK'-H u) eX «,
'Ji(u) designant la fonction consider^ au paragraphs V, pa
et par consequent
M j - j (*’ s ""“ - -ht^) “• •] c> “
= - H-X -H - (V— A 2 sn 2 oj -t- ' - ) a -+--
u %\ a J
On trouve ensuite
i cn p cl n p
( sn 2 n
et sans nouveau calcul, en remplatjant u par — e,
sn p
cn p dn p / i i -+- A 2 \
sn p \sn 1 P 3 /
sn(/> ■+■ s) sne '
Ces developpements nous donnent les formules
snasnU-jo/ < w ) = /(/>)/(“ - p) - (x -t- C \y^ —) A “) + / '
sn« sn(« — p)f ~ / (P) f( u P) - ( A- 2 sn 2 to su2 +"
cnpdnp
sn p
/(“) +
% = A f(a) —f (a),
43 =B/(6) -fib),
c=X*-A A +
sn 2 (a — 6)
tt' = A + B •
<r= o.
cnadaa cn b dn b
Ges resultats obtenus, nous observons d’abord que C' s’evanouit,
d’apr£s une des relations Lrouvdes entre A et B; j’ajoute que
l’equation C=o est une consequence des deux premieres;
par consequent, les cinq conditions se reduisent, comme il est
necessaire, a deux seulenient, qui serviront a determiner o> et X.
Nous recourrons, pour l’dtablir, a la transformation suivanle de la
valeur de QE. Soit, pour abreger l’ecriture,
G =
II =
X — G +
A — G -h
cn b dn b
sn b
cn b c)n b
sn b
^ ^X + li -i-
)(b + c +
sn a
cnadna
d n a \ ^
on a identiquement
€ = G — II -+- (A —C)(B-i-C)-/c 2 sn 2 io
sn 2 (a — b) sn 2 a sn 2 a
-+• i •+• /c 2 ,
et plus simplement dej&
QL = G — H — /c 2 sn 2 w- \ - l —r +i + ^ J .
sn 2 a sn 2 6
les valeurs de A et B' que je rappelle
sn£
A =
sna sn(a — 6)
+ C,
sn b m\b — a)
donnant
( A-C)(B + C)—
Nous obtenons ensuile, en faisant usage de ces expressions,
[~_ sn b _ ^ cn6dn6"| [" sna cnadn«~|
[ sn asn(a-6j H sn6 J [sn6 sn(& — a) H sna J
_j_ _ i ( sn h cn a cl n a snacn6dn6\ 'cnadii«ri
sn-(«. — b) sn(a— b)\ , sn-a sn 2 £> ) snn >•!
On a d’aiJleurs
t ^sn6cnadn« snacn&dn6\
sn(« — b) \ sn 2 a sn 2 b /
__ / sn a cn6 dn b -4- sn b cna dna ^ / sn 3 b cnadna — sn 3 a cn b (In b ,
\ sn 2 a — sn 2 6 / \ sn 2 asn 2 6 *
sn 2 a4-sn 2 6 cn a dn a cn b dn b
=-5-rr-;-1- I -r- A' 2 ,
sn 2 asn 2 6 snasn6
et la valeur de H qui en resulte, a savoir
sn 2 (a — b) sn 2 a sn 2 6 5
donne cette nouvelle reduction
C = G — k- sn 2 w 4--—!- j— •
sn 2 ( a — b)
G’est maintenant qu’il est necessaire d’introduire les condi¬
tions 3l=o,|B = o, c’est-a-dire A = 4r^> B = 4 ' Or, ms
f(a) f(b)
moyen des valeurs de A, de B et de I’expression
f ( x ) Q' ( T -i- W ) H' ( X ) 0' ( CO ) ^
/ (a?) ~ 0~O4-w) ~ H (a?) “ 0(w) ’
,, , , cna?dna? ,
= — A 2 sna? sn to sn(a? 4- in) - h A,
snr
\ r sn b cnodna .
K — ^ — -;- j— 4-1- A -2 sn a sn to sn( a H- to),
sn a sn(a — b) sna v
_ sn a cn6dn6
sn b sn (b — a) sn b
4- A 2 sn b snu sn( b 4- to).
Cela etant, une reduction qui se presente facilement donne
cn b dn h sn a
sn b sn(a — b)
4- k- sn a snu sn (a 4- to)
[
sn b sn(# — b)
[ sn b
sn«sn(6 — a)
-h k- sn# sn<o sn (a -+- to )J
-t- k- sn b sn to sn ( b -+- to) j •
Je considererai cetle expression comme une fonction double-
ment p^riodique de to, ayant pour infinis simples to = iK' —a,
to — iK !—&, et pour infini double to = j'K/. Elle presente celle
circonstance que les r^sidus qui correspondent aux infinis simples
sont nuls. En effet, des deux facteurs donl elle se compose, le
premier s’evanouil en faisanl to = Hi.' — et le second pour
to — zK/— a. II en resulte que le residu relatif au troisieme
p6le to = iK/ est egalement nul, de sorle qu’en decomposant en
elements simples on oblient
6'fto)
(to) '
Posons, afin de determiner la conslanle, to = o; nous trouve-
rons finalemenl
G = /f 2 sn 2 to —
G =
- const. = k- sn'-a
sn 2 (a— b)
et de la resulte, comme il importait essenliellemenl de le ddmon-
trer, que liquation GL = o est une consdquencc des rela¬
tions .31 = o et IB = o.
XXXI.
La determination des constantes to et A s’elTectue au moyen des
deux Equations
sn b cntidna
X-C =
X •+- C =
sna sn(a — b) t sna
sn a cn b tin b
sn b sn (b — a)
X -2 sn# sn to sn(a •+• to),
-+- X: 2 sn 6 sn to sn (6 -t- to),
que nous avons mainlenant a traiter. En les retrancliant et aprfes
une reduction qui s’offre facilement, elles donnent d’abord
X: 2 sn to [ sn b sn (b -+• to) — sn a sn ( a -t- to) ]
sn a cn a dn a •+• sn b cn b dn b ~
-a-rrrr—rrrzr- 2 - aG =°>
rectangle des periodes aK et su'K', que deux valeurs pour
connue. En efifet, la fonction, qui au premier abord parail s
les trois poles to = iK' — a, to = iKJ — b , to = iK' , ne pos
en realite que les deux premiers, le rdsidu relatif au troisii
qui est un infini simple, dtant nul, comme on le verifie aiserr
Ce point dtabli, nous donnerons, pour ^viter des longueur
calcul, une autre forme a liquation, en employant l’ide
suivante
snisn(i + w) —snasn(a + w)
= sn (b — a) sn (a -+- b -4- to) [i — /t 2 sn a sn b sn(a -+- to) sn ( b -H u
a laquelle je m’arrele un moment. Elle est la consequence in
diate de la relation memorable obtenue par Jacobi, dan
article intitule : FormuLe novce in theoria transcenden
ellipticarum fundamentales ( Journal de Crelle, t. XV, p.
et Gesammelte Werke , t. I, p. 33^), a savoir
E(w)-(-E(aj-H- E (6 ) — E (tt. + a+ b)
— k- sn(u-h a) sn (u -h b) sn( a -h b)[i — /t 2 sn sn a sn 6 sn (it -H a -
Qu’on change en effet a en — puis u en a + to, on aura
E(a-t-to) — E(a) -+- E( 6) — E(6 -t- to)
= ^st)(o sn (b — a) sn(a b -f- to )[i — k* sna so b sn (a-t- to) sn(6 -
et il sufflt de rcmarquer que le premier membre, etant la <
rence des quantites
E(a -+- to) — E(a) — E(to), E(b ■+■ to) — E(6) — E(to),
peut etre remplacd par
k % sn to[sn& sn (b -+• to) — sn a sn (a -+- to) |.
On y parvient encore d’une autre maniere au moyen <
relation prdc^demment demontr^e
° = [ sn’i, sn" a - 6) + ^ 5 “ a s " “ « )J
f sn& 1 I
x c,w A —-4- A- 2 sn b sn to sn (b -t- to) = X: 2 sn 2 to-——
Lsnasn(6 — a) x 'J sn 2 (a
sn6sn(a-t- to) — sna sn (6 -+. to)
= snto sn(6 — a) [i — A 2 snasn6sn(a-i-tn)sn(6-i-to)],
ce qui tlonne ]a forraule propos^e en changeant a en — a : b en — b
et to en to a + 6.
Gela pos6, soit u — to + ~ -; faisons aussi, pour abre-
ger, a — a 6 , (5 = ---; nous trouverons, par cette formule,
sn to [sn b sn (b -+- to) — sn a sn(a -+- to) J
= — sn2[3sn(o-+-a)sn(o — a)
x [r — A 2 sn(a -t- P) sn (a — P) sn(o -|- P) sn (u — p )].
Or, on voil que le second membre devient ainsi une fonction
rationnelle de sn 2 u; on peut, en outre, supprimer au numerateur
et au d^nominateur le facleur i —/c 2 sn 2 usn 2 a, de sorle qu’il se
rdduit a 1’expression
snmp(i — A 2 sib(3) (sn 2 o — sn 2 «)
~ (i — A 2 sn 2 a sn 2 p ) (i — A 2 sn-’o sn 2 p)
liemarquant encore qu’on a
sm P(i — A* 2 sn’>p) = % sn(3 cnp dn p,
nous poserons, pour simplifier l’^crilure,
i — A 2 sn 2 a sn 2 p / sn a cna dna H- sn b cn b dn b
J ~ A 2 sn p cn p (In p \ sn 2 a— sn 2 /; )*
et l’equation en snu sera simplement
- = — L.
sn 2 o — sn 2 a
On en lire
„ sn 2 a — L
i — A 2 sn 2 u sn 2 P
cn 2 a-)-dn 2 pL . f) _ dn 2 aH-A*cn s pL
“ u = i — A 2 sn 2 p L ’ cn " u = , —T / C 2 sn 2 pL ’
i — /c 2 sn 2 p L
et, si l’on fait
jff = (sn 2 a — L) (cn 2 a 4- dn 2 p L) (dn 2 a h- A 2 cn 2 {B L) (i — /c 2 sn 2 pL).
ces valeurs donnent
T _ n cn2 0 I.'
snu cno dn
a. . JTk LCl CUCL JC ICpiCllUS, [JUlll ICj ajUUlCl
membre a membre, les Equations
X-C =
X + C =
sn a sn (a — b ) sn a
sn a cn b dn b
sn £ sn ( 6 — a) sn 6
-+- k- sn a snoi sn (a -+- 10 ),
4- k' 1 sn b snto sn ( b -t- to),
etj’obtiens, corame on le voit facilement,
'iX = A -2 [sn a sn sn {a •+• w) -+- sn6 sn w sn( b -+- u>)],
ou bien encore
X = k -[ sn (a -+- (3) sn (u — a) sn (u -f- (3)
-+-sn(a — P) sn(o — a) sn(u — P)].
Maintenant, un calcul sans difficulty donne en premier lieu
Fexpression
k- sna cna dna( sn 2 u — sn 2 (3)
(i — k 2 sn 2 u sn 2 a i ) (i — /r 2 sn s x sn 2 j3 )
A: 2 sn u cn u dn •->( sn 2 (3— sn 2 a)
( i — k- s n 2 u sn 2 a) (i — k- sn 2 u s n 2 [3) 3
•on en conclut ensaite la valeur cherchee, a savoir
^ _ k- sna cna dna[sn 2 a — sn 2 3 — (i — k 2 sn 4 (3 )L]
(i — A' 2 sn 2 a sn 2 P) [ i — k- sn 4 a -+- A -2 (sn 2 a — sn 2 \i) L]
_ A~- (sn 2 [3 — sn 2 a) \/£ _
(i — k- sn 2 a sn 2 (3) [i — /c 2 sn 4 a -+- A' 2 (sn 2 a — sn‘-p)L]
Cette expression devient illusoire lorsqu’on suppose d’abard
i — /<r 2 sn 2 asn 2 (3 = o, c’est-a-dire
ou bien
puis en faisant
a -+- p = a = i K',
a — p = b = j'K',
i — k- sn 4 a •+- A: 2 (sn 2 a — sn 2 (3)L = o.
La premiere condition, ayant pour effet de rendre infinis les
coefficients de liquation diflfbrentielle, doiL etre dicartde; mais la
SUH QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
355
seconde appelle l’attention, et je m’y arreterai un moment, afin
d’obtenir la nouvelle forme analytique que prend 1’intdgrale dans
ce cas singulier.
XXXII.
Remarquons en premier lieu que cetle condition se trouve en
posant
_ o srr^a —ij ___
' /c 2 sn 2 a 7
n 2 a — L
- k'- sn 3 (JL
c’est-a-dire u = a -+- fK.', et donne par consequent to — Gela
dtant, je fais dans la solution de l’intigrale, qui est reprdsentde
par la formule
r, 0'(wn
6(u.-+-to) I"
H(u)
z'K'-f- 8,
e dtant infiniment petit, et je ddveloppe suivant les puissances
croissantes de e la difference l— • Or, 1’expression prdc<$-
demment employee
■iX = A' 2 [sna snto sn(a 0- to) -+- sni snto sn(7> to)]
donne facilement
X
cna dna
2 sn a
on b fin b
2 sn b
nous avons d’ailleurs
e’(to) __ n'(e) i* _ i ^
0 (to) “ 11 (e) 2 K 8 2 K
et l’on conclut, pour e = o, la limite finie
e'(co) i-it cna dna cnfcdn6
A ~ 0 (co) = IK _ 2 sn a 2 sn b
_ 1ZE ( 2-H / K') . ,
Remplagant done par ' , on voit qu au
lion do In fnnr inn rln dilft Tient n^riodiciue de seconde esp&ce
356
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
venons a l’autre solution en employant, au lieu
la valeur egale et de signe contraire u = —a-.
tire to = — 2 a — i'K/= — ci — b — «K ; , et par co^ S| ’
sn 2 a -I- sn 2 b 0'(to) __ _ H'(
07 ^)
\ =
2 sn(a -+- b) sna sn6
H (a-
seqi
Des reductions qui s’offrent delles-memes en
formule
eni
H'ffl + fe) ^ H \a) H '(b) sn b ^
II(a-f-6) 11 (a) li (6) snasn(a + 6) '—-
donnent ensuite
0'(to) _ H'(a) II '(b) cnaclna cn.6 cl n/;
0 (to) H (a) H (b) 2 sna 2 sn~2T"
La seconde integrate devient done
H(,
H(«l
IV UA
H(6)
en b it n It
J";
et l’on voit que, pour le cas singulier considere, la solu
rale est represcntee par la relation suivante,
y e
= G + G
, H (u — g — b)
11 (m)
XXXIII.
Un dernier point me reste maintenant a Lraiter ; j’ai
montrer comment les Equations difF&rentielles ob tenues
graphes XVII et XVIII se tirent comme cas particulier
tion que nous venons de considerer, ou plutot die ce
r^sulte si l’on change u en u + f’K/, a savoir
/'-[&- sn u snasn(a — a) + A: 2 sn u sn6 sn ( u — b)]y r
-t-j^A/c 2 sn a sna sn(a— a)-t-B A: 2 snttsnfi sn(a — b)-i- ~ n -> £ -^rZT[
„ CO ( fM + a) -^D.ioffO.O,-, G'O ^ s (u — a)
- ‘ —*’
„ C0 ( (tf-t-a) -£n«iogO t 0, +t C'O 3 -,(u — a) ^>„iogO s O s+ ,
Xa= O.U) 6 ' + -Mo)-
On voit aisdment que les quantites qni jouenl le role des con-
stantes to el to' ont pour so mine, successivement, K. + iK!, «K/, K.
C’est, en effet, la consequence des relations d4ja rcmarquees
-h t'K'j = or 0!_ 5 («) e >K
0,(MH-K) S =ff , 0 3 - i (M) 1
0,( u + K -f- i K') = a" 0 2+i ( a) e “ui (2 “ H " K >.
D’apres cela, je ferai successivemenl a + b = K + tK/, i’K/, K;
je poserai en outre, en cliangeant d’inconnue dans ces divers cas,
j = ze
— - D„ log da a
z e 2
Or, en considdranl, pour abrdger, sculemenlle premier de ces cas,
voici le calcul et le resullat auquel. il conduit. La condition sup¬
posed b = K. + i Kd— a donne d’abord
sn h —
dn a
k cn a
sn(tt — b) = —
dn( u -1- a)
k cn( u - 1 - a)
sn (a — b) = —
dnaa
/ccnaa’
et nous obtenons, pour la transformde en z, liquation suivante :
z" — | k 2 sn u sn a sn ( u — a)
-1- P /c 2 sn u sn a sn (u — a) — Q —
[_ v cn«cn(«
sn u dn a dn (u -+- a)
cn a cn (u -+- a)
sn u dna dn (u -
cn a
■ a)
R * = o,
ou j’ai fait, pour abidger,
~ „ snadna _ sn 2 a.dn 2 « /c 2 cti ! a« „„
Q = B ~- R =- <^ -1- — C 2 .
2 cn«
1 1 cn a
4 cn 2 a
dn 2 ia
Reprdsentons ensuite par ~ le coefficient de z ; au raojen de
formule dldmentaire,
sn (a — a) cn(a-h a) =
nous obtiendrons
sn a cn a dn a — dn a sn a cn a
i — k~ sn 2 a sn 2 a
<01 = P£ 2 sn u sn a(sn a cn a dn a — dn u sn a cn a)
~ sn a dn a , , , .
— Q- (dn a dn a — /c 2 sn a cn u snacnaj
■ -+- R(cn u cn a — sn a dn u sn a dn a),
ou bien, en reunissant les termes semblables,
<01 = (P -t- Q)/c 2 sna dn a sn 2 a cn a
— ( P/c 2 sn 2 acna + Q — - . a - +Rsnadnfl| snudnii + Rcnacni
Soil maintenant G = o — snadna cette n0LlV elle forme de
2 cn a
constante donnera, apres quelques reductions,
d = — k- cn a sn 2 a cn a
-+- £sna dna 8 2 -t- cna(i — 2 /c 2 sn 2 a) 8
2 2 (X n
-+- k 2 sn 3 a dna---sn a dna sn u dna
dn 2 2 a J
— Ten a 8 2 — snadnaS — ——?- n 2 g cnal cn a.
L dn 2 2 a J
Or, en faisant successivement a = o, puis a = K, on tire de
les Equations
cn uz "— D, t cn uz' — [£ 2 sn 2 a cn a — sn a dn a8 -+- (8 2 — A ! )cn «]2 = i
sn u dn uz *— sna dn uz '— [cna8-i-snadna8 2 ]^ = o;
ce sont prdcisement les relations en X, et Y, des paragrapl
XXY et XXVI, en supposant dans la premiere 8 = 8< et dans
seconde 8 = — 8'.
XXXIV.
Les fonciions clonblement periodiques de seconde espece avec
urx pole simple, qii’on pourrait nommer unipolaires , donnent,
comme nous l’avons vu, la solution decouverte par Jacobi du pro-
bleme de la rotation d’un corps autour d’un point fixe, lorsqu’il
n’y a pas de forces acceldralrices. Ces raemes quantites s’olfrent
encore dans une autre question mecanique importante, la recherche
de la figure d’equilibre d’un ressort sounds a des forces quel-
conques, que je vais traiter succinctement. On sait que Binet a
reussi lc premier a ramener aux quadratures l’expression des
coordonndes de 1’eiastique, dans le cas le plus general oulacourbe
est a double courbure ( Comptes renclus , l. XVIII, p. ni 5 , et
L. XIX, p. i). Son analyse et ses r^sultats ont ete immediatement
beaucoup simplifies par Wantzel ('), et j’adopterai la marcbe de
l’eminent geometre en me proposant de conduire la question a son
Lerme et d’obtenir explicitement les coordonnees de la courbe en
fonction de 1 ’arc. Mais d’abord je crois devoir considerer le cas
particulier ou I’elastique est supposde plane et ou l’on a, en de-
signant I’arc par s ( Mecanique de Poisson, t. I, p. 608),
, 2 c- dx , (7 ax — x~) dx
dx = . . , dy = —= : : ■■■ — ■— — — •
c v — (■lax — a? 2 ) 2 y/-I c ' f — — # a ) s
Soit alors
x — a — \J% c ! +a ! /i — X 2 , /c' 2 = ~ -+-
on obtient facilement
, cdX
ds — - — . - . — ■>
\/(i — X 2 ) ( 1 — /c 2 X 2 )
de sorte qu’on peut prendre X = sn ^ * ~° ^ ’ s o etant une cons-
tante arbitraire. Mais il est preferable defaire X== sn + K-^;
( l ) Wantzicl, enlevd: k la Science par une mort prdmaturdie k l’&ge de 37 ans,
cn i 84 o, a laissd d’excelleols travaux, parmi lesquels un Mdimoire extr^mement
remarquable, sur les nombres incommensurables, publid dans le Journal de
\ xv n t 5 i fit 11 eN t sur l’intdieration des equations
cus xiiipunauL qux a eu-i con suit; re pax xroissun, uu v esi suppose
une ligne dont la longueur est tres grande par rapport a a, s el a\
En premier lieu, les formules
, s n z
cn ( z-\- K) = — A' -—,
dns
A 2 = -
i
a 2
4 c 8
donnent, pour l’abscisse,
y/4 c ,v — a k
La valeur de l’ordonnee, a savoir
-)
\ c
q .c^y— j" ( 2cix — x-) ds = J' |^a 2 — (2c’-+a ! )cn 2 |-—tfs.
s’obtient ensuite immddiatement en employant la relation
j' A 2 cn 2 (s K) dz = k-z -+- D- log Al( s) 3 .
Or ces formules conduisent corame il suiL aux developpemput**
de x ety suivantles puissances d^croissantes de c. J’emploie a rri
elfet la s 4 rie
sn z A 2 — A' 2 , x — i G A 2 A' 2
- — z --- z* H-* b -H . . .,
d ix ^ 6 120
et je remarque qu’en designant par F /2 (A) le coefficient do 6 ,
qui est un polynome de degr 4 n en A 2 , on a la relation suivunt**
Fn(A') = (— i) n F,j(A).
Nous en concluons facilement pour n pair l’expression
F ft ( A) = a 0 -f- ai(AA') 2 -*- a 2 ( AA'-+- a, ( AA')",
et pour n impair
(A) = (A 2 — A' 2 ) fp 0 + (AA') 2 -+-..j 3„_ 1 (AA' j ) ,l " 1 "l.
Cela dtant, les formules
SUH QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
36 1
montrent que le terme general F„ (/f)s 2 " +l , qui est de l’ordre ,
lorsqu’on remplace z par s - , devienl, si l’on suppose n impair,
de l’ordre c ~.j • Nous pourrons done ecrire, en negligeant ~ dans
la parenthese,
x
s — 5 0 +
a-(s — *„)»
i ic*
(s — .fo ) B 1 _
4 o c* J
Remplagons enfin le facteur —— par i — ^ > et prenons s 0 = ct\
il viendra, avec le meme ordre d’approximation,
x — s — --^ [3(.9 — a ) h — ioc ! (s — a) 2 + 15a 1 1.
i 20 c* L
Le developpemenl de rdsullc ensuile de l’cquation
X
/c 2 cn 2 (s -f- K) r/s
/c-k' 2 (/i- — k'~) ..
3.5 ' ZJ
/, 2 7/ 2 \-k*k"-)
■> • 7 • 9
mettanl -—- au lieu de z cl ddterminanl la conslanlc amende par
l’inlegralion de manierc qu’on ail y = o pour s — a , on cn lire,
par un ealeul facile,
2 C 2 7 = as*-
%a 3
3
(s — a) 3
420 c*
[3(s — a)'' — 14 a 2 (s — a ) 2 + 35 a*].
Le second membre, dans celie expression de l’ordonnee, est exact
aux termes pres de 1’ordre com me la valeur trouvde pour
l’abscisse.
XXXV.
Les equations dilTdrenliclles de 1 ’dlasLique, dans le cas le plus
gdndral od la courbe est ii double courbure, se ramdnenl par un
ae x, y, z et a, p, y cies constantes done les aeux premieres soi
essentiellement positives.
Cela ctant, j’observai en premier lieu que, si on les ajoute apr
les avoir mullipliees respectivement, d’abord par a?', y 1 , z' : pu
par x" : y", z‘' : on obtient
a( a?' 2 •+• y 2 -t- -’ 2 ) -H — xy ’) H- yz' — o,
a(x' cc" -h y’ y -+■ z'z") •+• [3( x" y — scy") -+- yz" = o.
Or la premiere de ces relations donne, par la differentiation,
2a(a'a?’ + //+ z'z") -+- $(x"y — xy") -+- yz" — o;
nous avons done
d’ou
x'x"+y'y"+ z'z" = o,
x'-^-y'- -+■ z ' 2 = const.,
et l’on voit que, en prenantla constante 4 gale al’unite, onsatisfc
a la condition que l’arc s soit, comme on l’a admis, la variable i
d^pendante.
Cela pose, et apres avoir berit les Equations precedentes dece
maniere,
$(xy'—x'y) =yz r a, j l{xy"—x"y) = y z’\
j’en d^duis
P[(a*y — x'y)z*— (xy"~ x"y)z’] = a z" \
mais le premier membre, £tant 4 crit ainsi,
Pf (y'z" — yz')x -l- (z'x "— z"x')y],
se r^duit a
$\(ax'-+- fiy)x -h(a/ — $x)y] = a fi(xx'-+-yy'),
de sorte que nous avons
$(xx' + yy’) =z",
puis par l’int^gration, en dbsignant par 8 une constante ar
traire,
tions a inl^grer par celles-ci,
P(^ 2 +J 2 ) = 2(?-0),
${xx'+-yy') =
x'*-\-/*= i —
3 O/ — x'y) — yC + a.
Or l’identitd
(a7 s -t-jK 2 ) (^ ,2 -t-7' 2 ) = (xx r -f-yy’ ) 2 + (xy 1 — x' y) 2
donne en premier lieu
^ =2 p ( j;_3)(i-^)_(^ Hra p j
et l’on trouve ensuite facilement
x' -+- iy' _ *'(7^ + a ) .
x -+- iy o. (£ — 3 ) 5
ces resultats oblenus, les expressions des coordonnees en fonclion
de I’arc s’en deduisent coniine il suit.
Soient a, b , c les racines de liquation
o.p(!;_3)(.-^)_( T?H _ a) 2 = 0>
de sorle qu’on ait
^ = - 2 p(^-a)(?-6)(C-c).
Ddsignons aussi par £ 0 une des valeurs de £, qu’on doit, d’aprtisla
condition x'- -|- £ 2 = i , supposer comprise entre +1 et — r.
Le facteur (3 dtant posilif, comme nous l’avons dit, le polynome
a( 3 (^ — a) (£ — b)(K — c) sera n^gatif en faisant £ = £ 0 . Mais il
prend pour £ = + x et £ ==— l les valeurs positives (y-f-a) 2
et (y — a) 2 ; par consequent, les racines a, b : c sont r^elles, et, si
on les suppose rang^es par ordre d^croissant de grandeur, a sera
compris entre + i et b entre et — i, et c entre — i et — oo.
Remarquons aussi que, ayant pour z = £ un r^sultat positif, il est
n^cessaire que cette constante S soit sup^rieure 4 a on comprise
entre b et c. Mais la relation x- 4 - y~ = a(£ — 8) montre que la
seconde liypoth^se est seule possible, car dans la premi&re # 2 + i y 2
on aura
a — c
k'
b — c
a — c
—6)(S —c)=-(a-6)*(a —c)U*(i-U*)(r —A*U*),
et de l’equation
nous conclurons
U '. = (±Zil! (l _ U!)(l _A-.U= ) .
Faisons done n - ■ a puis, en d< 5 signant par unr
constante, u = n (s — s 0 ), on aura
U = snn, £=a —(a— 6)sn 2 n,
et par consequent
n(z-z 0 )=J^ ^du = \a — {a~c )~J «+-(« —
etant la valeur arbitraire de z pour u = o.
Considerons, pour obtenir la valeur de + F expression
^ " g)”^ < I U ^ en re presente la d^riv^e logarithmique. GV*U
une fonction doublement periodique de la variable u, ayant puur
p6les d’une part u = i K' et de l’autre les racines de l’dqualiou
^ — S = o. Mais des deux solutions u — dr w qu’on en tire unr
seule est en efFet un pdle, comme le montre la relation
C 2 +(T^a) 2 =2P(!;-S) (r —
d’ou l’on deduit
S' = ± i(Y 8 -+- a),
en faisant £ = §. II en rdsulte que, si nous prenons pour u =
la valeur ^ = -t- i(yd + a), on aura
X' — — ifyS + a) pour
voit que le residn cle la lonction cjui correspond an pole u — o)
est + n ; le residu relatif a l’autre pole a = i¥J est done —/>, el,
par la decomposition en elements simples, nous obtenons
+ = n r x __ £00 H'(u — co) 1 _
2 (£ — o) L B ( a ) H ( u — co ) J
La constante X se determine en supposant u — o on ^ = «, ce qui
donne immediatement
et l’expression cberchee se conclut de la relation
D,log(a;-hi» = nD M log(af-M>) = #i [x ~ ‘
an moyen d’une fonclion doublemenl periodique de seconde
espece
oc + iy — {xo+iyo)
0(o) II(co — u) e^ u
0 ( u ) II (co)
Dans cette formule, x 0 et y 0 designent les valeurs que prennenl
x et y pour u = o ; elles sont liees par liquation
P(^o+7o) = 2(« - 8)
et ne contiennent, par consequent, qu’une seule indeterminee. En
yjoignantles constantes z 0 , s 0 et 8, on a done qualre quantites
arbitraires dans l’expressiongeneraledescoordonneesdereiaslique.
A regard de S, nous avons vu que sa valeur doit rester comprise
entre b et c ; de 1& resulte que sn 2 to, determine par la formule
sn 2 w = ~—a pour limites i et~ On peut ecrire par suite
u> = K.+ fu, u etant reel, et poser
a? 4 - iy = (x 0 -h iy 0 )
0(o) Hj (to — u) e^ u
0(m) H,(io)
Changeons i en — i, ce qui change X en —X; on aura
x — iy — (x Q —iy 0 )
&(o) H t (io 4- u) e~^ n
donnent la solution complete de la question proposee.
XXXVI.
Les expressions des rayons de courbure et de torsion, R et /•, se
calculent facilement, sans qu’il soitbesoin d’employer les valeurs
des coordonnees, etcomme consequence immediate des equations
differentielles
y z "~ y" z'= ax'-h {iy,
z'x"— z"x'=ay—$x,
x' y" — x" y' = a/+y.
On trouve, en efFet, apres les reductions qui s’oflrent d’elles-
memes,
■p = (ax'-v- (ciy' — (3a?) 2 -+- (az'-t- y) 2
= 2P(^ — 0)+ T 2 _ a 2
= 2 . p[a — 8 — (a — b) sn 2 m] -+- y 2 — a 2 ,
puis
x' x" x"
y f y = — 8) - (3(a§ + Y) H-a(y 2 — a 2 ),
z z" z m
et, par consequent,
— _ — 5) — P(aS-i-Y)-t-a(Y 2 — <* 2 )
/• 2 (3 (£ — 8) - 4 - y 2 — a 2
Cette expression du rayon de torsion conduit naturellement a
envisager le cas particulier ou elle devient inddpendante de ‘C,
et a la valeur constante r = y Ca condition a remplir a cet efl'el.
etant
2P(a8 + y) — <x(y 2 — a 2 ) = o,
je remarque que, en remplacant l’indeterminee Z, par — dans
regaiite
(Y 2 — a2 ) l 2 P( aS -+- Y) — a (y 2 — a2 )J = 2 P(y-'-« a ) (y -+■ ^a) (y + ca),
par ou 1’on voit que l’une des racines o:, 6, c est alors egale a — -•
Mais notre condition donne
ainsi l’on doit poser
Y.
a ’
= a, b ou c,
et voici la consequence remarquable qui r^sulle de la. Nous avons
trouve tout a l’heure
- = 2p[a — 3 — (a — 6)sn 2 «J -h- y 2 — a 2 ,
ou plutol
— = ap(a — o- ~2$(a — b) sn 2 u;
or cette expression montre que le premier cas, ou Ton suppose
8
‘ 2 -Y 2
doit etre rejete, commc conduisant a une valeur negative pourR 2 .
Mais les deux auLres peuvent avoir lieu et donnenl succes-
sivemenl, en employant la valeur du module k- = ——->
™ = ap(« — b) cri 2 ?(,
~ = u| 3 (a — c) dn 2 u.
Le rayon de courbure devient done, comme les coordonn( 5 es
elles-memes, une fonction uniforme de 1’arc, en m£me temps que
le rayon de Lorsion prend une valeur consLante. Ces circonstances
remarquables me semblent appeler l’atlention sur la courbe qui
lesprdsente; mais ce serait Lrop m’etendre d’essayer d’en suivre ]es
consequences, et je reviens & mon objet principal, en donnant une
nprniAT*A rPmar/Yii/i cut* In ^nrMYinl mi rlac tim ahnne lin/icnrAc "Prvn/1 r»o
368
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
quelconque dont les integrales sont des fonctions doubli
periodiques de seconde espece, unipolaires (').
XXXVII.
Soit, comme au paragraphe XXX (p. 347),
/O) =
H'(o)0(^ + t o)
H(k)6(«d)
designons par fi(u) ce que devient cette fonction quand on 3
place les quantites u>, X par co { -, A,; nommons enfin p t - et
multiplicateurs. Si l’on pose
y= Cifiiu)-*- Csf t (u)~h. . .+ C a f n (u),
liquation difterentielle lineaire d’ordre /z, admettant celte ex
sion analytique pour integrate, se pr^sente sous la forme suiv
I y f\ O) /a O) ■■■ fn (.It) I
\y f'u{u) f 2 (u) ... f' a (u) I
I r i /fO) /“(“) • • • ///(«) I
D’apres cela, j’observe que, le d<Herminant etant mis sc
forme
(u) y n ~ l H-. . .-h 4>,i(u) JS,
les coefficients $i(u) sont des fonctions de seconde espece
multiplicateurs p, p 2 ... p«, p, p0 • • • p^, ayant le p 61 e u = 0.
l’ordre de multiplicity n 4- 1, sauf le premier $ 0 ( u), oil l’ord
multiplicity est n. C’est ce qu’on voit immedialement en re
chant la seconde colonne du determinant de celles qui sui
attendu que les diffdrences / 2 (m)—/,(&), / 3 O)
ainsi que leurs demies, ne sont plus infinies pour u = o.
pouvons done poser, comme je l’ai fait voir ailleurs (Sur V
( l ) On doit 4 M. de Saint-Venant un travail important sur les flexions
de M. Borchardt, t. LXXXIX, p. io),
Go II (u — a i) H( a — «■>)... H(« — a n ) eff »«
* t( “)=- mrr) -
les quantity G 0 , a i etant des constantes, puis d’une maniere
semblable pour les coefficients suivanLs,
^ ( \ _ G; H (— a\ ) H ( u — a\ ’>... II ( u — a l n+ ,)
II en resulte qu ! en decomposant en elements simples les quo¬
tients qui sont des fonctions doublement periodiques de
premiere espece, on aura
*/(«)
*o(u)
= const. -+-
A | II' ( u — a\)
H ( u — a\)
avec la condition
A„ Wju-a,,)
II (« — a n )
A 2 M'(a — )
II ( a — ci<i)
A„ Tl'Iii)
ll <u)'
Aq — — (Ai -H A 2 4-... -f- A, t ).
C’est done la generalisation clu resultal trouve au para-
graphe XXV 11 I (p. 343 ) pour les equations du second ordre,
et il est clair qu’on peut encore ecrire
®i(u) A,sn«!
■ T ~r dr = Const.-|---
< Po(«) snusn(u — ct\)
A 2 sn A„ sn a„
_l---- -t- . , . ---- •
snttsn(tt — « 2 ) sn«sn(u— a n )
La determination, des constanles a„a 2 , qui entrent dans
ces expressions des coefficients de liquation lindaire, par la con¬
dition que les solutions soient des fonctions uniformes, est une
question difficile et importante, que je n’aipas abordee au del& du
cas le plus simple de n = 2; je me borne a donner la forme ana-
lytique generate de ces coefficients et 4 observer que, chacune des
fonctions fi{u) contenantdeux arbitrages, liquation difFerentielle
en renferme en tout in. Les remarques que j’ai & presenter oat
un autre objet, comme on va le voir. Je me suis attache 4 cette
donner Vindication d’un type special, a distinguer et a caracteris
de maniere qu’on ait ses analogues, si je puis dire, pour un or
quelconque. Introduisons done la condition <& 0 (w) = const. p<
amener la disparition des points a apparence singulicre a =
..., a /; , et posons, a cet effet, les n + r conditions
a\ — o, a 2 = o, a n — o, go=°-
J’observerai, en premier lieu, que, dans ce type partial
d’equations, le nornbre des arbitraires se trouverdduita 2 n —(/i-|-
e’est-a-dire a n — 1. Je remarque ensuite que, les fonctions <I‘ f
ayaut toutes les m£mes multiplicateurs, ces multiplicateurs ser
necessairement 1’unite, puisque l’une d’elles, <l> 0 (a), est une cc
tante. C’est dire qu’elles deviennent des fonctions doublcm
pdriodiques de premiere espece, ayant pour p6le unique u =
avec l’ordre de multiplicity maximum n-\- 1. Nous avons,
consequent, 1’expression
&i(u) = a-\- b-
-c D„ -
que la consideration suivante va nous permettre encore de s
plifier.
Et, d’abord, il resulte des expressions de <& 0 (w) et <&, («), s
forme de determinants, qu’on a, en general,
4>i(«) =— D„
La condition <& n (w) = const, donne done
4>1 (ti) = 0 ,
et l’on voit que l’equation d’ordre n : analogue a celle de Lam
la forme
y n -h •. • -+- %> n (u)y = o.
Je ferai maintenant un nouveau pas en appliquant l’un
beaux theoremes donnas par M. Fucbs, a savoir que le point
gulier efFectif u = o doit dtre, dans le coefficient un
dont l’ordre de multiplicity ne dypasse pas i. pour que l’intyg
coefficients, en remplacant u par u- t- iK', afinde nous rapprocher
autant cjue possible de l’equation de Lame,
f P 2 (a) = a 0 -+- a t sn - u :
4> 3 (u) = (3 0 -+- §1 sn 2 u -+- (3 2 sn 2 n,
<1 h(u) = Yo -+- Yi sn 2 u -t- D„ sn 2 u -+- •yaP® sn 2 n,
La question de determiner les constantes a 0 , a,, ..., de manifere
& realiser completement la condition que Pintdgrale soit une
fonction uniforme, oflre, comine on ie voit, beaucoup d’intdrdt.
Elle a fait le sujet des recherches d’un jeune geometre du talentle
plus distingue, M. Mittag-Leffler, professeur a 1 ’CJniversite d’Hel-
singfors, et je vais exposer les resultats auxquels il est parvenu.
XXXVIII.
Considerons en premier lieu les equations du Iroisicme ordre,
que nous savons devoir contenir deux constantes arbitrages. Elies
presentent deux types distincts, et l’un d’eux, decouvert anLe~
rieurement par M. Picard, a offert le premier et memorable
exemple de l’integralion au moyen des fonctions elliptiques cl’une
equation differentielle d’ordre superieur au second ('). C’est
l’equation
/"-f- (a — 6/c 2 sn 2 u.)y'~ 1- [ 3 y = o,
a U quelle on satisfait de la manifere suivante.
Soit
E(u-
Q(u)
r •> flwi
et posons, comme au paragraphe V,
£2, = /c 2 sn to cn to dn to.
Q s = k 2 sn 4 ai
a(/c 2 + **) ,.
7 — 27 . k 2 -h 7 k 4
45 1
(') Sur une classe cPequations differentielles (Comptes rendus, t. XC,
y=Ce^( - — - Qe - ^ Oj e 2 — i £},e 3 — ...
\ 6 2 3 8 -
i
G designant un facteur constant. Les quantites to et X se deter¬
minant au moyen des relations
3 (X 2 — Q) + a— 2(1-h* 2 ) = 0,
2X 3 — 6 XQ — 4 — [3 = o,
et il a ete demontre par M. Picard qu’elles admettent trois sys-
temes de solutions, d’ou se tirent trois integrates particulieres et
par consequent l’integrale complete de l’equation considdree.
Le second type qu’il faut joindre au precedent pour avoir, dans
le troisieme ordre, toutes les equations analogues a celle de Lame
est
y m -+- (a — 3 /c 2 sn 2 u)y’-t- ((3 -+- y/c 2 sn 2 u — 3 /c 2 sn u cn a dn u)y = 0,
avec la condition
3 (« — 1 — k -) -+- y 2 = 0.
II presente cette circonstance bien remarquable que, dans Ins
trois integrates particulieres, la constante X a la meme valeur, &
savoir : X = — Cela etant, to s’obtient par la relation
aX 3 — X( 3 Q — 1 — /c 2 ) — tti— p = 0.
En passant maintenant au quatrteme ordre, on obtienl qua Ire
equations A, B, C, D avec trois constantes arbitraires, et pour
chacune d’elles les constantes to et X se determinent ainsi quo jo
vais l’indiquer.
A.
y iy - 1 - (a — 1 a A : 2 sn 2 u)y" - 1 - $y'-i- (y -+- 0/c 2 sn 2 u)y — 0,
avec la condition
2 a — 8 (x -+- /c 2 ) f -+- S = 0 .
Les relations entre to et X sont
4X3— X(jaQ 4 - 8 ) — 8 -+- p = 0,
90X v — ( 54 oQ -t- i 5 o)X 2 — 720i^X — 270Q2-+-1 5 SO
,~S/. , 7,2\_, / Q / • _ , Z-i'i _ «
B.
y iy -+- (a — 8 A 2 sn 2 u)y" ([3 -t- yA 4 sn 2 u — 8A 2 sa u, cn u dn u)y'
4- (8 -+- eA 2 sn 2 « — '(A* 2 snacna dn u)y = o,
sous les conditions
4e = y 2 , y 3 4- 8y(a — 2 — 2A' 2 ') -+- i6(3 = o.
On a ensuite
48( A 2 — 0) -+- 12 Ay -+- a4 tt -+• 3y 2 — 64(H- A 2 ) = o,
120 A 4 720A 2 Q — 960A— 36o£2 2 — 60(A 3 — 3 A Q — 2 £2i)y
— 15(A 2 — ll)y 2 —1208 —10(1 4- A 2 )y 2 4- 64(i — A 2 4- A-*-) = 0.
G.
^■ly H- (a — 6 7c 2 sn 2 u)y* -4- ({J — 1 a /c 2 sn u cn u dn it) y' -t- (y -t- 8 A- 2 sn 2 «)JK = °>
avec la relation
ray — 8 2 — 20[a — 4(i -4- A 2 )] = o.
Les Equations en to et A. sont
6(A 2 — Q) 4- 2a 4- 0 — 4 (1 4- A 2 ) = 0,
2 A 3 — A( 6 Q — 0) — 4^1 — P = 0.
D.
yiv + (« — 4 A 2 sn 2 u)y" 4- ([3 -t- yA 2 sn 2 u — 8 A 2 sn u en u dn u)y'
-+- (8 -4- e A 2 sn 2 u — 8 A 4 sn 4 u 4- y A 2 sn a cn « dn w).r = 0.
On a entre les constantes les deux conditions
8a — 3a(i 4-A 2 ) 4- 4 £ -4-Y 2= °'
4 j3 4- y[e — 4(n- ^ 2 )1 — °*
Ge dernier cas prlsente un second exemple de la circonstance
remarquable qui s’est offerte dansl’une desEquations du troisieme
ordre, la quantity X ajant dans toutes les integrals particulars
la mime valeur, 4 savoir 1 = -]• Liquation en o est ensuite
90A 4 - i5(A 2 — 0) [3s — 8(1 4- A 2 )] - 36oA 2 Q 36oA£2! ^
XXXIX.
Les recherches clont je viens d’enoncer succinctement les pr
miers resultats ont etd etendues par M. Mittag-Leffler aux equ
tions lineaires d’ordre quelconque, dans uii travail qui parail
prochainement. (Annali di Mathematical II, t. XI, 1882, p. 6f
II sera ainsi £tabli que la tbeorie des fonctions ellipliques condi
aux premiers types g^neraux, apres celui des equations a coef
cients constants, dont la solution est connue sous forme explici
L’equation de Lame
- T>%y — [n{ n -+- i)/i 2 sn 2 a? -t- h]y,
ayant 6te l’origine et le point de depart de ces reclierches, d
d’autant plus appeler notre attention, et j’y reviens pour abort
un second cas, celui de n = 2, en me proposant d’en faire l’apj;
cation a la llieorie du pendule. Je traiterai ce cas par une mdthc
spdciale que j’expose avant d’arriver au cas general ou le nombri
est quelconque, afm de reunir divers points de vue sous lesqu
peut £tre traitee la m£me question. Reprenons a cet efTetl’dquali
consid^ree au paragraphe XXX (p. 347) et dont nous avons c
tenu la solution complete, a savoir
sn a
sn u sn(« — a)
A sn a
sn a sn (u — a )
sn u sn (
B sn b
«—*>] D “- >
sn«sn(n — b) sn 2 («— b)
Soit u = x-\-i K/, et cbangeons aussi a et b en «+«K/
b-\- «K/, de sorte que les constantes A et B deviennent
■ A =
B =
sn6 sn (a — b)
sn b
+ C,
-G.
sn« sn(6 —
Liquation prendra la forme suivante,
_T_ sn a? sna? ^
|_snasn(a? — a) " + " sn b sn (a? — b) J
y -
U(x-+-m) [>•
&{CC) 6
Q'kj) i
W|w)J ■*'
les quanlit^s to et X etant determindes inaintenant par les condi¬
tions
X —C
sn a
sn b sn(a — b)
x + c =
sn b
sn a sn ( b — a)
cn a tin a
Stiff
cn b dn b
sn b
sn co
sn a s n (a -+- to) ’
sn to
sn6sn(Z>-i-(o)
Cela pose, considdrons le cas oil b= — a; on trouve aisement,
en chassant le denominaleur sn 2 a? — sn 2 a, l’equation
(sn 2 a? — sn 2 a) D 2 y — 9 sna? cna? cln.tr U, t y
[ 2 Acna<lna / 1 \ 1
5^ x + ~ C 'j (sn ’ a ’ - s " !< 0j J' = °-
Parlicularisons encore da vantage et, observant qiron a
A =-— h-C,
faisons disparaitre le Lerme en sn-a; dans le coefficient de y, en
posant
9 cna dna _ 1 ^
stiff sii 9 a
Ge coefficient se rdduisant a Line constante, liquation pr^c^dente
devient
(sn 2 # — sn 2 a)D%y — 2 sn # cn a? dna? D c jr
•+- 2 [ 3 /c 2 sn 4 a —- 2(1 -t- /c 2 ) sn 2 a - 1 - \]y = o.
Soit done, pour un moment,
d> (a?) = sn 2 a? — sn 2 a;
on voit qu'on peat I’dcrire ainsi
&(x)D ly — &(ai)D Jc y + &(a)y = o,
et l’on en conclut, par la differentiation,
resultat remarquable donne, en rempiacant u r y par s,
Dj .3 = ^ j z = (G/i s sn 2 .^ -+- 6 A 2 sn 2 « — 4 — 4 k*)z :
c’est precisement liquation de Lame dans le cas de n—z, la
constante qui y figure elant h = 6A , -sn-a — 4 — 4 ^ 2 - Nous n’avons
done plus, pour parvenir a notre but, qu’a former l’integrale de
I’equation en y, e’est-a-dire a determiner les quantit^s to et X au
moyen des equations rappelees plus haut. Introduisons, a ccl
efFet, les conditions b = — a, C — 2 cna ~ na - 1 —; on en lirera
’ siia sna«
successivement, en les retranchant et les ajoulant,
sn 2 w _ sn 2 <a(a/c 2 sn 2 a—i — A* 2 )
sn-a — sn'-to cn‘-acln 2 a
^ sn (o cn o rln to
sn 3 a — sn 2 a>
De la nous concluons d’abord, pour to, les expressions suivanles,
sn 4 rt(aA " 2 sn 2 <a — i — A -2 )
3 A 2 sn 4 a — 2 (1 + A -2 ) sn 2 a -+- 1 ’
cn 4 a(2A ' 2 sn 2 <a — 1)
3 A 2 sn 4 <a — 2(r -h A 2 ) sn 2 a -+- 1 ’
dn 4 a( 2 ?n 2 « — t)
3 k- ?n 4 <z — a( i -r- A -2 ) sn 2 « -t- r
_ sn2t0 cn " (0 dn 2 to __ (2A 2 sn 2 <2 — 1 — A : 2 ) (2 A 2 sn 2 « — r) (?. sn 5 a — 0
(sn 2 a — sn 2 to ) 2 3 A 2 sn 4 a — 2 (i A 2 ) sn 2 ex -h t ’
et l’on voit que les constantes sn-to et X 2 sont des fonctions ralion-
nelles de sn 2 a on de h. Nous remarquerons en m6me temps quo
sneo et, par consequent, to ayant deux determinations egales ct de
signes contraires, le signe de X est donne par celui de 0), en verlu
de la relation X = -- cn<0 tu - Aucune ambiguite ne s’oflre done
sn 2 a— sn 2 to &
dans la formule
sn 2 co =
cn 2 to = —
dn 2 w = —
On a ensuite
377
SUR QUELQUKS APPLICATIONS DES FUNCTIONS ELLIPTIQUES.
cl l’on en conclut, pour l’integrale de l’equation de Lam£,
DijK = (6A- 3 sn 2 37 -f- 6 7c 2 sn 2 a — 4 — 4 A-» )
1’expression
y= CD.
II (37 -t- to) |
0 (a 7 ) 6
Q'iw ]
©iwij ^c' D„
II ( ,r — (
0(37)
L Qi“)J
Voici les remarques auxqnelles elle donne lieu.
XL.
Nous allons supposer nulle ou infmie la quantite X, en nous pro-
posant d’6ludier les circonstances qu’ofFre alors la solution de
liquation diff^rentielle.
El d’abord, on voil, par l’expression de X 2 , que le premier cas
a lieu en posant les conditions
2tc-sn*a — l — A 2 =o,
■2k 2 sn 2 a — i = o,
2 sn 2 ct — i = o,
qui donnent successivement snto = o, cnto==o, dnto = o. Les
valours de co qui enr^suhenl, iksavoir, to = o, co = R, co = K-+- zK/,
conduisent aux solulions consider6es par Lam£, qui sont des fonc-
tions doublement p6riodiques de la variable, avec la periodicity
caract^rislique desn#, cn#, dn#. Nous avons, en effet, pour co = o
et to= K : j-= ^37 sn ^) y = D x cnx. II suffit ensuite d’employer
les relations
-fv (27>7H-Z k '|
H(jF + K-htK') =0i(37)e 4K
0'(K -t- i K.') _ in
0 (K-h iK') “ *aK’
pour conclure de la valeur co = K +«K/ l’expression y= dna?.
Supposons maintenant X infini, et soit a cet effet
078 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
petites. D’apres la relation
sn 2
sn^aC 9. A 2 sn 2 a — 1 — A 2 )
3 A 2 sn 4 a — 2(1 + A' 2 ) sn 2 a -+-1 ’
on voit d’abord qu’on aura, en developpant en serie,
z- = pv\ + gvi* + . •
/>, getantdes constantes. Cela ^tant, nous clevelopperons aussi X
suivant les puissances croissantes de e, au moyen de I’expression
sns 1—A 2 sn 2 (a-f -tj ) sn 2 e
Or, ayant
1 — k- sn 2 (a -H'f]) sn 2 e
-f- A 2 sn 2 a e 2 -!-. . .,
on en conclut
1 — —1- (A 2 sn 2 a— ■
Employons maintenanl liquation
0 '(*K’+e) H'(e)
0 (ik'+e) ~ H ( B ) ‘
i-h A 2
~ 2 K “ e 2 K 1 \ K 3 / ‘ ‘ ‘ ’
nous obtenons cette expression, qui est fmie, pour s = o, a savoii
. e'fiK'-+- e) ITT / J\
A — 7 T T r f/i -r = —77 -t- A 2 sn 2 a — — e+,...
0 (iK'-h e) jK V K/
Enfin, je remplace, dans la solution de liquation diff^rentielle
la quantity H (a; -+- iK + e) par
il viendra ainsi
i &(x -t- e) e
H(g + h>)
. • jir e^ + £ ) e " E
©(*) ’
Q(x -t- e ) egg r 6'(x) 1
®(*) (a?) + ^J E;
il snffira done de remplacer la constante arbitrage C par-, pour
la Iimile cherchde, lorsqu’on pose e = o. Nous trouvons ainsi
A 2 (sn 2 a — sn 2 ar),
ou. la constante sn 2 a est ddterminee par liquation
3 /c 2 sn ' 1 a. — 2(14- /c 2 ) sn 2 a 4-1 = 0.
Ces deux solutions de liquation diflerentielle, rdunies a celles
qui ont &16 oblenues pr^c^demment, competent I’ensemble des
cinq solutions de Lamd, qui sont des fonctions doublement perio-
diques, ces deux demises ajant, comme on xoit, la periodicite
de sn 2 a?.
XLI.
La thdorie du pendule conique ou du mouveraent d’un point
pesant sur une sphere conduit 4 une application immediate de
l’dquation qui vient de nous*occuper. C’est M. Tissot qui a le pre¬
mier traits cette question importante, par une analyse semblable
& celle de Jacobi dans le probleme de la rotation, et donne expli-
citement, en fonction du temps, les coordonnees du point mobile
{Th&se de Micanique , Journal de M. Liouville , t. XVII, p. 88).
En suivant une autre marche, nous trouxons une autre forme ana-
lytique de la solution que j’ai indiquee, sans demonstration, dans
une Lettre adress^e 4 M. H. Gyld^n et publiee dans le Journal
de Borchardt, t. LXXXV, p. 246. Ces rdsultats s’etablissent de
la maniibre suivante.
Soient a?, y, z les coordonndes rectangulaires d’un point pesant,
assujetti 4 rester sur une sphere de rayon £gal a l’unite ; les equa¬
tions du mouvement, si l’on designepargdapesanteuretNlarforce
d % z
~dt?
N z = g.
x* ■+- y* ■+- z* = i.
Elies donnent d’abord, comme on sail, en designant par c et l des
constantes,
/ dx\ 2
\~d~t)
^- x ± = i.
dt dt
Cela etant, j’emploie la combinaison suivante,
f dx
, . / c ill, . Cly \ uu, ci y . / ecu/
(a! + lJ ' ) {dt~ l -£) = x -rTt^y-j- t -^ l virt
dx
dy
dx
d=
Z ~dt 1 '
et je remarque qae le carre du module du premier membre,
s’exprime par
de sorte qu’on obtient, en l’egalant au carr^ dn module du second
membre,
ou bien
(.-*«)[^ ( ,+c) - (g) 1 ]=^(^y+**.
(dz\-
V dt
^ =2^ + c)(l-^)-/ 2 .
La variable z etant d£termin£e par cette relation, une premiere*
metbode pour obtenir les deux autres coordonndes consiste a di-
C 1 ) Hraite de Mecanique de Poisson, t. I, p. 386.
. . I dx .dy\ dz
{x+l} '\-di- l ti) = ‘- z Tt + d '
a? 2 -i- j 2 = i — z 2 .
On obtient facilement ainsi les expressions qui conduisent aux
resultats de M. Tissot, a savoir
f z dz - ndt
x — iy = e * l ~ ,
puis, en changeant i en — z,
Mais j’op^rerai difl'ereinmenl; je deduis d’abord des equations dif-
ferentielles, et les ajoutant aptis les avoir multiplies respective-
ment par a?, y, z,
d z x d 2 y d 2 z
°°~d& ^ y ~dP + * ~dr-
N = gz %
puis de liquation de la sphere, diH'^rentiee deux fois,
d*y
(dxy
\dt "
m
(£)'■
- 2g(z ■+■ c).
Nous avons done
N = g('iz -4- 2fl),
et, par consequent,
d*(x -+- iy) . . . .
- dti = — g( 3* + 2 C)(« + iy)\
or on est ainsi amend 4 liquation de Lame, dans le cas de n = 2,
comme nous allons le voir.
Formons pour cela l’expression de z, et soit & cet elTet
2£■(*-+- C)(t — Z'-) — /*=— ‘Ig{z — *)(Z— £)(* — Y),
ce qui donne les relations suivanies :
a -+- p -H- y = —a,
a (3 -H- (3y H- Y a = — x )
aSv = c -— •
tive, (3 positive ou negative, et toutes deux moindi
absolue cjue 1’unite, tandis que y sera negative et
l’unite en valeur absolue. Soient done
u = n(t — t 0 ),
t 0 etant une constante et le coefficient n etant pris ]
[ntroduisons maintenant la variable u dans l’equati
ordre; elle deviendra
D- iy) — ^ [3(a — p) sn 2 u — 3 a — 2 c] (x -
et, en simplifiant,
D 2 (a; -+• iy) = |^6£ 2 sn 2 u — i -— ~ - ^ ^
C’est done l’equation de Lame dont nous avons d
tion complete au moyen de deux fonctions doublemer
de seconde espece a multiplicateurs r6ciproqu.es. Or
ces fonctions doit figurer dans l’expression de x-\-
montre la formule obtenue tout a l’heure
par consequent, nous pouvons immediatement dcrire
sc + iy = CD,
H(mh-u>) \' k ~
®(«) e '
ou, sous une autre forme, en modifiantla constante £
x -+- iy ~ AD,
H'(o) H(it 4 - to)
6(u))0(u) &
&( 03 ) J
maintenant il nous faut determiner cette constante.
quantites to et X.
XLII.
En posanl la condition
6 A 2 sn 2 a — 4 — 4 A 2 = — a
t — 2 p — 2 y
a- Y
et employanl. l’expression du module k- =~—on trouve d’abord
sn 2 a =
a -|3
De la se lirent ensuite, aprcs quelques reductions faciles oil l’on
fera usage de la relation
«P-t-PY + r* = - T >
les fornrules suivantes,
sn 2
«*(P +Y)
a — 8
on 2 (o = -+-
j3 2 (a -+- y )
Y 2 (a -t- {3)
. ( a - | -P) ( 'P~ 1 ~Y)(Y + a )
Cela etant, nous remarqucrons en premier lieu que, d’aprcs les
limites entre lesquelles sont comprises les quantiles a, ( 3 , y, on
obtientpour sn 2 w et dn 2 io des valeurs positives, tandis que cn 2 io
est negatif. 11 en rdsulle que sn 2 co est plus grand que l’unite et
moindre que^j de sorle qu’on doit supposer
(o = ±K + iu,
u etant r^el et donne par ces expressions
sn 2 (u, A') =
cn 2 (u, A') =
i^Y 2 -* 2 )
« a (Y*“ P*)’
Y 2 (P 2 -« 2 )
a 2 (P 2 -Y 2 )’
valeur de X 2 de Gette maniere,
= -+- ft) (P tKy °0
an 2 ’
d’ou l’on conclut facilement
_ l '
k ~ 4 n 2 .
Les constantes w et X se trouvent> ainsi d^terminees, mais seule-
ment au signe pres, et deux autres relations sont encore neces-
saires pour lever toute ambiguite. La premiere r^sulte d’abortl de
la condition qui a ete donnee pour la solution generate de l’equa-
tion de Lame, a savoir
^ _ snwcnwdnw
sn 2 a — sn 2 o> ’
et l’on en tire immediatement
(a — (3) sn to on w dn a)
«Py
Nous obtiendrons tout k l’heure la seconde comme consequence
de liquation considdrde plus haul,
O iy)
dx
~dt
.dy
1 dt,
(lz
dt
—I— il .
Mais voici d’abord la determination de la constante A. qui onlre
dans la formule
. + >> = AD„ + ■
J 0 ( 0 ) 0(^0
Soit, pour abreger,
i-r(o)H(«-i-to) f x ~ISl"
F (M) = -
0(co)0(if)
Designons par F, (u) ce que devient cette fonction lorsqu’on
change i en —j, et par A, la quantite conjugude de A, de sorte
qu’o
z + iy = A F' (u),
x — i v = k. F
— AAi F'l it) Fj ( u).
Nous supposerons a~o , ce qui clonne £ —a, dans l’equation
x- -\-y- -\-z- — i ; il viendra ainsi
AAi F'(o) F' t (o) = i — a-,
ou encore, au moyen de la condition aj 3 + 3 y -+- ya = — i,
A A, F'(o) F', (o) = — fan- P)(a-f Y)-
J’emploie maintenant, pour y faire u — o, la relation
F '(u) __ IF( u -+- w) &'(u) _ 6'(tu) ^ _
F(«) Il(it-t-w) 0 (u) 0 (to) ’
on en tire d’abord
F'(°) _ onw dn w
F (o) ~ snw
puis, au moyen de la valeur donn^e pr^c^demment de “X,
F'(o)
F (o) '
- sn w cn o) dn to = ■
*PY
et enfin
F'(o) cnwdnw
F (o) ~ Py sn to
comme consequence de la formule
< 2 (P -+- y)
-P
mais l’expression de F (u) donne immediatement
F(o)
IJ'fo) H(w)
e'(o) 0(w)
= k snw,
et nous en concluons l’expression cherchee, 4 savoir
£ cnwdnw
F(»)=- R -
Changeons enfin i en — i \ la Constance m = ± K. -+■ tu deviendra
et par suite
F'(o)F' 1 (o)
_ k- cn 2 w dn 2 w (a-t-(3)(a-+-Y)
(a — Y )' 2
De cette expression nous tirons
AA t = (a — T ) 2 )
de sorte qu’on peut dcrire
A =(a — y)e l <P t
o designant un angle arbitraire.
Ce point etabli, je reprends liquation
qui devient, si 1’on introduit, au lieu de t , la variable u,
, . . / dx . dv\
(x -t- cjr) i i —— 1
dz il
du n
etj’yfais u = o. En remarquant qu’alors — s’dvanouit, on trouve
(«-t)*f'(o)f;(o)=? <
ce qui nous mene a chercher la valeur de F ; '(o). Pour cela, je
deduis de la relation employee tout & l’lieure
F'(a) _ IF (a -f- to) _ &'(u) &'(to)
F (u) H (it + to) 0(a) 0 (w) +
la suivante :
F"(a) F'*(u)_ i .
F(m) F*(it) sn 2 (aH-w)
et j’en tire d’abord
F" (o) _ F' 2 (o) ^ x _ cn 2 a) dn 2 w I
F (o) F 2 (o) sn 2 io S 2 Y 2 sn 2 w sn 2 w >
pour F(o).
F"(o) =
ik sn w
' a (a — y) *
Cette expression restant la meme lorsqu’on change i en —«,
nous pouvons eerire
17 /// \ aXrsnto
F K°) = — :
et, corame on a ddj& trouvd
F(o)=-
*(* — Y)
(I n a
nous en eoneluons
F'(o)F?(o) =
Py
ik l sn 10 on to dnto
a?Y(*—Y)
et, en employant la valeur de /c 2 , l’eqnntion suivante,
y.( a — £r' «n to on to tl n to il
(* —Y) S F '( ()) F 'i(°)= :
*PY
Si on la rapproche maintenant de la relation ddja donnde
_ fa — P) sn to cn to tin to
^ ’
on trouve immediatement
c’est le rdsultat que j’ai principalement en vue d’oblenir, afin
d’avoir la determination precise de la constante \ qui n’eiait
encore connue qu’au signe pres.
En dernier lieu, et k l’dgard de to, on remarquera que la fonc-
tion F (u) change seulement de signe ou se reproduit quand on
met ix> + 2K et to + ii R' k la place de to. Et comme on peut obtenir
un tel changement de signe pour la valeur de x iy 7 en rempla-
Qant cp par cp —7c dans 1 ’argument du facteur constant A., il en
r^sulte qu’il estpermis de faire co== R + m, aulieude 10 = ±K + m,
et de determiner une valeur de u, comprise entre — K/ et -+• R'.
Or, de la relation
tite enlre lesquelles ii reste a choisir. C est a quoi L on parvienl
au mojen de la condition
il (a—^)sn«cnwdnw
in~~ aj^Y
qui prend, si 1 ’on j fait u> = K + m, la forme suivante,
l __ (a—(3)£' 2 sn(o, k) cn(u, k') #
in a^Y dn 3 (u, k ') 3
or, y etant ndgatif, on voit ainsi que u aura le signe de l ou iin
signe contraire, suivant que la racine moyenne [3 sera positive ou
negative. Dans le cas de (j = o, on a done
et, par suite,
w =K
F( u) = k D, t e~ n cn u :
e’est un exemple de ces fonetions particulieres de seconde esp6ce
qui ont ete considerdes parM. Mitlag-Leffler dans un article inti¬
tule Sur les fonetions doubtementperiodiqaes de seconde espece
(Comples rendus, t. XC, p. 177).
XLIII.
Je terminerai par une remarque surl’dquation
U
n
&(<*)
0 (w)
0 ,
qui exprime que les coordonnees x ety se reproduisent, sauf le
signe, lorsqu’on change u en u -b 2K. Soit w = K + fu et posons
iD(u) = --h
K } n ^ 0 (K
AD.
cette fonction II (u), evidemment r^eUe, finie et continue pour
toute valeur rdelle de u, a pour derive l’expression
13' u = i - A:*sn*(K + A> ,
J < A 2 K,
comme consequence des formules
K=r‘ dx - j=r'
/(i — a a )(« — k*x*) J 0
\/{ I — X- ) ( 1 — A’ 2 37* )
et l’on sait d’ailleurs qne sn 2 (K-|-«u) est superieur a 1 ’unite. La
fonction II (v), etant decroissante, ne peut s’evanouir qu’une fois;
or on a, en designant par a im nombre entier,
0'(K-+-vsiaK') iaiz
0 (K-t- aeaK') R"’
et par consequent
U(o)=i, n( 2 oK') = ^-^.
Nous etablissons ainsi l’existence d’une racine, puisqu’on peut
disposer de a de manure que^ — ^soit de signe conlraire a ~
Mais c’est en determinant les quantiles c et L qu’il serait surlout
important d’obtenir les cas oil le mouvemenldu pendule est perio-
dique, ces constantes representant les elements essentiels de la
question. N’ayant pu surmonter les difficultes cpii s’offrent alors, je
me borne k donner de 1’equalion precedente une transformee ou
ces constantes se trouvenl plus explicilement en evidence. Soit, &
cet eflet,
R(-s) = +
on aura, en premier lieu,
on trouvera ensuite
/** n(a — z)dz
(oc — y)v/R(-sj"
d’oii
z = a — (a — (i) sn 2 w = —
n dz
7c 2 sn 2 x dx =
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
3go
parties, 1 ’une de —apy a [ 3 , et l’alitre de (3 a a, I’equation se pri
sentera, apres une reduction facile, sous la forme suivante :
2 1 r* dz r* z dz r $ dz r a dz r p z dz
Jjp Vv/Hu]J_ a?Y 7=^1) Jp
La question qui vienl d’etre traitee termine les applications a
Mecanique que j’ai annoncdes au commencement de ce travail,
j’arrive maintenant, pour la considerer dans toute sa gdneralile,
l’equation
D %y — [n(n -4- i) /v 2 sn 2 r H- A]jk,
dont la solution n’a encore dl<i obtenne que pour n = i et n =
Au moyen des m^lhodes de M. Fuchs, permettant de recommit
que l’integrale est une function uniforme de la variable, el de 1’in
portante proposition de M. Picard, que cette integrate est des In
une fonction doublement periodique de seconde espece, la solutir
de l’dquation de Lamd est donnee directement par I’applicalii
de principes generaux s’appliquant aux equations lineaires d’l
ordre quelconque. J’exposerai neaninoins une mdlhode indepe
dante de ces principes ; je m’attacherai ensuite, el ce sera nu
principal but, a la question difficile de la determination, sous forn
entierement explicite, des elements de la solution. La consider
tiondu d^veloppemenl en serie, qu’on tire de l’equation propos
lorsqu’on suppose a"—tK/-+-s, aura, dans ce qui va suivre, u
grande importance; voici, en premier lieu, comment on Pobliei
XL 1 V.
Soit, pour abr^ger,
i i
si^e e 2 ’
les expressions des premiers coefficients ^tant
r -h k i
en posanl
r .., n (/ i - Hi ) .
Diy — ——;—- 4- h v,
J s n - e
2 _ A. hi
y ~ e /£ - 1- 6 « -2 "t - • • • e /t-2£- + • • • •
La substitution donne en eflet les conditions
(n —i)(/i — 2)/<■!= A 4- n(n 4- i) ( h { 4- s u ),
(ii — 3 ) (ii — 4 ) /?2= A/ii 4- n( ii 4- •) ( Aj 4- 5q Ai 4~ •?! )>
et nous allons voir qu’elles d^lerminent de proclie en proche les
coefficients h t , — Mellons-les d’abord sous une forme plus
simple; en ^liminant la quantity h au mojen de la premiere, on
aura, apres une reduction facile,
i ( 2 n — 2 i 4- i ) hi — ( 2 n — i) h Y hi-1 — in (s t A ; -_ 2 4 - s . 2 h ,-_ 3 4-. .. 4 - s,- .. x ),
ou j’ai ecrit, pour abrdger, n (n ■+■ 1) — 2 m.
Or, le facteur 2 n — 2 7 H- 1 ne pouvant jamais elre nul, on voit
que le coefficient de rang quelconquc hi s’obtient au moycn des
prdcddents, A/_ ( , A/_ 2 , .... En particular, on trouve
h — O /l — 1 1 ms\
2 ~~ 242/1— 3 ) 2(2/1— 3 )*
. _ ( 2 n — i) 2 A? m(6n — 7).?iA| m^ 2
3 6 ( 2 /i- 3 )( 2 ft — 5 ) (> (2 /i — 3 ) (2 rc — 5 ) 3 (2 n —- 3 )
Ce premier d^veloppement obtenu, nous en concluons immd-
diatement un second. ElTectivement, le coefficient n(n-h 1) ne
change pas si 1’on remplace n par — (n + 1), de sorte qu’en ddsi-
gnant par h\, h'^ ... ce que deviennent /«i, /i 2 , ... par ce change-
ment, liquation diflferentielle sera de m£me satisfaite en prenant
ou bien
y = e tt +* 4- h\ t n+i 4- A' 2 e K+B 4-.. .,
y — e«+i (1 4 - A', e 2 4 - A 2 e*4-. • .).
Je remarque enfm qu’en substituant dans l’expression
n . 2
£“-2
Hi
tons les termes en ^5 > • • •, 2 disparaissent, de sorte que
le resultat ordonne suivant les puissances croissantes de e com¬
mence par un terme en 7^^- On en conclut qu’en supposanL 11
pair et egai a av, ou bien n = 2v — 1, on n’aura aucun terme en^>
si l’on prend dans le premier cas
et dans le second
i hi /*«,-1 ,
y = + +•••+ — + *v‘-
Ce point etabli, nous obtenons facilement, comme on va le voir, la
solution generale de l’equation de Lamd.
XLV.
Je consid&re l’dlement simple des fonctions doublement pcrio-
diques de seconde espece, en le prenant sous la forme suivante,
f{x) = <.*(■*—<K'J £(#),
ou l’on a, comme au paragraphe Y,
H»H(*h-,» -TT
x > e(co)B(*)
Le residu qui correspond au pdle unique x = i¥J sera ainsi
dgal a l’unitd, et nous pourrons dcrire
i K/-+- e) = - -4- Ho -i~ Hj e -t-. .. -+- Hj £ i- -1-....
Cela pose, je dis que les expressions
F <*;—r -'*■ - • ■— D ^-
/t->
tion differentielle en determinant convenablement les constantes
to et
Pour le demontrer, je remarque que, si l’on pose x — i¥J e,
les parlies principales de leurs d^veloppements proviendront du
seul terme - qui entre dans f(iKJ e), et seront, par consequent,
J_ _/q_ /fy_,
e 2V £ 2 v- 2 _t ~' ' ■~ l " £ 2
el
1 AI Ay-1
e uv—1 s,2V-a ■ • * 6.
Disposons mainlenanl de to et X, de telle sorte que dans le pre¬
mier cas le terme constant soil <$gal a /t v et le coefficient de e, dans
le suivant, dgal a zero; nous poserons pour cela les conditions
I'ljgv—t 'h 1 *3 *H“ ^2 Hgy— g —H . . . H— /2y_ 11J i H— fh = Oj
2 v i 1 2 v H - (— 2 ) Ai Hjv —2 -f - (^ v — /j) H^v— H~ 2 Av —i Ha = o.
Et semblablement, dans le second cas, faisons en sorte que le terme
constant soit nul et le coefficient de e 6gal a /< v , en dcrivant
Hjv—a H- A i Iljy—/,. + A2 Hjy—o -+-. . . A v -1 II0 = o,
('iv — 1)IJ2v—1 " 4 * (n v — 3 ) Aj IIg v —3 -4- Ay—, II1 — Ay = o.
On a done ces deux ddveloppements, a savoir:
A, A v _,
puis
F(iK'H-e) =
F( t K' +- s) = -
■ ■+■ Ay S - 1 “ . . . j
il en rdsulte que les deux fonctions doublement pdriodiques de
seconde esp&ce
D|. F(a?) — [n(/i i)A 2 sn 2 a? A] F(x),
dtant Dnies pour x — /K/, sont par consequent nulles. Nous avons
ainsidemonlre quel’dquationse trouve verifiee enfaisanty = F(.r),
de sorte que l’expression
y = GF(a:) + C'F(- x)
XL VI.
La question qui s’offre mainienant est d’obtenir co etX au moven
des relations precddentes, qui sonl algebriques en sn to etX. Or,
on est de la sorte amene a un problem e d’Algcbre dont la diffi-
culte se montre au premier coup d’ceil et resulte de la complication
des coefficients H 0 , H,, ....
Revenons, en effet, au ddveloppement ddja donne paragraphs V,
a savoir:
oil I’on a
Q = /t 2 sn 2 eo-i±^,
iii = A 2 snu cn to dn to,
Q, = A* sn* to — A ' ) sn 2 oj
0 3 = A 2 sn to cn w tin to (k 2 sn 2 to —
7 — '1‘ik 2 -+- 7 A*
Les coefficients H 0 , H 4 , ... resultant de l’identitd
- + H 0 -+- H, s 4 -... = ^i + Xe 4---r-...^
seront
H 0 =X,
H 1 = {(X* — Q),
H,= A 3 —3QA —iQ,),
H 3 = Tr(X A — 6QX*— 8Q,A — 3Q 2 ),
et l’on voit que, etant du degrd n -f- i en X, l’une de nos deux
equations est, par rapport k cette quantity, du degrd n } et la
seconde du degrt* n -p i. A I’dgard de snu, une nouvelle compli¬
cation se prdsente en raison du facteur irrationnel cnoi dnco qui
comme des coordonn^es, en se plagant au point de vue de la
Geometrie, on verra aisement que les courbes repr^sentees par
nos deux liquations n’ont aucun point d’intersection independant
de la constante h qui entre sous forme rationnelle el entiere dans
les coefficients. II n’est done pas possible d’employer les m^thodes
si simples de Clebscli et de Cliaslcs qui permettentdc reconnaitre,
a priori et sans calcul, quo les points d’un lieu geom^trique se
d^terminenl individuellement en fonction d'un parametre. Le cas
de n = 3 , qui sera traits tout a l’heure, fern voir en effet que les
intersections des deux courbes se trouvent, a 1’exception d’une
seule, rejetdes k l’infini. Mais, avant d’y arriver, je ferai encore
cetle remarque, qu’on peut joindre aiix liquations deja obtenues
une infinite d’aulres, dont voici 1’origine.
Nous avons vu au paragraphe XLI.V que J’equation de Lame
donne, en faisant x = i e, ees deux developpements, a
savoir :
i h i A 2
y ~~ E //—2 " + ' s «-4 1
y = e « +1 -I- h\ z ' l+3 -+- A 2 s " +8 H- . . ..
II en riisulte que, si Ton pose de inline x = /K/ -+■ t dans la solu¬
tion rcpr^senliie par F(ar), nous aurons, en d^signanL par C une
constante dont on obliendra bientot la valeur,
F (i K/ -t- e) =
-+- C ( E ' 1 ' 1 ’ 1 -I- ll\ -r- ll' t E "-^ 8
On pent done identifier ce d^veloppement avec celui que donnenl
l’une ou l’autre des deux formules
F(a?) = —
D
r(2v)
r( 2 V- 2 )
F(*) = +
r(2v —i)
-t-A
pr v /(^)
F(av —3)
A v ~i /(a?)
lorsqu’on pose x = fK/-f- e. Bornons-nous, pour abr^ger, au cas
de n = 2v, et repriisentons la partie qui prockde, suivant les puis¬
sances positives de e, par
fyi = — ( { -I- 2 v — l)i Hj+jv-i — (i -+• i V — 5 )i H ! tlf+av-a
— (* H— *-t v — 5 )ih% H/^-ov- b — • • • — (i ■+■ t)z^v —i .
Nous aurons done, pour i — i, 3 , 5 , ..., 2v — i, Jes equations
o;
on trouvera ensuite, pour les valeurs paires de l’indice,
• $2 i— A/H-V,
et enfin, pour les valeurs impaires superieures a 2v — i,
^2z+2V-f-l = G h\.
Telles sont les relations, en nombre illimit^, qui doivent toules
resulter des deux que nous avons donn^es en premier lieu, a
savoir :
$i = o, $ 0 = K\
on est amene ainsi a se demander si leurs premiers membres,
ip/, ip 2 i —/iz+vj ^2t+2v+) —G/z'., ne s’exprimeraient point, sous
forme rationnelle et entiere, par les fonctions ip, et ip 0 — /z v -
Mais je laisserai entierement de cot£ cette question difficile, et
j’arrive immediatement a la resolution des Equations relatives ait
cas de n = 3 .
XLVII.
Ges equations ont £te donn^es au paragraphe XXXVIII, et sont
Ho -+- h\ Ho = o,
3H 3 +/i 1 Hi = A 2 .
Si l’on met en evidence les quantity Q, et qu’on fasse A, =->
ce qui donne
A = —4(i-hA*) —5Z,
t 5 Z*
£2 2 — Q, = 4 j?i,
QQ 2 — Df = 4- 7 ^j,
et je remarque qu’on en tire, par l’dlimination de Q, el Ci 2 , deux
Equations du second degrd en Q. Mais il convient d’inlroduire
au lieu de Q; en faisanl. alors, pour un moment,
a = j — 7r a -i— /c 4 ,
b = 2 — 3 k* — 3 k’+ -+- 2 k 6 ,
ces relations seront
36II 2 — I2m,+ 3(J 7X2_f_ 5^2— [ x a = o,
72 HI 2 —6(5Z 2 —«))I,-h 72 / 2 X 2 -i-/; = o.
EliminonsX 2 ; elles donnent immddiatemenl
TI| - lol'-Zal-b '
6 (l>-a) ’
nous ol)tenons ensuite
ou bien
X 2 = —
4 ( l 1 — a )* -+- (n — 9 al — h)' 1
36 /(/ 2 —«) 2
X 2
<p(f)
36/( Z 2 — a)' 1 '
si I’on pose, pour abrdger,
ep( Z) = 1 25 if*-— 210 al’* — 22 W 3 -i- 93a 2 £ 2 -+-18 abl -+- b- — 4 « 3 ,
soit encore
t>j(7) = 5l 6 -\- 6al k — icibl 5 — 3a 2 I 2 -l- 6a&/ -|- 6 2 — l\a*
— <p(l) — 12 / (/ 2 — a) (icd 3 — 8 al — b)\
de la relation ), 2 — 2H, = Ci on conclura
1 -+- k 2 _ ■KQ
3 ~ 36 lift — a) 2 '
Q = /c 2 sn 2
cie ^i expnmee en n et a, par cette iormuie,
2 Qi = (X 2 — 3 £2 -t- 3 / ) A ;
faisant done
Xd) = l*-bal>>+ \bl*— 3a 2 £ 2 — 6 2 +4« 2 ,
nous parvenons encore k la relation
Lli = k 2 sn
cn w dn (o = —
36 1(1*—af
Le signe de \ se trouve ainsi ddlermind par ceiui de to, el la
solution complete de 1’equation de Lamd dans le cas de n — 3'
est obtenue sans aucune ambigui'td au mojen de la fonction
fl ( X -1- to ) |
0(27) 6
\ @'(M] I
. ©|to)J’\
On n’a toutefois pas mis en evidence dans les formules prdee-
dentes les valeurs de la constante L qui donnent les solutions
doublement pdriodiques, on les fonclions particulieres de seconde
espece de M. Mittag-Leffler, comme nous l’avons fait dans le cas
de n — 2 .
Voici, dans ce but, les nouvelles expressions qu’on en ddduil,
Posons, en premier lieu,
p=5/ 2 — 2(1 + k*)l — 3(i — **)*»
Q = 51 -— 2(1 — ik % )l — 3,
b 1=1 5 1~ 2 ( k- 2 ) /-3*\
S = 36/,
et, d’auLre part,
A = /*—( 1 + /c 2 )/ —3* 2 ,
B (l-2/<-2)^ + 3(/t2-/f^),
G =1'-- (**— 2 ) l — 3(i — k*),
D = l* — i /c 2 — k’> ;
X 2 = —
PQR
SD 2 ’
k % sn 2 1
k 2 cn 2
dn 2 i
PA 2
SO 2 ’
QB 2
SD 2 ’
RC 2
sm ’
on aura
SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPT1QUES. 3gg
et enfin, pour elablir la corresponclance des signes entre to et
I’equation
,, ! A13CA
k 2 sn 10 cn to dn to =- g . .
Cela etant, ce sontles conditions P = o, Q = o, R = o, S — o
qui donnent les solutions doublement pdriodiques, au nombre de
sept, tandis qu’on obtient les fonciions de M. Mittag-Leffler en
posant A = o, B = o, C = o, D = o. Mais je laisse de c6te l’^tude
detaillee de ces formulcs, en me bornant k la remarque suivante,
sur laqnelle je reviendrai plus tard. Exprimons les quantites
/r 2 sn 2 co, A ,2 cn 2 w, dn 2 w, eu partant de liquation
k 2 sn !
** _ -KO
3Ql(l 2 — a)*’
de cette nouvelle maniere, a savoir :
** sn , M = a)Hi + k*)-^(l)
361^/* — a} 2 ’
36/(/* —a)*
rlnSM = '**(** —<0»(a —
36/(/ 2 — a) 2
On conclura facilement de 1’egalild
/c 4 sn 2 to cn 2 to do* to =— - ^ .
[36/(/*— «) a ] s
la relation que voici :
^ 3 (0 — 3. \o 2 al 2 (l l — a ) 4 1]^(0 -+-1 i*bl*(l*— af — f (l) % 2 ( l).
Or elle conduit k cette consequence, qu’en posant
r== W)
J i2t(l 2 -a) 2
on a
XLVIII.
La methode generale cfue je vais exposer maintenant pour la
determination des conslantes well repose principalement sur la
consideration du produit des solutions de I’equation de Lame, qui
viennent d’etre^representees par F(#) et F(— x). Et, d’abord, on
remarquera que, ay ant
F(a?-+-a K ) = p. F(a?),
F (x -+- 2 i'K') == p.' F(a?)
et, par suite,
F(-a?-2 K)= 1 F(—a?),
F(— x — aiK') = ~ F(— x ),
ce produit est une fonction doublement periodique de premiere
espece, qui a pour p6le unique x= i K'. Voici, en consequence,
comment s’obtient son expression sous forme entierement expli-
cite.
Soil
*(*) = (— F(«) F(- .r),
le facteur p' ayant ete introduiL pour pouvoir ecrire
$(iK'+e) = (— F ( tK'-i- e) F (— t’K' — e)
= (—i)« F(iK'-H e) F( iK'-re).
Gela etant et posant, pour abreger,
0 i h x h*
S — -i- — -
Si = G(s ,i+1 -+- h\ s rtH_3 -+- /i' 2 e' 1 " 1-8
nous aurons
FriK'-+-e) = S-+-S„
F(iK'- e) = (—i)»(S —S,) f
d’ou, par consequent,
Q^iK'-h e) = S2— S|.
On voit ainsi que la partie principale de developpement suivant
que nous ne connaissons pas encore. Faisons done
les coefficients A ( , A 2 , . • • seront
A | = 2 h [y
A 2 = 2 Il 2 -h h],
Aj = 2 /13 -+- 1 h\ h %,
et l’on en conclut que, hi etanL un polynome de degre i en A,, il
en est de meine, en general, pour un coefficient de rang quel-
conque A t -. Maintenant l’expression cherchee ddcoulc delaforimde
de decomposition en elements simples, cjui a eid donnee au para¬
graph e II. Nous obtenons ainsi
$(#) — —
— A
D 2 '
0 (X)
r ( 2 n — ■>.)
- A:
D 2 '
" 8'(y) ~
t) ( .r )
r(2/i — 4)
- A
t _i D,.
(r)'(.r)
(-) (x)
const.
La relalion eiemeniaire
) e'f.r)
X e(x)
2
K
— /i 2 sn 2 .z
donnera ensuite, sous tine autre forme, en ddsignant par A une
nouvelle constante,
D?, W “ 2 (A* sn 2 x)
lV a«)
-+- A
D 2 "-^('^ 2 sn 2 .r) ^ ^ D 2 "“ 6 (/c 2 sn 2 *-)
r ( 2 n — 2 ) 2 r (2 n — 4 )
-+- A /z _| (A 2 sn 2 #) -+- A.
Pour la determiner, nous emploierons, en outre de la partie prin-
cipale de la serie S-, le terme independant de e, qui sera designe
par A/j. En deduisant ce m£me terme de l’expression de <&(ar), el
se rappelant qu’on a fait
A = A,
A A,
Si
1-2 3
A;
Sn—V s n —1
in — 3 in — i
Beaucoup d’autres expressions s’obtiennent par un procedd
semblable en fonclion lindaire de derivees successives de /: 2 sn 2 #,
celles-ci, par exemple,
D£F(a?)Dj* F(— #),
que je vais considerer dans le cas particulier de a = i , (3 = i.
Soit alors
«l J i (#) — (— r)'i+-i F'(#) F'(— #),
et ddsignons par S' et S', les derivees par rapport a e des series S
et S|, de sorle qu’on ait
F'(iK'+e) = S'4- S),
F'(iK'~si = (— i)«+‘(S'— S' t ).
De la relation
^(iK'+e) = (— i/'+i F'(iK' + s) F'(iK' — s),
on conclura cette expression, savoir :
•MiK'4-s^S'*—S',*.
Faisant done, comme tout a l’benre,
ou le coefficient B; est encore un polynome en A, de degrd /, nous
aurons
= n-
D|." ( k- sn 2 #)
Trin + a)
j D 2 "-^* 2 sn 2 # )
2 V (in — 1 )
131 -
T(an)
.4- 13 tl (/c 2 sn 2 x ) 13,
et la constante sera donnee par la forraoJe
B = b„ +I —
3 in —
— n‘
tions F(a?) et F(— x) de l’equation de Lame, et je pose
(p 2 (x) = (— (i.'[F(a?) F'(— x) -+- F'(a?) F(— cc)].
La relation suivanle, qui s’obtient aisement, et dont le second
membre ne contient que des termes entiers en e, a savoir
e ) = 2 (SS', — S'Si ) — 2(211 -t- i) C - 4 -...,
donne, comme on le voit, la proposition bien connue que cetle
fonction esl constante; nous allons en oblenir la valeuren la met-
tant sous la forme
(2TI -+- l)G = v/N,
que nous garderons desormais.
XL1X.
J’observe, k cet effet, que de l’identite
(SS'-S,S',) 2 = (SS', - S, S')2h- (S2— S*) (S'*— S', 2 )
on conclut immediatement, entre les fonctions dont il vient d’etre
question, la relation suivante :
7<I>' 2 («K'-|- e) = -h e) { I J i (i K' -+- s),
4 4
et, par consequent,
7 <!>'*(.*•) = N <b(x) ‘Ft (a:).
4
, Elle fait voir qu’en attribuant k la variable une valeur particu-
liere, en supposant, par exemple, x = o, N s’obtient comme un
polynome entier en A, du degre 2/t-f-i, puisque cette quantity
entre, comme on l’a vu, au degre n dans <&(#) et au degre n +1
dans Ge poinL etaldi, nous remarquons que, en posant la
condition N = o, le determinant fonctionnel <D 2 (a?) est nul, de
cnrtp nno to minMPnt ^ ^ ^.L. cp ’/Srliilh alnrci imp f'mistflnl'P. TV'S!-
ei, par consequent,
F(—a?) =±F(ar).
Remplacons ensuite x par x + aK et x + 2 i K/ : le quotient se
reproduitmulliplie par p . 2 et p / 2 ; ainsi il faut poser p . 2 = 1, pd 2 = 1,
c’est-a-dire p. = ± j , p/= ± 1.
La condition N = o determine done les valeurs de h, pour
lesquelles l’equalion de Lamd est vdrifiee par des fonctions dou-
blement periodiques. Ce sont ces solutions, auxquelles est attache
a jamais le nom du grand gdomdtre, et dont les propriety lui ont
permis de traiter pour la premiere fois le probldme difficile de la
determination des temperatures d’un ellipsoide, lorsque l’on donne
en chaque point la temperature de la surface. Elies s’ofirent en ce
moment comme un cas singulier de I’equation differentielle, ou
l’integrale cesse d’etre representee par la formule
/ = CF(,) + C'F(-*)
et subit un changement de forme analytique. Je me borne a les
signaler sous ce point de vue, devant bientdt y revenir, et je
reprends, pour en tirer une nouvelle consequence, l’dquation
-<t>' 2 (x) = N -h <E>(a?) <E»i(a?).
4
Introduisons sn 2 .a? pour variable, en posant sn 2 x = £; on voil
queO(«) et ne contenant que des ddrivdes d’ordre pair de
sn 2 #, deviendront des polynomes entiers en t des degres n et
n -l- 1, que je designerai par II(i) et II ,(t). Soit encore
R(£) = £(r — t) (1 — /c 2 t);
la relation considerde prend cette forme
R(*)n'*(f) = N-,-n(f)ni(0;
et voici la remarque, importante pournotre objet, a Jaquelle elle
donne lieu.
Developpons la fonction rationnelle 7777- en fraction continue,
teur est du degre v, dans les deux cas de /i = 2v et n — 2v — i.
Si on la repr^sente par le developpement, suivant les puis¬
sances decroissantes de t , de la difference
n'(p
11(0
cp(0 —0(0,
commencera ainsi par tin terme en~j> el, en posant
ij'(O<p(O-u(0<H0 = >KOi
on voit que, dans le premier cas, sera un polynome de degr^
v — i, et, dans le second, de degre v — 2. Cela dlant, je considere
i’expression suivante,
NcpMO-RUmO;
on trouve d’abord aisdment, en employant la relation proposde el
la valeur de qu’elle devient
n(OT— ©‘(O^iCO + 2 9 ( 00(0 R(<)ii'(0 — ° 2 (0 R(0 n(0],
et contient, par consequent, en facteur, le polynome II(£). On
verifie ensuite qu’elle est de degre n + 1 en £, dans les deux cas
de/t = 2vel ;t = 2v — 1 ; nous pouvons ainsi poser
N?2( 0- K(o^ 2 (0 =n(0(^-^'),
et nous allons voir que to est donne par la formule
sn 2 a) =
g
ou le second membre est une fonction rationnelle de h.
L.
Considerons dans ce but une nouvelle fonction doublement
periodique definie de la manure suivante,
en faisant toujours
et, eu employant l’egalit6, qu’il est facile d’etablir,
fi' f{oc) /(— x) = — & 2 (sn 2 :r— sn 2 w),
on parvient a celte relation
X F(#) *F(— x) = (— i)«- | - 1 /f 2 (sn 2 a" — sn 2 w)
dont on va voir I’importance. Formons a cet eflet I’expression de
l F(a?) qui s’obtiendra sous forme lineaire au moyen des ddrivces
successives de £ 2 sn 2 #, puisque celte fonclion, comme celles qui
ont ete precMemment introduces, a pour seul p 61 e x = iYJ, Nous
deduirons pour cela un developpement, suivant les puissances
croissantes de e, de 1’equation
V(iK'-+- e) = —/(iK'—e) F(iK'H-e)
= (j — H 0 +H l£ — H 2 £ 2 h-...^) (Jz -
Ajj
s"~*
developpement que je representerai par la formule
¥(i'K'h- e)
g/i+i
ao
e«
e»-1
en posant
a 0 =—H 0) x l = Hj,
et nous observerons immediatemenl que cette s6rie ne contio.nl
point le terme On a effectivement, pour n = av,
i — H2V—1H- hi Hj^—3 —|— H2V—5 -+* • • • - 1 - hy -1II1 H- Ay,
puis, en supposant n — av — 1,
a «—1 = (H y -2 H~ h\ H2y_4 H~ A? H 2y —6 + • • • + Ay _f Ho )•
Or on voit que, d’aprdss les equations obtenues pour la determi¬
nation de w et X, au paragraphe XLV, le coefficient a„_, est mil
dans les deux cas. La partie principale du developpement de
SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUKS. 407
¥(i‘K'+e), a laquelle nous joindrons le terme ind<$pendanl de e,
est done
I «0
On en conclut, quand n = av,
'F(#)
D ^- 1 (£» sn»a?)
r(Av-f-i) H ‘
D^- 3 (/c2 zn*x)
ai r(2v — i)
Oi ; - 2 (/-2 sn 2 r)
“ F(av)
a 2 v -2(/c 2 sn 2 a?) -+- a,
la c.onslanie ayant pout’ valour
a — a 2V — aav-2' 9 u— *2v —4 ~
puis, dans le cas de /i = av — i,
T / t n_ , _ Dirv^sn**)
( * ) “ + ^ r^v-iy
4 (/c 2 sn 2 a?)
-+- “t — r(av — 3 ) -' • ■ + a 2 v-s(/c 2 sn*a?) H-a,
en posant
2V 1 2V 3 0 *2V-5 ••• a l 2 V - !} 'J>. V- I
Soit mainlenant sn-a? = t\ les expressions auxquclJes nous venons
de parvenir prendronl celle nouvelle forme, a savoir
W(x) = Gt(t) -i- /FT(7j G,(0>
ou G(^) et G, (t) sonL dcs polynoines eutiers en £ des degr^s v et
v — i dans le premier cas, v el v— 2 clans le second. Observons
aussi que, le radical y/R(y) changeant de signe avec x, d’aprfes la
condition
/H( t) = sna? cn.r cln.r,
on aura
V(—ar) = G (0 — s/F( 7 )G|( 0 ;
nous concluons done de I’dgalitd donn^e plus haul
nomes G(<f), G|(<f), ^tant cles degres donnes tout a l’heure, se
trouvent, a un facteur constant pr&s, determines par la condition
que l’expression
G*( 0 -R (0 G ?(0
soit divisible par 11 (A). II suflit, par consequent, de nous reporter
a l’equation obtenue au paragraphe XLIX, a savoir
N ? *(0-R(0‘!'*(0 = n(0(^-5'')i
pour en conclure le resultat que nous avons annonce
Mais nous voyons, de plus, qu’on pent poser
p [G(0 4- v/RCO Gi (0] = v/N <p(f) H- v/RTO <K t),
p designant une constante. Voici maintenant les consequences a
tirer de cette relation.
Je supposerai que I’on ait n = av; les polynomes o(t) et
dont les coefficients doivent elre regardes comme connus eL, si
l’on vent, exprimes sous forme entiere en A, seronL alors des degres
v et v — i. Gela £tant, revenons a la variable primitive en faisant
l = sn 2 #; on pourra mettre \/R.(*)'}(£) et cp(<f) sous la forme sui-
vante, a savoir
/R(0<K0=-
D^-Wsn*^)
D 2 ^ a (A'*sa*ar)
l’(av-i)
<o(t) =+ b
D;
' 2 (A' 2 sn 2 .r) D'^ '‘ (k* sn 2 ,r)
r(.av) r(2v — 2)
Nous aurons done cette expression de la fonction X F(^),
P V(U7) = —
D ^ 1 1 (A 2 sn 2 a:) , 3 (/f 2 su 2 a;)
1 r(av -+-1)
-,/N ^ PS'-y »■>»») -
r(av)
r(av — O
, D^-*(A*sn*a 7 )
r(av-a)
ou les constantes a, a', ..., 6, b', ... sont determinees lineaire-
mentpar les coefficients de o(f),et <{/(A).
SUR QUELQCES APPLICATIONS UES FONCTIONS KLUPT1QUES.
409
Op on en ddduit, en faisant x = fK'-i- £ et se rappelant quin a
suppose n — 2V, ligalite suivanle,
d’ou nous tirons
-V/N (
p = a,
pa 0 = b /N,
pa, = a',
Eliminons l’inddtermiiie p el remplagons les coefficients a 0 ,
a,, ... par leurs valeurs du paragraphe L (p. 406); on aura ces
relations
6 y/N
La premiere donne ^expression cle A, el nous reconnaissons, par
celte voie, quille ne contient d’autre irrationnalile qne y/N. O11
obtiendrait la m6me conclusion dans le cas de n — 2V — 1, el
cist le resultat que j’avais principalement en vue dilablir, a pres
avoir clemontrd que sn-to esi une fonclion ralionnelle dc h. L’elude
des solutions de Larad qui corres])ondent aux racines de liqua¬
tion N=o nous permellra, comine on va le voir, d'aller plus
loin et d’approfondir davanlage la nature de ces expressions de \
et sn 2 to.
LI.
On a vu au paragraphe XLIX (p. 4 o 4 ) que l’intdgx’ale g^nerale
de liquation diiTdrentielle nisi plus repr<$sentde, lorsqu’on a
N = 0, par la formule
y = GF (a?) -+- C' F(—a?),
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
4lO
Suivant les diverses combinaisons des signes de pi et ud, nous
pouvons done avoir des solutions particuli^res de quatre especes,
caraclerisees par les relalions suivantes :
(I) F(a- -r- qsK) = — F(a?), F(rr -h 21K') = -4- F(a?),
(II) F(a? -1- 2K) = — F(a?), F(.r -+- -ii K') = — F(a?),
(III) F(r + aK)= + F(.2?), F(a? + 2i‘K') = — F(a?),
(IV) F(a? -t- aK) =-+- F(a?), F (x -+■ 2iK') = H- F(a?).
Tonies existent en elTet, et les trois premieres, ou F(:c) a succes-
sivement la periodicite de sn#, cnx, dna?, s’obtiennent en faisant,
dans I’expression g-enerale de cetle formule, \ = o, conjoinLeraenl
avec to = 0, to = K., to = K -1- f K'. Nous remarquerons, pour l’eta-
blir, que, les valeurs de I’element simple
A*) = e> ' l ' r "' K,> xO)
etant alors f (x) = k snx, ik cnx, idn#, dans ces trois cas, les
developpements en s^rie de /(s) ne contiennent que des
puissances impaires des, de sorte que les coefficients ddsignds par
H i s’evanouissent tons pour des valeurs paires de l’indice. Des
deux conditions obtenues au paragraphe XLV (p. 3 g 3 ), pour la
determination de to et A, a savoir
Hjv—1 -t - /t| H 2 v—3H~ /12 1 'bv—5 -t - * • • ~t~ ^v-i Ht ~ t" ki — o,
av H, v -h (av - a) TIjv 2 ■+. (av — 4 ) h, H, v .* -h .. . + a/iv-t II2 = o,
dans le cas de n = av; puis, en supposant n = 2v — 1,
II 2 v —2 ~H h 1 II 2 V —4 H~ k ‘2 II 2 V- 6 ~' 1 “ • • • H - — I Hq =
(av — i)H 2 v-i + (av — 3)H 2v -3 . • -+- /tv-i Hi — = o;
on voit ainsi qu’une seule subsiste el determine la conslante /i,
l’autre etant satisfaite d’elle-meme.
Mais soil, pour plus de precision,
k Sn ( l'K'H- £ ) = — -+- p i £ H-H- • • • Pi £ 2 ^ - * -+- . . . ,
P = Ai/) v -i -+- /i 2 /> v -2-H- • .-t- H- A v ,
Q = ^v-H A|£v-1-H/<o^ v _ 2 -|-.. •+•/'v-i^i •+■ A V)
R == /\, h- A, ;’ v _ ! -t- !u_ t \- 2 -+- • • • H- v -1 >’i -+- /?v;
puis, en supposant n = 2V — i,
P = ('J> V - l)/?v-+- ('->.V — 3) fliPv-i -4-. . A V -1 /?!- A v ,
Q = (2v — Og'vH- (av — 3)/i 1 ^v-i-+-- • •-+- /iv -1 gi— A v ,
R = ( 2 V — l) /’v H- ( 2 V — 3 ) Aj /’v—1 -4 . • . -4- /tv—l /’l — /tv i
cela dtant, les equations
P = o, Q ~ o, R = o
dctermineront les valeors particulitires de h auxquelles corres¬
pondent les trois esp£ces de solutions que nous avons consider^es,
et l’on voit que dans les deux cas elles sont toutes du degre v.
II ne nous reste plus maintenanl qu 5 & obtenir les solutions de la
quatrieme esptice dont la periodicity est celle de sn 2 #, mais elles
se deduisentmoins immddiatementque les pr^c^dentes de 1’expres-
sion g-ynerale de F(,a?); il esL necessaire, en efiet, de supposer
alors la constante \ et snw infinis; je donneraien premier lieu une
mdthode plus directe et plus facile pour y parvenir.
Soit d’abord n = 2v; je remarque que toute solution de F^qua-
tion diffdrentielle par une fonction doublement pdriodique de pre¬
miere esp£ce rdsulte du developpement
et sera donn^e par F expression
o, v D£-*(A* sn’tr) , n>5'-' 4 (A*sn*an . /70 ,
P <*> = r(av) H - V ( ,\-V H --- **-<*■
Cela etant, disposons de li de manure 4 avoir
i In , , /tv-i , . ,
V Sy H- ( V — i) h \£ V - 1 “h ( V — 2) A2 *$v —2 *+“ • * * hy~\S\ — /iv4-l 5
je dis que la fonction doublement periodique
D£ F(a?) — [n(n, + i)>t 2 sn 2 a?H-/i] F(a?)
est ndcessairement nulle. Si, apres avoir pose x — zK f + e, on la
developpe en effet suivant les puissances croissantes de e, non
senlement la partie principale, mais le terme inddpendant dispa-
raitront, comme on I’a vu au paragraphe XLIV (p. 3g2). De ce que
la partie principale n’existe pas, on conclut que la fonction est
constante; enfin cette constante elle-meme est nulle, puisqu’elle
s’exprimelineairement et sous forme homogene par le terme indd-
pendant de s, et les coefficients des divers termes en -■
Soit ensuite n = av — 1; le developpement qu’on tirede l’equa-
tion differentielle, a savoir
contenant un terme en^-, on doit tout d’abord le faire disparailre
en posant /z v _ ( = 0, pour en ddduire une fonction doublement
pdriodique de premiere espece, qui sera de cette maniere
f O) = —
D^~ 3 (/f 2 sn 2 »)
r(av — 1)
, D'^ _s (/c 2 sn 2 #)
A v _ 2 D^/r 2 sn 2 «).
Cela dtant, et en nous bornant a la partie principale, on aura
F(iK'-t- e) — —- 4- —^5 +• • -
il en resulte que, si on laisse indeterminde la constante /z, le deve¬
loppement de l’expression
D% F (as) — 4 -i)/c 2 sn 2 # -+- h] F(#)>
aprds avoir pose # = zK/-|-e, commencera par un terme en
Mais faisons /z v _, — o; comme on peut ecrire alors
on von que oe aevciuppcmeiiL commencera par un terme en qui
lui-meme doit ndcessairement s’evanouir, et il est ainsi prouve
que, sous la condition pos^e, le resultat de la substitution de la
fonction F(ar), dans le premier membre de l’equation differen-
tielle, ne peut etre qu’une constante. J’ajoute que celte constante
est nulle, le resultat de la substitution elaut, comrae F(r), une
fonction qui change de signe avec la variable. Soit done, dans le
cas de n — 2V,
S = v s s ; -t- ( v — i)hi Sy —i H- (v — 2 ) A 2 ^v— 2 hy —j s i — /fv-t-i;
puis, en supposant n — av — j ,
S = hy- X ,
on voiL que les Equations
P = o, Q = o, R = o, S = o
determinent les valeurs de h auxquelles correspondent les quatre
especes de solutions doublement periodiques decouvertes par
Lam£, ces soluLionsne se trouvanl plus dislingueesparleurexpres-
sion algdbrique, comme 1’a fait l’illustre auteur, mais d’api'es la
naLure de leur pdriodicite. On voit aussi que la condition N = o,
d’ou elles ont 6 td tirees, se presente sous la forme
PQRS = o,
et l’on v^rifie imm<5dialement que le produit des quatre facleurs,
dans les deux cas de n = 2 v et n = 2 v—i, est bien du degr6
2 /i-f-i en A, comme nous I’avons^iabli pourN au paragraphe XLIX
(p. 4o3).
Voici maintenant le proc6d£ que j’ai annonce pour deduire les
solutions de la qualrieme esp£ce de la solution generale.
LII.
3e reviens & l’^ldment simple
a li cette valeur, l’expression de f(x). Concevons, a cet efFet, que
X soit exprim^ au moyen de co; je ferai
10 = t'K'+ o,
ce qui donne, aprds une reduction facile,
* f\ H'( 3 i
f(T) H'(o)6(g + 8)
i K')
/ 7 t 8
IT
Or nous avons, en developpant suivant les puissances croissantes
de 8,
H'(A
11 (o)
J \ » S| o 3 S2 0 3
Kj ° 3 T
cela ^tant, pour que l’exponentielle
soit finie lorsqu’on fera 8 = o, on voit que X doit s’exprimer de
telle maniere en co qu’on ait, en supposant co = «K' + 8,
X ^ —r - X 0 ”1“ X i 0 H- ....
0
Cette forme de ddveloppement nous donne, en eflet,
H'(o) , A .1 \ *
X " WW) ~ Xo+ ( XlH ~ K ) S H_> • • ;
on a d’ailleurs immediatement
H'fo) £
H (o ) 8
6(37 + 8)
<d(x )
et nous en concluons l’expression
X = (x I + » 0 -i)(*-.-K-)+ii
0'(.r)
«(*)'
Elle fait voir que Jes formules, pour « = av et« = 2v — i,
F(tf) = —
p
r(2v)
Q2V-3 f(x)
T(2V ~ *)
••■•-/‘v-1 D.r fix).
puis
F(*)=-+-
D- x '-- f(x) p2v-4/(, r)
l'(9.v — i) 1 r(av — 3)
/-i /(*),
oonliennent chacune un terme en qui est, pour la premiere,
et, dans la seconde,
[ \ 2V 2 )2V t
7;——-H //1 -——--
Hiv-iJ I ( v. v - 3
- /# v
lA °]’
/i v _, .
II est done n^cessaire, afin d’obtenir des quantiles fmies en faisanl
■8 = 0, que X 0 salisfasse a ces equations
X 2V ~'
i>)'
r(v.v-,)'
xy-
r ( 0 , v — •/;
/lv -\ X 0 =
r (•?. v — 3 )
— H-. . .-t- /iv-1
Cela dtant, les expressions de F(a;) se transforinent de la manure
suivante.
Soit, en gdndral,
f(x) — e^ x X,
en d^signant par X et X une constante et une fonction quehonques.
On voit ais^mentque la quantite
AD5/0) -t- A. .- 4 - A n f(x\
si l’on admeL la relation
Ti{cc) =
par la formule
AD x~ l J'i (x) -+- (A X 4 - Aj) D ^~ 2 (cv) -t-...
-4- (AX"-i -i- A, X"- 2 4 -... -+- A„_,) f x (x).
Dans le cas auquel nous avons eLe conduit, on tire immddiate-
ment de la valeur de X l’expression
fx(x) = eXoP 1 —.'K')(Aj -t- s 0 — /c 2 sn 2 :r),
et nous obtenons par consequent pour F(#) le produit, parl’expo-
nentielle e^, d’une fonction doublement pdriodiquc de premiere
espece, composee lindairement avec lesderivdes de sn^.L’analyse
pr^c^dente, en etablissant l’existence de ce genre de solutions de
l’equation differentielle, les rattache aux valeurs de h qui rendenl
a la fois infinies les constantes X et sn to; on voit aussi que, dans le
cas parLiculier oil X 0 est nul, elles donnent bien les fonctions que
je me suis propose de ddduire de la solution.generate. Mais reve-
nons a la premiere forme qui a £te obtenue au mojen de la fonc¬
tion
/(a?) = e^-m / 1 +. x + X, 3 4 - ...) .
Le Lerme — disparaissant, corame nous Pavons vu dans-
{’expression de F(.z), il est permis de prendre plus simplement a
la limite, pour 8 = o,
f(x) = e X>(' r —' K ') X.
Cette fonction joue done le rdle d’dl^ment simple; il est facile,
lorsqu’on fait x — fK'+ e, d’obtenir son ddveloppement et d’avoir
ainsi les quantity qui remplacent, dans le cas present, les coeffi¬
cients d^signes en general par H 0 , H ( , etc. Nous avons en efl’et,.
pour x — iKJ e,
X =
Xi 4- So — j
H'(s) _ i s Si s 3 s 2 e 5
__ -4-A,e-- -j- —
Multiplions par e l « z les deux membres, et soit
A 0 e X = - 4- S 0 4- S t e 4 -.. . 4 - S;e';
S, etant, en general, un polynome clu tlegrE i +1 en X 0 , ou
n’entrent qae des puissances impaires on dcs puissances paires T
suivantque l’indice est pair ou impair. Les conditions donnees au
paragrapke XLV (p. 392) conduisent done, dans les deux cas de
n = 2V, n = 2v — i, en y joignant liquation enX 0 prEcedemment
IrouvEe, a ces trois relations
-... A v _ 1 X 0 = o,
S2V—i ~t - A] S2V—3 — H A2 S2V—5 -H • •. -H st A v _! S1 —i- A v — o,
V S 2 V ■+■ ( 2 V — 2. ) h\ S 2 V—2 "4“ ( 2 V — 4 ) A 2 S 2 V—v 2 Ay —1 S 2 = 0,
lorsque I on suppose. n = 2 V, puis
}2V—2 V2V—4
S2V—2 —1H A1 S^v—4 —H* Aj S2',—0 -t— •. • -+- Ay—j So = 0,
(av — 1) S2y— i -1- ( 2 v — 3 ) Aj S2V-3 -+- Ay Si — Ay — 0
pour n = 2v — i. Elies donnent le moyen d’obtenir direclement,
et sans supposer la connaissance de la solution gEnErale, les trois
quantity X 0 , X, et h. Elies montrent aussi qu’on a en particulier
la valeur X 0 = o, a laquelle correspondent les solutions de LamE.
Eflectivemenl, lorsque X 0 est suppose nul, on obtient
cela Etant, dans le cas de n = 2v, la premiere et la troisieme Equa¬
tion sont satisfaites d’elles-mEmes; la deuxieme, devenant
—1— . . . —(— Ay.|_l A] —I- Ay 0,
(p. 394), sous ces formes,
&=o, 4J*/=A/-v,
» La plus simple est
ou bien
$ s = V
— v( 2 v -+- 1) H 2v+1 4- (v — 1) ('>■ v — 1) h\ TLv-i
-+- (v — 2 ) ( 2 V - 3 ) /<o H o v _3 -v- . . .4- 3 /lv-1 H 3 4- /Zv-Hl = 0 ,
et nous en lirons immddiatement
— vs v —(v — l)/l,s v _, — (v — 2)/i 2 S v .- 2 —. . .— /i v -l$l 4- /?v+l = O,
ce cjui est l’equation en h precedemment trouvee.
» En dernier lieu et pour le cas de n = 2v — 1, nos trois red.
tions se trouvent vdrifiees si I’on fait /z v _, = o; on relrouve dot
encore de cetle maniere le resultat auquel nous etions prdcedi'Ji
ment parvenu par une methode toute diflerenle. »
ETUDES DE M. SYLVESTER
SUU LA
THEORIE ALGEBRIQUE DES FORMES.
Comples rendus de V Academie dcs Sciences,
t. LXXXIV, 1877, p. 97,1.
On cloil a M. Paul Gordan, professeura I’Universite d’Erlangen,
la belle et importante ddcouverte, qu’a I’egard’des formes a. deux
inddLerminees, les invariants el covarianls, qui sont, eoimne on
sait, en nombre illimild, peuvent dtre exprimes tous par les fonc-
tions ralionnelles et entieres d’un nombre essentiellement lini
et limitd d’invariants et covariants fondamentaux, nominds, pour
ce motif, Grundformen. Cette proposition eapitale vient d’dtre
etendue par M. Sylvester aux formes les plus gdndrales, quels que
soient leur degrd et le nombre de leurs inddtermindes, et je me
fais un devoir de reproduire les termes mdm.es dans lesquels
l’illustre gdomdlre m’a charg'd d’annoncer sa belle ddcouverte.
Baltimore. — Depuis mon dernier envoi, avertissez I’Acaddmie
que j’airdsolu le probldme de trouver les Grundformen completes
pour des quantites quelconques avec n variables.
EXTRA IT
d’une
LETTRE I)E M. CH. HERMITE A M. L. FUCHS.
Journal cle Crelle, t. 82, 1877 , p. 343.
Soit
Z{x)
R'(^) .
on. peat a 1 aide ‘de cette fonetion re presenter toutc fonetion.
uniforme, ayant pour periodes 2K et 2«K/, par une fonnule
enticement analogue a celle d’une fraction rationnelle decom¬
pose en fractions simples, a savoir
F(a?) = const.-+-AZ(a? —a) + A x D a Z(a? - a) + A S D* Z(® — aj h- . . .
■+■ BZ(x — 6 )+ BiD^ZO— 6 ) 4 - B s D*Z(a?— b) 4-. . .
4 - LZ (a? 0 4 - Li D x Z(x — Z) 4- Lj DJ. Z(x —
ou les constantes A, B, L sont essentiellement assujetties a
remplir la condition
A+B+...4-L = o.
C’est cette expression, dont j’ai fait usage dans Lien des circon—
stances, que je vais employer a la recherche des coordonndes d’une
cubique plane en fonetion explicite d’un parametre. Je pose a cet
effet
A Z (t — «) 4- B Z{t — 6)4-0 Z(t — c),
7 =JoH- A'Z(i- a) 4 -B'Z(< — 6)4- C'Z(t— c),
avec les conditions
cle sorte que les coordonnees x el y se irouveront des ionc-
tions lineaires des deux differences : Z (t — a) — Z(£—c) et
Z(t — b) — Z(f — c ). Cela elant, je remarque que x 2 , xy, y 2
elant des fonclions doublement p^riodiques uniformes aux
periodes 2BL et 2 «K/, s’exprimenl lindairement, d’une part par
ces deux differences, et de l’aulre par les ddrivees D ; Z(^ — a ),
D t Z(t — b ), D t Z{t —c). Et pareillement, si l’on considere x 3 ,
xy 2 , y 3 , il resulte dc la formule generale qu’on aura
seulement les ddrivdes secondes D?Z (t — a), D 2 Z (t — b),
D*Z(t — c), a joindre aux ddrivdes premieres et aux deux diffe¬
rences. Ce sontdone huit fonclions en tout, entrant lineairement
dans les neuf fonctions doublement periodiques, que je viens de
former, et la relation du troisieme deg’rd entre les coordonndes x
et y en est la consequence immediate. J’ajoute que ces coor¬
donnees renfermant, en premier lieu, les conslanles a, b , c , ou
seulement a — c, b — c , car on peut mettre t — c au lieu de t ,
puis les coefficients A, B, A', B', el enfin x Q el r 0 , contiendront
huit arbitraires, de sorte qu’en y joignanl le module de la transcen-
dante, on aura bien le nombre maximum egal a neuf, des inddter-
minees d’une cubique plane quelconque.
Soit maintenanl
X — X 0 -+. A Z(t — a)-+~B Z(i-4)+CZ(/-c) + DZ(/-rf),
y = yoA' Z(t — rt) -+- B' Z( l — 6 ) -+- Z (£ — c) - 4 - D ; Z (t — c?),
« = 4 0 + A'Z(f - a) + B'Z(t - J) + CZ(< - c) + D'Z ( / - rf),
avec les conditions
2 A.= o, SA'=o, SA"=o.
Ces trois quantiles d’une part, et celles-ci de l’autre, k savoir : x 2 ,
y 2 , z 2 , xy , xz, yz, s’exprimeront en fonctions lindaires de
Z (t — a )— r L{t — d),Z(t — b )— Z(£ — d),Z(L — c) — Z(£ — d),
et des quatre ddrivdes D f Z(< — a), etc. On a par consequent sept
fonctions, dans l’expression de neuf quantiles, qui des lors sont
lides par deux equations, de sorte que les quanlitds considers
representent bien l’intersection de deux surfaces du second ordre,
et comme ci-dessus, on voit qu’elles contiennent le nombre d’arbi-
traires maximum crue comporte une telle courbe, lequel est eeal
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
422
Je reviens a la Geometrie plane pour considerer les courbes
Clebsch, dont les coordonnees sont des fonctions elliptiques d’
parametre, que je prends sous la forme suivante :
x = Xq A. Z(t — cl ) B Z(t — b ) -t—... —f— L Z{t — l ),
y = jKo ■+■ A/ Z ( t — cl ) Z ( t — 6. -4- JJ Z (t — l ),
en supposant toujours
SA = o, 2 A' = o.
Le succes de la methode prdcedente dans le cas de la cubique r
fait tenter d’etablir par la meme voie que x el y salisfont ai
equation algebrique d’un degre egal au nombre des Lransc<
dantes : Z (t — a), Z(£—6), .Z(£—/). Mais les clioses
passent alors moins simplement. Considerez en eflfet les diver
fonctions homogenes de x et y, jusqu’au degre u, dont le 110m
sera 2 + 3 + ... -p p 4- 1 = ~ (p 2 -p 3 p), et soit m le nombre
Lranscendantes. Toutes ces fonctions doublement periodic}
s’expriment lineairement par les differences : Z(£ — a) — Z(i~
r L(t — b) — T L(t — /), ..en nombre m — 1, puis par les deriv
jusqu’a l’ordre p — 1, des quantitEs Z (t — a), c’est-a-dire en l
par m — 1 -p m(p — 1) fonctions. A fin done de pouvoir effect
l’Elimination de ces fonctions, je pose la condition
^ ([2 2 -+- 3 p) = >n -+- ni ( jj. — 1 ) = ni jj.
qni me donne p = 2 m — 3 , de sorte que je parviens par cetle 1
a une courbe d’ordre 2 m — 3 , au lieu cl’obtenir l’ordre m
procEdE qui rEussit dans le cas de m = 3 , donne done en gen
un degrE trop ElevE, et j’ai du completement j renoncer, con
mElhode d’Elimination. Mais l’existence, au moins, d’une et
tion de ce clegrE m se prouve tres facilement. Gonsiderez \
cela une droite arbitraire a.x -p (3jp -p y = 0, dont les points
rencontre avec la courbe s’obtiennent en determinant t par l’e<
i t = a, b 1 c,
Elle ne peut clone s’annuler, d’apres nil thdoreme connu de la
theorie cles fonctions ellipliques, c[ue pour m valeurs de t., dans
l’inlerieur du rectangle des periodes 2 K. et 2i'K', et la courbe ne
pouvant etre coupee qu’en in points par une droite quelconqne,
est bien d’ordre in.
Ce mdme raisonnemcnl applique a la polaire, dont les coor-
donnees sont,
X = _nZL_, Y =_-_,
xy'—x’y xy'—xy
en determine le degre.
Eflectivement les intersections de cetle seconde courbe avec la
droite aX -f- (3 Y -f- y = o sont donnees par l’element
-*/+ Pa?'-h 7 (a?y — yx')=.o,
el vons voyez, que son premier membre est une function double-
menl periodique, admelianl. les inlinis doubles / = a, b, ..., Z, de
sorte qu’on a 2 m racines, et par suite 2 m points d’intersection.
Connaissant I’ordre de la polaire des courbes de Glebsch, 0 = 2/11,
le nombre d des points doubles de ces courbes en r^sulle imm<$-
cliatement, corame consequence de la relation 2 d-\- 8 = m(/u — 1)
donnde dans mon Cours d'Analyse (p. 385 ); on Lrouve ainsi par
une voie facile la proposition fonclamentale d=^m(m — 3 )
demontrde par Clebsch (t. 63 cle ce Journal , p. i8g).
Paris, Mj juin 187(1.
P.-S. — La determination des points d’inllexion de la cubique
plane, et des points stationnaires de la quadrique dans I’espace,
dependent des equations suivantes :
| Z’(i — a)— Z'(I — c) 7J(t—b) — V(t — c) | ^
\Z"(t—a) — Z"(t — c) Z"(£— b) — 7J'[t — c) | °
et
Z' (t — a) — Z' (t — d)
Z"(t—a) — Z'(f— d)
Z' (t—b) — P (t — d)
Z"(7 — b)~ Z"{t—d)
L' (/ —c) —Z' (t — d)
Z" (t — c) — V (l — d)
pour abreger
$(a ; Z>,c) = H(a — Z>)H(a — c)\l{b — c ),
<t>( a, b, c, d) = H(a — b) H (a — c) II (a — d)
E(b — c)ll(b — d)
II(c — d),
le premier determinant est
, <P(a, b, c) H(31 — a — b — c)
(0) [U(t-a)H(t — b) Il(?- C )p’
et le second
H'(o ) 9
b, c, d)H(^t — a — b -
-d)
[H(t — a)H(t — b) H(t — c)H(t — d)]*'
Les beaux resultats decouverts par Glebscli sont ]a consequence
de ces expressions qui m’ont amen<5 a considerer, en general, le
determinant a n — i colonnes
Z '(t — a)— Z'(t—l) Z'(t — b) — Z'{t—l) ... 7J (t — k) — Z '(i—l)
Z '(*_«)_ Z"(t — l) Z "(t—b)— Z "(t—l) ... Z '(t — k)— Z
Zn-i(t — a )-Zn-i(t-l) Z*-i(t-b) — Z*~'(t—l) ... Z*-Ht — k)— Zn-i(t~l)
ou a, 6, ../c, l sont n constantes. Si Ton pose comme prdcedem-
ment
<t>(a, 6 , ..., k, l) = H(a — b) II(a — c) ... II (a — l)
R(b —c)...\l(b — l)
II (k—l),
on trouve qu’il a pour valeur
, 5 D(«+ 2 i 4>(a, b, ..., k. 1) \A(nl — a — b —. . . — l)
11 {0) [tt(t-a)ll(t-b)...U{t — l)\^ ’
p. d^signant un facteur numdrique.
Paris. 29 decembre 1876 .
EXTRAIT D’UNE LETTRE DE M. CH. HE It MITE A M. RORCIIARDT
SUR LA FORMULE DE MACLAURIN.
Journal de Crelle , t. 84 , 1878, p. (>4.
Les propriety de la f one lion cle Jacob Bernouilli dtablies par
M. Malmsten dans son beau Md moire sur la formule
hu' x — A u x — - li A «4 - 4 -...
(t. 35 de ce Journal , p. 55 ) peuvent dire obtenues par une
autre mdthode k laquelle m’ont conduit les recherches que vous
avez publides, t. 79 , p. 339. Reprenant 5 cet effet Pdquation de
i* definition, A savoir
e \x , X X 2
—-- = S(a?)o-H-S(a?)t-+-——• S(a?)s-+-..
e k —, 1 1.2
de sorte que l’on ait pour x entier
S(CC) H = 3-f- (x — l )",
je remplacerai d’abord \ par A, ce qui donnera
eJkx— i
e i\ — 1
-;A\ s >n yX
e 2 \e l — e J
sinjX.r cosyX(a? 1) . sin-jXa? sin{X(a? —1)
sirijX sin-J-X
4*6
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
et l’on en conclura ces deux egalites, ou je fais pour abreq
(n) — i .a.d ... n :
(0
(»)
sinlX^ sin-5-X(a7— i)
sin j/»
sin |-X x cos 1 \(x — i)
sin 2 ‘X
= x s(x h --¥- ) s(x),+
Ceci posd, la formule suivante dans laquelle B 1? B 2 , etc., design
suivant l’usage les nombres de Bernouilli
log sin - a? = log - a? -
•i ° 2
d) a
B 2 x k
( 4 ] 7
B„ x'-> 1
(2/1 ) 2 71
conduit a une expression analytiqne des polynomes S(x) n ,
met imm^diatement en evidence les proprieties decouvertes
M. Mai ms ten. En considerant d’abord la premiere de nos de
relations, on en d^duit'en effet
log
sin^ \x sin \ \(x — i)
sin 1 X
log - Xa?(a?— i) -+- [l — x %
—t—1_ i — x'+
(i-^]
1l
(2)
] 2 l
( 4 )
Posant done
et observant que
X,
— (i — xy-n-
Xi = — 2 a?(a? — x),
nous avons cette formule
*l*i *1*\/ \ *\ Hj\i X* 1
sinjAo; sinf h(x — t) _ A -J55- T
sin^X 4 1 6
bib id
14 ) 4
dont voici les consequences. Je remarque que le ddveloppein
S(a?)i = — j Xj,
4
S(-) 3 = - T 6 -X ?>
30,-_l_ CaXl x,+ lXJ).
S(a?) 7 = ^ ( 16 X,X, 4- 4«X* X 2 -t- 35X*),
Or X/; qui s’annule pour x = o et x — i, n’admet dans l’inler-
valle de ces deux racines, qu’un seul maximum, correspondant
a la valeur x = -> comme le montre la ddrivde
D. r X« = — t inx- ,l - x -\- sn(i — a?) s " -1 .
CetLe valeur ne ddpendanl point dc n, fournit par consequent le
maximum de Louie fonclion ralionnelle enliere et a coefficients
positifs des quantities X w , el il est ainsi prouve que le poly-
nome (—i)' 2-1 S(a 7 ) 2 « + ,, est posilif quancl la variable emit
de x — o a x — i, et acquiert sa valeur la plus grande pour x = ^ •
Je passe ul’dquation (a) qui concerne les polynomes d’indices pairs,
et en ecrivant le premier membre sous la forme —\-
i sin X (n-a? — i)
je developperai le logarillime de la quantile
ainsi amend a employer I’exprcssion
sin-jX
. sin{X(2a? — i) r.
,i — 2 - . - rz -- • On sera
sin 2 a
X 5* = i — (2 x — 1 ) 2 ",
qui permeltra d’ecrire
sinlX(2a? — 1 ) . IfiX 1 } X 2
Jog .l i n-pr +
B 2 X» X*
( 4 ) 4
sin-^XO-a? — 1)
sin yX
n,x? V
(20? — 1) e 121 2
n.,xj >0
W 4
et par suite
l’intervalle qu’un seul maximum correspondant aaj = ^- II en esl
done aussi de meme de tous les coefficients des puissances de \
dans le developpement de l’exponentielle, et en exceptant seulc-
ment S(x) 0 , nous avons cette seconde proposition que les poly-
nomes -— - - - X - > ' 2,L sont positifs de x = o a x = i avec un seul
227 — i r
maximum dans l’intervalle ponr x = *-•
La facilite avec laquelle les propri^tes des polynomes S(a?)„
rdsultent de la forme trigonometrique de leurs fonctions gendni—
trices conduit a employer ces m£mes fonctions pour etablir la
formule de Maclaurin. A cet effet je partirai de laformule dlemen-
taire
J U 2 "V<&? = U 2 «->V- U 2 "- 2 V'UV 2 «-i+ J UV*«rf!r,
oil U et V sont deux fonctions quelconques de la variable a?, dont
les derivdes d’ordre k sont designees par U* et V*. Posons pour
abr^ger
*(&) = U 2 "~i Y + U 2 «-3V" -h. •.+ U'V 2 «-°-,
V(a?) = U 2 "~ 2 V'-t- U 2 "-*V"'-4-. •U V 2 "- 1 ,
ce qui donnera
J\]™V dx = $>{cc) — >F(a7)4- J UV 2,t dx ;
en laissant arbitraire la fonction V, je prendrai
sin-^Xa? sin-2-X(a? — i) „ .
U = -:—7-7- — &(.x)r
smfA
?S(a?) s -
et il sera facile d’obtenir les expressions de $(a?) et x F(a?), si Ton
met U sous la forme C ° S -~ -———— • Ayant en ellet
asiniX
on trouvera
$>(*) = (- i)'* sm l X ( l ^ _ —0 [x*«-i v - A 2 «~ 3 V" -h. .(_ n/ixv*"-* I,
2 sin-g X
V(ar) = (- !)«-» - ° S ^ X( - f-~ l) V'- X*«-* V '"+..!)'<■ V*«-*}
2 sin | A J
+ _£2fl* V—.
2 sin-j A
MaJntenant d(§signons Its valeurs de V k pour x = i et x = o,
par V* et V*, de ce qui precede nous d^duirons les formules
4>(0 —V(o)= [X**- 2 (Vi-+-V 0 ) — ~s(v"
W(I)— W(o) = [^"- 8 (Vi - v;j - x*«-‘ ( vr- V'S) +. • .j
+ _cosiX_ (V?n _ 1 _ vg , l _ 1))
2 sin-g- A
dont la premiere comme on voit renferme des sommes et la seconde
des differences. Soit encore
<P(X) = X*»-*(V, 4-Vo)--X*"-s(V # 1 +V ff 0 ) + ...-H(— i)« X(V?«- 2 -i-Vjj''-*),
I|;(X) = X 2 "-2(V;—V'o) —X 2 "- 4 (V"' —V") + .-.+ (—i)" X2(V 2 ' t - 3 —V 2 "- 3 );
en remarquant que le Lerme ind^pendant de A disparait dans la
seconde formule, nous pouvons £crire
C— i V 1
*(0 — 4 >(o) = ~~ <p(A),
W(,) — x I r (o) = ( ~~ l),/ '^- COt - i X ip(X),
et l’on en conclura, en prenant pour limites des intdgrales zdro et
l’unit^, la relation suivanle :
J 0 2 sin £ A
= x c ot jX rWU-cos|.X(..r-O v
2 TW 2 YW J 0 MSin-jfX
ou, plus simplement,
v?=/iv*(*o+/ 0 ,
VjJ' = h k f k {x o);
le coefficient de X 2 " dans la quantity ^cot^At|»(A
mojen de la serie
- cot -) = - — 111* _ B ** 3 _
-i. t0 ‘>. x ~ \ {‘x) ( 4 ) uy ‘
sous la forme suivante :
¥ r
' ( 2 ) 1
B,A»
( 4 )
B,,_, h- ,l ~ 3
h ( J, (/"-* (a-. + h) ) |.
D aillenrs, dans o(*a), le coefficient du meine tern:
ment
y 1 H T Vo=/(a? 0 +/i) -+-/(a?o);
dans la fonction
U = XS(a?) 1 — ^ S (a? ) s
son expression est S(*) 2 „_,; on est par const
a l’egalite
jf /(*, + A*) rf* = .1 [/(* 0 + A) +/(*.)] - |±y [/'(»„ •
B,/r»
( 4 )
[/"'(>0+ /O —/'"Ooj]
, B„_., A 2 "-s
+ ( “ r) " 1 7 ^_ a) [/ 2 "~ 3 (*o
■j y /^Oo-H- Aa?) S (a?) 2 ,t-
qui se ramene a la forme habituelle, en remplagant da
membre l’integrale £ /(x 0 + hx) dx par
La proposition de M. Malmsten a Fugard"de S(x
J f in (x 0 -+- hx) S(a7) 2 «-i dx =/ 2 «(^ 0 -l- OA)^ S(a?) 2 «_i
G etant compris entre zero etl’unile.Quantau facteur / S {x)<± n __ { dx,
Jq
il esl donne par le coefficient de —> dans le developpc-
menl de l’intdgrale
d’ou la valeur
1 cos tX — cos (ix — i)?■ X , r i.
-=-V:- dx — ~ cot - X,
, 2 sin i X a a
C S (x) lu -i dx = (— i)" B,j,
Jo
de sorle que la formule ordinaire s’obliendra en remplacanl dans
le premier membre l’inlegrale
jT f(x 0 -h hx) dx par liS x f( a ')d x -
Paris, 7 avril 1877.
EXTRAIT D’UNE LETTRE DE M. Oil. HERMITE A M. BORCHARDT
SUR LA
FORMULE D’INTERPOLATION DE LAORANOI
Journal de Crelle , t. 84 , 1878, p. 70.
Je me suis propose de trouver un polynome enlier F(.x’) <
degr£ n — 1, satisfaisant aux conditions snivantes :
F(«)=/(a), F '(«)=/'(«), F«-«(a) =/«-*(«),
F(6)=/(6), F '(b)=f(b), FP-»(A)=/P-‘(6),
F(0 =/(0, F'(D = /'(0. f x -‘(0 =/ x - l (0.
ou/(#) est une fonction donnde. En supposant
a-4-(3-+-...-!-X = 7i,
la question comme on voit est d^termin^e et conduira & 11:
generalisation de la formule de Lagrange sur laquelle je prese
terai quelques remarques. Elle se r^sout d’abord facilement corai
il suit. Je consid£re une aire s, comprenant d’une part, a, b , . .
Z, et de l’autre la quantity x ; je suppose qu’a son int^rieur la fon
tion f(x ) soit uniforme et n’ait aucun pdle; cela £tant je vais £tab
la relation
F (*)-/(*)=-l-jf
f{z){x-a)*(x--bf...{x—l)' k
(x — z) (z — a)*(z — b)$...(z — Z)X ’
l’intdgrale du second membre se rapportant au contour de 5, et
m^me temps donner l’expression du polynome cherch£ F(#).
et
<l>( x) — (x — a)°-(x — b jp .. . (x — l )^
I’integrale curviligne sera la somme ties residus de ®(z) pour les
vaieurs z — a , b , I ex z =■ x. \j& dernier de ces residus est
evidemment — /(a?); a l’egard des aulres, en consideranl pour
fixer les idees celui qui correspond a; = a, je vais le delerminer
par le calcul du lerme en ^ dans le developpement de cp(« />) s
suivant les puissances croissantes de h.
Observons d’abord qu’on a
#(« ■+• h) = h*(a — b -t- h)$(a — c - f- h )T A)>-,
de sorte qu’en posant
(a — b -+- h)~$(a —- c A)~Y ... (a — i -\- A)~A
= A h- A] h -+- A o A 2 -h . . A a _, h a ~ l -h. .. ,
nous pouvons ccnre
9 (a + h) = p a ^ A + A 1 fe + A 2 / t 2 + ...].
‘ (x—a — h)h °- 1 J
EITectuons ensuite le produit des deux sdries
/(a -+- A ) =/(«) -b -J'(ct) - -+-/"(«) — +.. . + / a '* 1 (a) —-
i__i_ ( h t /i* Aa-t
x — a — h~ x — a ~(x — a ) 2 (x — a ) 3 ~ l_ * ''" + ’ (-» — a)« _t ~' ' ’’
il est clair qu’on aura pour r^sullat
/(a -l- A) ^ X 0 X, A X 2 A 2 • X g -, A M - j
a? — a — A a?—a (a? — a ) 2 (a? ■— a) 3 _l ~'‘‘~ l ~ (a? — a) a
X. £ - ddsignant un polynome enlier en x du degrd i. 11 r^sulte que le
r^sidu cherclid, dtanl le coefficient de A a-1 , dans le prod nil
<P ( x) [ A -+- A j A -l- A 2 A 2 -t-... -h A K _! A a—1 ]
f X 0 XiA X 2 A 2 X m -,A«-iV
OEUVRES UE CHARLES HE HIM HE.
454
aura pour expression
AXg-, t A t X a - 2
(x — a) a (x — a )*— 1
A^Xo.1
oc — a J
ou encore
(x — b)ft(x — c)T . . . (x — ly >
X [AX^—i-+- AjX a _2(# — ct ) -l- . 4.-+- A a _iXo(a; — cl ) a—1 ].
C’est done a l’egard de la variable x, un poljnome entier dr
degre a -f- (3 -f-.. . +1 — 1 = n — 1 ; il en est de m6me des a u ires
r^sidus de cp (z), et par consequent leur somme que je ddsignerai
par F (x) est bien un polynome entier de degre n — 1, dans la
relation que nous venons d’obtenir
FO) ~/(^) :
: _L r /«
"li-KJ s (X -
/(*)*(*)
Observez maintenant que l’integrale du second membre, ren-
fermant comme facteur, sous le signe d’integration, la foneliun
&(x), s’annule ainsi que ses derivdes par rapport k x, jusqu’ii
l’ordre a—1 pour x — a jusqu’a l’ordre [ 3 — 1 pour x — b, etc*.
II est ainsi immediatement mis en evidence que F(x) est le poly¬
nome cherche, toutes les conditions a remplir se trouvanten edict
satisfaites. Mais de plus, nous oblenons une expression dc la dif¬
ference entre la fonction etle polynome d’interpolation, sous mio
forme permettant de reconnaitre qu’elle diminue sans limitr,
lorsque le nombre des quantites a, b, . . ., l, ou bien les exposuuh
a, ( 3 , . .., X vont en augmentant. Effectivement, sinous admeLloiis
que tous les cercles passant par le point dont l’affixe esL a: cl
ayant pour centres les n points a, 6, . . I soient conlenus a
rintdrieur de s , les rayons de ces cerclcs, c’est- 4 -dire les modules
de x —«, x — 6, seront respectivement infdrieurs am
modules des quantites z —a, z — b , z — lorsque la variable: 3
decrit le contour de l’aire.
Le module du facteur entrant dans l’inldgrale curviligm*
npnl Qinci rl nunmr» mninrlisn rm za tAni-n mi nnti'tA /-J onI apc/t 11 i ill
usage a l’egard du reste de la serie de Taylor,
R=-U r
2 ITT J,
A*) (x — g) a
(x — z) (z — a) K
dz ,
lorsqu’on veut etablir la convergence de cette s£rie pour des
valeurs imaginaires de la variable. Tajoutevai cette remarque que
la differentiation par rapport a a donne
a(x — a) a ~ l
da
S.
de sorte que la formule
f{z)dz
(z — a)*-*- 1 ’
A*) dz
(z — a
permet d’dcrire
dR _ /<«>(«)
da i. 2 ... a — i
etl’on en conclut, R s’dvanouissant pour a— a .?, la forme eldmen-
taire du reste
(x — a) a ~ 1 / (a) (a) da
I . 2... a — l
Apres avoir rattaclid a un m^me point de vue la s^rie de Taylor
et la formule d’inlerpolation de Lagrange, qui s’obtiennent,
comme on voit, en posant
<P(x) = (a? — a)« et &(x) = (x — a)(x — b). ..(a?—Z),
je vais considdrer un nouveau cas et faire
<|>(a?) = (x — a)*(x — 6)P.
Si 1 ’expression des polynomes F(x) devient alors plus compli-
quee, Fintdgrale J' F (x)dx donne, pour la valeur approcbde de la
r b ■ *
quadrature / f(.x)dx , un resultat tr£s simple, auquel on par-
vient comme il suit.
Nommons A et B les r^sidus correspondant kz — aelz = b
de.ia fonction
je montrerai d’abord que les inldgrales
A = / A dx, i 3 = / B dx.
se deduisent immddiatement l’une de l’autre. Ces quantiles sonl,
en effel les coefficients de^-> dans le ddveloppement des expres¬
sions
J a T ' h*(a — b -+• A)P J a x — a — h
J' tf(b- J r h)dx =
h*{a — b -+• A)P J (l x — a — h
f(b-^-h) r h (x — a)<x(x — b )P dx
h&(b — a -+• /? ) a J x — b — h
Or dcrivons pour un moment
f(a^-h) r b (x — a)*(x — b)$ dx
’ h*(a — b -+• /i)P J n x — a — h
et permutons a la fois, d’une part a et 6, et de l’autre a et ( 3 , ce
qui donnera
„ a ^ f(bA-h) {*“ {x - a)*(x — b)$dx %
(b,<*,$,*)= ■_ / - *_ 4 _A-*
’ r ’ h$(b — a A- h)*J b x — b — h
on voit que le second membre de cette dgalitd etanl — /?, on a
simplement *
jf F (x) dx = (a, b, a, (3)—(6, a, (3, a).
Cette remarque faite, posons m = a + ( 3 ; la formule dldmentaire
J (x— a)P- 1 (b — .r)7-i dx = {b — a)P+<i -*
donne le ddveloppement
r b (x — a) a (b — a?)P dx
v J T(m)
velle forme
r(g)rfp-f-i)
r(m-H)
( b — a)‘
m(m— i)
(«_!)(«_ 2 )
Cela etanl, nous effectuerons la multiplication par le facteur
( a — b -\- A)~P, ou plulbt par la quantity dgale
(— i)P(6 — a) - P([ — £)-P.
Des reductions qui se prdsenlent d’elles-memes montrent que le
produit des deux series
. , rn , , t m(m — 1) (m — 2) ^ .
' + rrr'‘ + (a ■j («:- T) ,+ (a -,) (*- *) (« - 3) *’+• • • ■-
I I . 2 1.2 .3
a la forme simple
T = , 1 | , g (PH-0(ft + a)(P-(-3) £ , t
a — i 1.2 (a — 2) i,2 .3 (a — 3 )
, «((3-M)(^H-2)...(p + a —t) ^_,
^ 1 . 2 . 3 ...(a — 1)
de sorte qu’on a
(a-b- l-/i)P
f.
Q — a)«(a?— b)$dx __ r(«) T ( ft H- 1 ) ^
.r — a — h r(m-+-i) '
Mais il est preferable, en gardant seulement les puissances de h ,
dont l’exposant est inferieur 4 a, el qui nous seront seules utiles,
d’ordonner le second membre suivant les puissances ddcroissantes
de cette quantite. On oblient ainsi
_t_ r b (x — a) a (x — b)$ dx
(a —6-1- A)P J„ at —a—h
= r( b _ a ,, t a-, + «(—0 (*-«)’*«-
/?i m(m— 1) 2
a(a — i)(a— 2) ( b —a) 3 A “- 3
m(m — t) (m —i) 3
En dernier lieu, multiplions par le facteur
Ml - , 7 . \ M, .. \ . Ml/ .. . b . Ml / \ h*
A*—1
cherchde, nous parvenons ainsi a l’expression
(a, 6 , a, p) = SL(b-a)f{a)-h
(b-ayf'(a)
1.2.. .m(m — 1) 1.2
«(«—• Q(a — 2) (6 — a) 3 /" (a) +
m(m — i)(xn —2) i. 2.3
dont la loi est manifeste.
On obtient d’une autre maniere cette formule, en partant do la
relation
J* UV m dx = B(x) -h (— ^y >l J VU m dx.
ou j’ai fait
6 (a?) = UV'«-'- U'V" l ~ 2 -i- U"V /W_S —
Prenons en effet U =/(#), V = (x — a)P (x — 6) a , avec la condi¬
tion a + (3 = m, de sorte qu’on ait V w = i. 2 ... m. On en ddduiru
en integrant entre les limites x = a et x = b
jf /(a) 6 ^ a ) + jf /'»(a?)(aj-a)P(j7 —6)«<£r,
et il est ais^ de calculer 0(a) et 0(6). 11 suflit en effet d’avoir les
derivees successives de V = (x — a)P(a? — 6) a pour x <t
et x—b\ or les premieres s’obtiennent en faisant x — ci -|> h ,
et sont donnees par les coefficients de h$(a — b -+• h) a , les attires
resultant semblablement de l’expression h a (b — a-\- /i)P, el l’tm
trouve ainsi
= —(a — b)f(a) ---
i.2. ..m m ' m(m —i)
a(a — i) (a — fr) 2 /'(a)
I . 2
a(« —i)(a — 2) (a — b) 3 f'(a) _
m(m — i)(m— 2) 1.2 .3
iLcrivons cette quantity de la mani&re suivante
0(a)
a)f(a)-
a(a —i) (b — a)* f(a)
m( m — x)
1.2... m
i. 2
e(ft)
i . 2. .. m
fi(P-i) (a-b)\f{b)
m(m — i) 1.2
P(P -O(P-a) (a- b)\f(b)
m(m — i)(m— 2) 1.2.3
et nous sommes ramenes a la formule pi'dc^clemment obtenue.
Mais on trouvc, par eette melhocle, que la difference entre Ernie-
r b
grale / f(x)dx et sa valeur approchee est la quantity
(- 0 ™
i. 2... m
f f' n (x)(x
— a)fi(x — b)K dx ,
ou le facleur (x — a)$(x — b) a conserve toujours le m^me signe
entre les limites de l’integralion.
Ecrivant done
jT f m (x)(x — a)P(x — b)°- dx =/'" (x — a)$(x — b) a dx,
en designant par \ une quantile comprise enLre a et b , on voiL
que pour une valeur donnde de //^’approximation obtenue depend
du facleur
.0
x
g)P (x — b) a dx,
ce qui conduit 4 determiner a et (3 par la condition qu’il soit le
plus petit possible. Or on trouve aisement que le minimum du
produil F(a?)r(m — x) s’oblient en faisant x— 1 -- Parmi les
diverses formules qui se rapportent a la m^me valeur de m, e’est
done celle off a = ( 3 , ou figure par consequent la ddrivee de Pordre
le moins eleve de la fonction /(#), qui conduit en m^me temps &
E approximation la plus grande.
En particulier on trouvera, pour a = [3 = i,
J f(x)dx- j (b — a) [ /(a) -t- f(b)\
+ ~ (b - <•)’[/'(«) -/'(*)] + (* - *) s / ,v (£
Paris, 5 juillet 1877.
POST-SCRIPTUM.
J’ai refl^chi de nouveau a ces deux origines de la seric
Taylor, suivant qu’on la ddduit, au point de vue elementaire
l’int^grale d^finie
f " (x -•
ou bien sous un point de vue analytique plus elendu, de l’i
grale curviligne
jl f ~ a -y^ i f( z )
•iiTzj s (x — z)(z — a) (X - M
et j’ai pense qu’il devait etre possible pareillement d’arrivei
polynome d’inlerpolation par une autre voie qui n’exigerait
I’emploi des variables imaginaires et des integrates curvilig
C’est en effet ce qui a lieu, mais il faut recourir comme vous ;
le voir a la consideration des integrates multiples.
En posant
II(z ) = (z — a 0 ) (z i- rtj) ... (z — a'n)
j’envisage l’integrale
oil la fonction f{z) est supposee continue l’intdrieur de 1’aii
qui comprend tous les points ayant pour affixes a 0 , «|, .. a,
Si I’on d^signe par f n (z) la ddrivde d’ordre n de f(z) et q
fasse
u = (a 0 — a l )t i -h («i— .. .-h (a n -1 — a u )t n ■+■ a n .
SUR LA FORMULE D’lNTKRPOLATION DE LAGRANGE.
I’integrale curviligne s’exprime comme il suit an moyen d’une in¬
tegrate multiple d’ordre n. On a
^JM dz= .C dt *f *~f"
et nous allons ais^ment le d^monlrer.
II vienl d’abord en effet
J it— 1 p ^ (Xq - (X-2 ) “T - ( (l 2 — Ct 3 ) /;t -+- . • . -+■ &n
f n 1 |7 Ct\ - d^) t-2 -h ( 0,2 - Or) £3 -+- . . . -+- an
puis successivemenl
J " dt 2 J" f n (u)dt l -
f clt 3 f dt 2 j f H (u) dt | =
Jo Jo Jo
fn 2 j"^ — a 3)t:t -+- ( ct 3 — O/,)£4 -t- . . . -t- ci n
(ao~ a { ) ( a 0 — a 2 )
_ -f' 1 ~\-( a 1 — a i)h (<*3 — <%4)4 + ... +
(«i — a 0 )(a l — ci2)
fn —2 J ( a -2 — &2 ) t ;| —1— ( C*3 ) ^4 • • • -H
( a -2 — a 0 ) (a 2 — a t )
/ /^-3 [~ ( q 0 — ^4) £4 -1- (o-4 — a s ) f 5 -h- ... -t- a„
(« 0 — «i) («o— a 2 )(«o— «s)
./ ~ 3 r { a l - a i ) ■+■ ( a b - a S ) -1“ . . . -4- Ct„
(a l —a 0 )(ai—a 2 )(a 1 — a s )
- ~~ q *)l4 + (a 4 — ^b)^« H- . ■. H- ty
(a t — a 0 ) (a t — <Zi) (a t --aq)
■ f''~ 3 ~ a '"l^ H ~ ( a '- — -+-. •. -t- a n
(a 3 —a 0 )(a s —«j)(^ 3 - a,)
■en faisant usage des identites ^l^mentaires :
(a 0 —a l )(a 0 ~ a 2 ) (a t — a 0 )(a, — a 2 ) (a 2 — a<>) (a* — «i)
_1_ _1_
(a 0 — at) (a 0 — a 2 > (a 0 — a 3 ) (a } — a 0 ) (rt t — a 2 ) (<*t — a 3 )
IJ'( a 0 )
U'(a x )
J \ "‘n i
U ((x n )
qui est en efFet la valeur dc l’int^grale - 4 - f 't r A - dz.
1 ° 2iTr j s n(^)
A.ppliquons ce resultat en supposant a 0 = x , et faisons pour
abreger
4>(ar) = (os — a x ) (x — a^)...(x — a n );
si Ton designe comme prectSdemment par F(a?) le polynome cPin-
terpolation de Lagrange, on trouvera
f(x)~F(x)=<t>(x)j^ dt n jf dt n -i...J f n (u)dt u
la valeur de u pouvant £tre mise sous la forme suivante :
H “ X t\ Ct{ ( )
<X 2 ( £3 — t<i )
-t- ct-n-t (tn — *«- 1 )
-+■ a n ( 1 — t n ).
Je remarque ensuite qu’en dilf^rentiant la relation
4- f - ^ --1 dz = f X dt!l f h f>'{u)dt l
2llzJ x {Z-X)<i>(z) J 0 V 0 J 0 J
a — 1 fois par rapport aa t , [ 3 — 1 fois par rapport a a 2 , \— 1 fois
par rapport a a n> nous obtiendrons dans le premier membre Pin-
t^grale
__L f r(q)r(P)...r(X)/(^) rf ,
2 .iv:J s ( z — x)(z — a l ) x (z — a 2 )P ... (z — a n )* ’
qui se trouvera done exprim^e par l’int^grale multiple
od j’ai fait
I dtn I
«- / 0 0
dt n ~ x
• f f a (u)®dt u
e =(**—— «,)M ... (1-
St-4- P-h.. •-+- X.
a —
lalion, a Fexpression suivante du reste
W - F <*> = rw ' r^ T( X )/‘ ‘ *- • •
$(a?) represenlant le polynome (x — «,)“ (tf —a*) 13 • • •(# — «, 2 ) x ;
c’est le resultat que je me suis propose d’obtenir et qui me semble
completer sous un point de yue essentiel la thdorie ^mentaire de
^interpolation.
Bain-de-Bretagne, septembre 1877.
EXTRAIT D’UNE LETTRE DE M. HERMITE A M. LINDEMANN.
OBSERVATIONS AL&tiBRIQUES
SUR
LES COURBES PLANES.
Journal de Crelle , t. 84 , 1878, p. 298-299.
Les formules que je crois d’une grande importance, par lesqu
vous representez les coordonnees d’une courbe d’ordre m (.
genre p, renferment-elles le nombre maximum de constantes
traires qu’elles comportent, c’est-a-dire
^ m(m -i- 3 ) — — 0( m — 2 ) — =3 m — n - p?
Pour p = 0, les expressions des coordonnees etant
ou A, B, G repr^sentent des poljnomes du m' &tae degre (
on peut d’abord, si l’on remplace cette variable' par la fom
lineaire > diminuer de trois unites, en disposant de a,
le nombre des constantes que contienneot ces formules. On
encore daos les resultats de cette substitution
$=■
C
= 31 ’
supposer egal al’unit£ le coefficient de la puissance la plus 6
arbitrages se reduit a
i (m -+- 1 ) -+- m — 3 = 3 m — i .
Pour p = i, ies formules
ij — ijo "t - -^-l ^ £ — £l)~l~A 2 Z(£ — ^2 ) •+• • • • -1- A wl Z ( ? — t/n)i
7) = r (0 -t- BiZ(« — ^i) + B 2 Z(£ — £ 2 )-t-. ..h- B m Z (£ — t„t)
mettent en evidence, d’une parties r^sidus, A ( , A 2 ,..., B<, B 2 , ...,
c’est-a-dire 2 (m — 1) constantes, a cause des conditions 2 A = 0,
SB = o, puis les quantity i K , Zo, ..., L m qu’il faut reduire km — 1
arbitrages, puisqu’on peut remplacer £, par t-\- par exemple.
Si I’on ajoute a ces constantes le module ainsi que £ 0 et Y) 0 , on
trouve bien en definitive le nombre 3 m.
Apres avoir appeld votre attention sur ce point, permellez-moi
de vous dire de quelle maniere j’exprime qu’une courbe
f(x,y)=o
admet 3 points doubles. Je considcre a cet eflet les relations
=./(*,/). ^ = «-
4f =
dy '
et j’observe que le resultat de l’elimination de x el y sera une
equation en «, n(M) = o donl les racines reprdsenleront les
diverses valeurs que prencl/(x,^), quand on y remplace x el y,
par les solutions des equations ~ = = o. Par consequent Je
nombre des points doubles est donne par le nombre des racines u
qui sont egales a zero. Ceci pose, nommons a , b , c, ..., k les
coefficients de f(x,y) et supposons que le terme independant des
variables soit k. II est evident que liquation 11 ( u) = 0 se formera
au moyen du discriminant relatif a liquation proposee, en y rem-
plaqant k par k — u, de sorte qu’en representant ce discriminant
par II (a, b, c } ..k), on aura
U(u) =n(a, 6,c, ..., k — u ).
me auivaiue :
11 = o,
dll
dk ~ °’
aft n
d/fr*
dk^~ l °’
Paris, 1 3 juillet 1877.
EXTRAIT D’UNE LETT RE A M. GYLDfiN, DE STOCKHOLM.
SUR LE PENDULE.
Journal de Crelle , Bd. 85 , 1878, p. 246.
J’ai remarque que les coordonnies x, y , z de l’extremite d’un
pendule spherique sont les ddrivdes de functions uniformes du
temps dont voici les expressions. Considerons en premier lieu la
valeur de z qui s’obtient inrunddiatement comme consequence des
equations fondamentales
a. 2 H-JK 2 -Y- z' 1 — \,
(D<a?)*-4-(D^)*+(D t z?= ig(z + c),
yT> t x — x\i t y = A,
oil c et h designent des constantes donl la signification est bien
connue et qui donnent comme on sail
(D^) 2 = ag(z + c)(i — z*) — /i«.
Nommons a, ( 3 , y les racines rangdes par ordre decroissant de
grandeur, de liquation du troisi^rne degrd
ig(z c)(i — z i ) — h i = o,
de sorte que a soil positive et moindre que l’unite, moindre
dgalement que l’unite en vaJeur absolue et y enfin negative et
superieure a l’unite en valeur absolue. Si Ton pose
/c ' 2 =
P-T #
a —y’
448
et
OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
on aura
Or la formule
u = n (t — l 0 ),
a — c = (a — P) sin 2 am (u),
z — p = (a — P) cos 2 am(w),
z — Y=(a —y)A 2 anri(zz).
/c 2 sin 2 am(zz) du
J LL
67 a)
0 («)
permet deja d’ecrire
r a/c 2 K —(a-P)J 67 n) 1
/c 2 K + * 2 0(zz)J
k l <d{u
Soit ensuite, en designant par cp un angle arbitrable,
et posons
A = a/(Y — x)(y-Hp)e
» (M) = 0( ^ i( “.±.- a) j e [ A
^ ' H i (w) 0 (zt)
on aura cette expression
x 4- iy — AD„ f t > ( zz),
de sorle qu’en £galant les parties reelles et les coefficients de i\
x et y seront, anssi bien que z, les ddrivdes de fonctions a si'ih
unique. Voici maintenant la determination des constantes w t!t /.
qui entrent dans la fonction Nous avons d’abord
h
4 n 2
sin 2 am(w)
P 2 (a 2 — y 2 )
Y 2 (a 2 p 2 ) ’
cos 2 am (w)
P 2 )
Y*(* s — P 2 )’
A ! am(to)
P-T
«/2 / » j. H i
puis ces formules
sin am((ar, k') =
i sin am(a-, k )
cos am(,r, k) ’
cos am (ia?, k') = -—,
cos am( 37 , k)
A ai
on obtient les valeurs
A am (37, k)
cos am (37, Jc) ’
sin 2 am (a, k') =
cos~ am( a, k') =
P 2 (a 2 — Y 2 )
* S (P 8 -Y 1 )’
a MP 8 — Y 2 /
A 2 am (tz, k')
* 4 (P H-Y)’
eL d’apres I’ordre de grandeur des quantiles a, (3, y, vous voyez
qu’elles sont, en efl'et, Louies positives el moindres que l’unile.
Mais une double ind^terminaLion subsiste a l’dgard des signcs
dc oi et )>; elle se love par les formules suivanles. On a, en premier
lieu,
sin am(io) cos am(u) _ ih aPy(a — y)
A 3 am(w) n 2(a — p)(y— $)’
ce qui fixe le signe de to, sa valeuv absolue eLanl coanue; je Lrotnc
ensuite qu’on doit prendre
Verifions, par l’elevalion au carrd, la formule relative ii to an moyen
des expressions donnees pour sin-am (to), cos 2 am (to), A 2 am (to).
On trouve d’abord, dans Le premier membre, la quantity
_ a2 P a Y a ( g +■ P ) ( P - 1 - Y) (Y •+• °0 ( « ~ Y)
(P —yJHP —“)*
eL le second, en remplapant n- par ~g' (a — y), devient
(p~y) 2 (p-a) 2 '
il suffit, par consequent, de verifier la condition
z —— c, et remarquant qu’on a
aH-p-t- Y = — c.
Vous m’avez dit, Monsieur, dans votre derniere lettre
differentiation des fonctions elliptiques par rapport au
pourrait peut-etre servir dans les importanles rechercl
quelles vous consacrez vos efforts pour [’application de c
dons a la thdorie des perturbations. Yoici a ce sujet les
formules que j’ai oblenues, et dans lesquelles j’ai po
abr^ger ^ ~ :
D/t sinam(a ?) =
D/t cos am (a?) = —
D/ c Aam(») = —
cos am (a:) A, am (a?) V . Q\(
---
sin am (a?) A am (.a?) [, y A ,,_ G'd
- m - L (C “ ’
4 2 sinam (a?) cosam(a; > ) , H',(
W* } Ht(
Si l’on pose, en outre,
Z{x)= f
Jo
on a aussi
k* sin 2 am (a?) dx ,
D k Z{x) = [a?A 2 am(a?) — sin am (a?) cos am (x) A am (x )—
cos 2 am
M. C. 0. Meyer avait dc§ja donnd les Irois premieres, m
une forme differente et en prenant pour variable la quant
lieu du module, dans son M^moire intitule Ueber ratiom
bindungen dir elliptischen Transcendenten, t. LV
Journal , p. 32 1 .
Paris, 8 octobre 1877.
SUR LA
THEORIE DES FONCTIONS SPHERIQUES.
Comptes rendus de VAcaddmie des Sciences ,
t. LXXXVI, 1878, p. 1515 .
J’ai Fhonneur de faire hommage a FAcaddhnie, au nom de
l’auteur, M. le D r E. Heine, professeur a FUniversild de Halle,
de la seconde Edition d’un Ouvrage intitule : Sur les fonclions
spheriques . Theorie el applications. Ce sont les applicaLions du
calcul a la Mecanique celeste qui ont conduit & la decouverte et
a Fintroduction en Analyse des fonclions auxquelles est consacr^
le beau et savant Ouvrage de M. Heine. Legendre et Laplace, dans
d’admirables recherches sur la Lh^orie de FaLLraction des spb6-
roides et la figure des planetes, en ont donnd les propri^tes fonda-
mentales, et elles ont ensuite employees avec le plus grand
succes dans beaucoup de questions importantes de Physique
math^matique, et principalemenL dans la Theorie de la chaleur.
Apres ces deux grands g^ometres, et en suivant la voie qu’ils
avaient ouverte, Lamd est parvenu a ses belles ddcouverles qui
ont dtendu a la fois, comrae on le sait, le champ des applications
du calcul a la Physique et celui de FAnalyse pure. Goordonner,
sous ce double point de vue, de nombreux et imporlants travaux,
ceux de Dirichlet, de Jacobi, de nos illustres confreres Lam£
et M. Liouville, de M. F.-E. Neumann, completer la theorie sous
un point de vue essenLiel par Fintroduction des fonctions de
seconde esp£ce, montrer enfin par quels liens dtroits elle se raLtache
aux fractions continues algdbriques et k la serie hypergdomdtrique
de Gauss, tel est en peu de mots Fobjet d’un Ouvrage auquel
l’auteur a fait concourir tous les travaux de sa vie scienlifique. CJn
Tlfiini AnhprPmA'nl' nnmrAan a. comKlo riAumr*
entiere, composee de telle maniere que 1’une des integral)
l’equation differ entielle
Ja)
ou Ton suppose
dr?
-+- St (x )y — o,
dx
\/x(x — a\) (x — a-T.) ... {x — a, } )
soit une fonction entiere et du degre n de y'x, \/x — a f ,
yx — a p . L’auteur appelle cette integrale fonction de Lam
premiere espece, dedegr^ n et d’ordre p. 11 ddmontre l’existei
trouve le nombre de ces fonctions pour chaque ordre p (§
Les integrates de 1 ’equation dilterentielle, qui s’evanouissenl
des valeurs infinies de x, forment les fonctions de seconde es
Pour p = 2, on a les fonctions ellipsoidales E, introduce
Lame lui-meme; et, si l’on fait a K = a.>, elles se change
fonctions sph^riques de Legendre. Supposons ensuite que les
duits n\Jx — a,, nsj x — a 2 soient finis pour n infmi, on t
(p. 4 1 3 ) les fonctions du cylindre elliptic/ue; et, faisa
outre = a 2 , on en conclut les fonctions de cylindre de ri
tion. Ges demises, introduces par Fourier, en 1822, so
premiere ou de seconde espece et, dans le premier cas, 1
forme
. , , x v r x 2 sc'*
J v ( X ) — - I-1-
2.4.. . 2 v |_ 2 (2 v -+- 2) 2.4 (2 v -+- 2) (2 v -+- 4 )
(— 1 )V r n
— —-— / e lx cos 9 cos v cp do .
L’auteur les reprdsente ainsi
K v (a?) = (—i)v I e ixcosiu cos iv u du = (—i) v K v (—a?),
do
sous la condition que la partie r^elle de ix soit negative; et
une valeur reelle <Je x , il ^gale K v (a?) a la moyenne arithnte
entre K v (a? oi) ct K v (# — oi).
Pour tout.es ces fonctions on a des thdoitemes semblabte
SUll I,A TlIliorUE DES FUNCTIONS SPHERIQUES.
453
exemple un theoreme d’addition, comme celui de Laplace (voir
p. 3 12, 333 , 34 o, 346, 453 , etc.).
Lame a cree ses fonctions (Journal de M. Liouville , t. IV,
p. i 3 p) en integrant par des produits E(p,).E(p 2 ) l’equation
d* U
dz\
d* U
dz% '
■ n(n
0 U(Pi pi) = o;
et les fonctions du cylindre elliptique tirent leur origine de l’equa-
lion Lien connue
d*U
da *
dy'-
-+-X 2 (cos 2 <p -
cos 2 m)U = 0 .
Pour qu’elle admelte une integrate parLiculi&re de la forme
F(o)F(i«), il faut poser
(b) 4- (X 2 cos 2 9— l) F(cp) = 0.
Mais la constante l n’est pas ddfinie comme la constante B de
Lame, par la condition que les fonctions F, du moins dans la pre¬
miere de leurs quatre classes, soient enlieres. La condition est
alors que cliaque integrate de liquation ( b) soit une fonction
pdriodique de <p, ddveloppable par la formule de Fourier. Si l’on
reprdsente les fonctions F(<p), par exemple, dans la premiere de
leurs quatre classes, paries series Sa„cos2vcp, la condition ndces-
saire est que a„ s’evanouisse pour v infini, et I’auteur ddmontre
(p. l\\%) qu’elle suflit en mdme temps pour assurer la convergence
de la sdrie. Or a v est un polynome entier en l , du degrd v, et la
condition a„ = 0 donne une Equation d’un degrd infini. M. Heine
demontre (§ 104 ) que cliaque racine, jusqu’a une grandeur quel-
conque, peut dtre comprise entre des limites aussi rapproch^es
qu’on le veut, et parvienL (p. 408) an rdsultat suivant :
Les constantes a v sont les ddnominateurs N v des rdduites de la
fr ti n e.o ilin e
Les memes coefficients a v entrent dans le developpement dc
F(<p) suivant les fonctions J (p. 4 1 4 ); et, en y remplacant les
quantites J par les fonctions de deuxieme espece K, on a le cleve-
loppement des fonctions F(cp) de deuxieme espece du cylindrc
elliptique.
On retrouve enfin les raemes valeurs a v (p. 4 21 ); s i ^ on trans-
forme, par une substitution orthogonale, la forme quadratic)uc
d’uii nombre infini de variables,
b(i .x\ -+■ 4 a;| -+- ■+•...) — 2(a?oa?i -t- ®i®2#2*3-*-•• •)
en une somme de carres z 0 yl -j- z K y\ 4- z 2 yl et ee resullat
pouvait £tre prdvu, d’apr&s une proposition analogue concernant
les fonctions de Lame.
Dans les deux cas, le polynome homogene du second degrc a
transformer a la forme singuliere
2a;a?,' + uh biXiX; +1 .
La demonstration des theoremes ainsi que les r^sultats dans la
th<*orie de la transformation orthogonale sont plus simples &
l’dgard d’une telle forme singulidre que dans le cas general. On
peut mettre cette remarque a profit, Jacobi ayant demonlrd
(Journal de Crelle etde M. Borchardt, p. 39 et 69, p. 290 eL 1)
que toute forme quadratique peut §tre reduite par des substitu¬
tions equivalentes a cette forme particuliere, et une ldgere modifi¬
cation de la methode de Jacobi permet de ddmontrer qu’on peuL
obtenir cette transformation au moyen d’une sdrie de substitutions
orthogonales tres simples, les coefficients s’exprimant par des
racines carrees (p. 480). Ges memes remarques ont etd faites
d’ailleurs par M. Rronecker dans un Mdmoire publie dans los
Comptes rendus de VAcadernie des Sciences de Berlin , 1878,
p. 100, et dont l’auteur a regu communication pendant que s’iin-
primaient les demises pages de son livre.
SUR L’INTEGRALE X ^
dz.
Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino , vol. XIV
(stance du 17 novembre 1878).
L’application des proc^des elemenlaires de l’intdgralion des fonc-
tions rationnelles aux quantites
£
Xln
#«"»•+- 1
dx
et ^
x*i>
dx ,
ou m, n, p sont des nombres entiers, condnil facilemenL aux for-
mules
el si Ton suppose b —
X
/ °° z a-l _ z b—\
-j--- dz = 7 r(cola 7 c — cot& 7 t),
1 — a, la seconde devenanl
-dz — iiz colau,
on a sous forme d’intdgrales definies les expressions des fonc-
lions eL colaTi, pour des valeurs de l’argument comprises
entre zero et l’uniie. Ces expressions peuvent servir de base ala
fois a l’etude des foncLions circulaires et & celle des integrates
euleriennes, en etablissant une transition naturelle entre la thdorie
des deux transcendantes et montrant le lien etroit qui les reunit.
En ce qui concerne les fonctions circulaires, je m’altacherai prin-
cipalement a la formule
1 2 a o,a :xa
•jr cot an =-1-r-1- ——‘—t H-:-K . .
a a 2 — 1 a 1 —4 a-—9
remplacant a par la , on suppose a immanent grand. JLa lami
premier membre est, en effet, — i~ ou -+- in, suivant que a
positivement ou negativement, et depuis longtemps Eisensti
fait la remarque que la sdrie ne conduit point a cette limi
donne lieu ainsi a un paradoxe que je me propose d’explit
Relativement aux integrales euleriennes, j’aurai surtout pour
en suivant une indication rapidement donnee par Cauchy
son Memoire sur les integrales prises entre des limites ii
naires (p. 45 ), d’obtenir la relation
logT(a) = (^ci — ^j log a — a -+- log \An
u:-
( 2 — X) — 2 — X
demontree par le grand Geomelre dans les Nouveaux Exei
(VAnalyse et de Physique mathematique (t. II, p. 3 S 6 ).
resultats se rapportant aux fonctions circulates et aux inlet;
eutriennes, vont s’offrir corarae les consequences successives <
m6me analyse, qui mettra ainsi en evidence la liaison et l’en
nement des theories des deux genres de function.
- 1 . Je commencerai par faire voir que des relations
f - dz= -r^ —, f - —-—dz = 27 U cotan,
J 1-4- z sin an J i — z
la premiere est une consequence de la seconde, el en decoiil
suite de Fegalite
= cotan tangan.
Ayant, en effet,
; = 2tc jTcotan
nous ecrirons
de sorte que 1 integrate sera ramenee a la lorme
X
z l
clz.
Cela etant, il convient d’y remplacer z par z-; elle devient ainsi
J a I -+- 5
Or, il est visible que les deux quantiles
S 0 n Cl ,f 0 ' -+■' -
sont dgales : la premiere se ramenant a la scconde par le cliange-
ment de^eu^ Si l’on remplace a par nous obtenons done bien
la relation
J 0 i +- z sin«7r
D’apres cela, je me bornerai pour abrdger a considdrer l’intdgrale
ddfinie, qui represenie la eolangente, et j’y introduirai encore
les limites zdro el 1 ’unitd, au lieu de zero el l’infini, En faisant, en
effet
r 1 -3 a—1 — z~ a , r“ z a ~ l — z~ a
J — —dz -i- J —j-- —dz ~ ait cola-rc,
el remarquant, comme lout a l’heure, que la seconde intdgrale
se ramene a la premiere par le ebangement de z en nous
aurons
s:^p
dz — tz coiaTt.
Posons, en elTet, z~e x , et l’on se trouve amend ft celte nouvelle
forme
/*° qiix _ q\.1~u)x
fonction de Jacob Bernouilli, de sorte qu’on ait pour a entier
S(a) n = (a — iy>~h (a — 9.)" + . . .-t- i«,
nous avons en ellet
= 1 — ici — iS(a) 2
7,2 f(
— 2 S(a) 2ll -———
- 2 S (a ), f -
La formule relative a l’inverse du sinus, a savoir
S'-
u 0
ou bien
conduit a une remarque analogue, la quantity -——doni
la sdrie
S(a) tt == (a — i)»— (a — i) ,l -+-(a— 3)' 1 —. . ,zhi«,
lorsque a est entier (<).
2 . Le ddveloppement de la cotangente, sous forme d’une s
infinie de fractions simples, est a bien des dgards d’une grande
portance en analyse, mais plus particulierement peut-dtre, cor
ayant oflert le premier exemple d’un mode d’expression d
fonction pdriodique oil la pdriodicitd se trouvait mise en dvide
Et c’est sous ce point de vue qu’elle a dtd l’objet des rechen
d’Eisenstein en servant de point de ddpart a la thdorie des fonct
(*) Les polynomes 8(a) 2n s’annulent pour a = o, a = i, et possedent la r
propria que les polynomes S(a) 2n+1 de n’avoir entre ces limites qu’un
elliptiques qu’a donate l’illustre gdometre. Or la formate
X ---— dz = t: cotar:
1 —*
conduit immddiatement a ce developpemenl. En remplacant dans
l’integrale j~Z ~. : par l’expression
I -+- 2 -I- 3 2 -+-. . . -4- 3' 1 " 1 H---,
I — z
on en tire en effet
i i 1
7t COtaTT =-1- K..H-
a a H- i a -+■ n. — i
X 1 — 3 " a th 1 1 1
\ — z ~ \ —a a — a n —a
Nous represenlerons pour abrdger par S /2 la somme des fractions
simples, et par R /2 le reste, de sorte qu’on ait
~ a 2 — a
a a 2 — i ’ « 2 — (n — i )* n — a
0 e“ x — e {i ~ a)x
11,1 dz = /_
- e x
■ v dx.
Je me propose inaintenani d’dtablir que pour une valeur imagi-
naire quelconque de l’argument, a = a -j- ifi, R,*, ou plutdt son
module, a pour limite zdro quand n croit inddfiniment. A cet eflfet
je considdrerai l’intdgrale
jC>[
gtOCH-2*|3)# g(l—oc—Zjii)#
dx ,
qui est une limite supdrieure de modR«, et en distinguanl deux
cas suivant que a est ndgatif ou positif, je l’dcris successivemenl
sous ces deux formes :
’•ran
Ccla pose, je dis, a Pegard de la premiere, que la plus g
valeur du module de —--- - —, entre les limites de l’in
1 — e x
grale, est donnde a la limite sup^rieure pour x = o. Ge maxim:
etant done y/(2 a — i) 2 4 ( 3 2 , nous pourrons dcrire, en design:
par e un nombre inferieur a l’unite,
_ r 0
mod R n = e /(2a — t) 2 + 4 ( 3 2 / e'«+a)x dx -
Je mets, pour le demontrer, l’expression
■ e iP*_ e (l-2a-tp)a:-j ^ ( — 2C0S2
1 — e x J ~
mod 2
sous la forme suivante
t sin fix
fix gU — SoO# _j_ e (2-4a)a:
(i-e x r-
g(i-2a)a
, . [ _
et je remarque d abord que la quantile -- —j ou jj
y _ Z [~^OL
— _ ■■ en prenant z = e x , est toujours pour des valeurs d<
inferieures a l’unite, au-dessous de la limite 1 — 2 a, qu’elle alte
pour ; = 1. On verifie en effet l’inegalite
ou la suivanLe
1 — z
< 1 — 2a,
t - ^l“2a - (] _2«)(l-2)<0,
en observant que la deriv^e du premier membre est la quan
positive (1 — aa)(i — z~- a ). Ge premier membre va done en cr<
sant depuis la valeur negative 20c qui correspond a z = o, p
aboutir a une valeur nulle a la limite sup^rieure z — 1, elreste
consequent negatif dans l’intervalle.
Ge point etabli, je passe a l’autre terme, j’y remplace sin
par ( 3 a?, ce qui en augmente la valeur, et apr£s l’avoir £crit
ou encore
IP 2
e- 2 ^,
je remarque que la quantite —- — croit de zdro a I’unite
<r — e 2
lorsque x varie de —co a o. C'est. cc qa’on reconnail immddiate-
ment en ddveloppant en serie le dynominaleur, car on obtient
ainsi I’expression
x
i. 2 . 3.4.5 i 6
On en conclut, le facteur e~-- ax atteignant lui-mdme sa plus grande
valeur pour x = o, que pour ce second Lerme comme pour le pre¬
mier, le maximum esi encore donne en faisani x — o, ce qui
demontre le rdsultat annoncd.
Nous obtiendrons a 1 ’egard de l’expression
nod 2
e (ia.-+i[i)x _ e ii—/fjl.r
a - r — i cos x p x e( 1 - t - 2a ^-' B -|- e 2 - r
(i — e*y
une conclusion loute pareille, en la metlanl sous la forme
Nous n’avons en elTel qu’a considdrer la quantity -—-
ou ---> la variable z croissant de zdro a l’unitd: mais deux cas
I — z
sont maintenant ii dislinguer. Supposons d’abord aa< i de sorle
qu’elle soit positive, nous prouverons qu’on. a
ou hien
z 2a — z — (i — aa) (i — 3) < o,
en remarquant que le premier membre prend les valeurs
— (i — a a) et o, pour z — o, -3 = 1, et a pour ddrivde la quan¬
tity positive
uuu
< 2 X — I
se verifiera absolument de inline. 11 est done ainsi demontre qu
maximum du module des deux expressions introduces, en sup
sant successivement a negatif eta positif, a pour valeur
de sorle qu’on a dans la premiere hypothese
mod R„ =
et dans la seconde
mod R,r-
■ ey/(r —
Ces expressions, du reste, dans le developpement en seri<
fractions simples de la cotangente, etablissent en toute riguen
convergence de cette s^rie; elles montrent en effet que pour
valeurs aussi grandes qu’on le veutde aet ( 3 , mais finies cepend
R/2 est nul si l’on suppose n infini. Mais on voit en m^rne te
qu’on n’est point autorise a faire usage de l’expression
i 2 a
a a % — i
pour des valeurs infinies de l’argument; dans le domaine d(
valeurs, la definition de cota-mpar la s^rie offre en effet une lat
que la consideration du reste permet seule de combler, coi
nous allons le faire voir.
3 . Je dis en premier lieu que la limite de S /2 est indeterm
lorsqu’apres avoir remplace a par ia on suppose a la fois n
infinis. Revenons en effet a l’expression
•i a
a 2 —i
a 2 — re 2
-+- a
iS„ =
Soit maintenant, en supposanta positif ~ =dz, designons aussi
par X la limite du rapport ~ lorsqu’on fait croitre n et a indefini-
ment, de sorte qu’on ait ^ = ndx = X; nous pourrons dcrire, en
n^gligeant — et —— r-t
00 a n ~h 1a
iS n =
2 dx
>. dx
2 dx
1 dx 2 1 -+- (2 dx)- ‘' l 4- (n dx )-
De cette expression r^sulte .immddiatement, commc on voit, la
valeur cherchee
iS n = j* — 2 arc tangX
qui depend dc la quantity enlierement arbilraire X.
Ce point ^Labli, cherchons ce que devient I’intdgrale reprdsen-
tant le reste,
/ ° (>ax _ e (l —a)x
--- e nx dx.
i — e x
Pour cela je rein place a par ia : n par Xa, ce qui donne d’abord
gtax gd ~ia)x
e lax d x
puis en changeant de variable et posanl x — -
r° e it_ e (n l ) 1
R „= / £ —-1 -—
<z(i — e")
Maintenant on obtient pour a infini la valeur
R/i = — 2 i J' e ^ 1 dt = — 2 i arc tang
et 1’on en tire la relation
j(S rt -+- R rt ) = 2 (arc tangX -+- arc tang=£ j = 7
imm^dialement donnde en integrant par rapport a a les deux
membres de liquation
TZ COt«-
i 2 a
a a s —
2 a
a % — n 2
—-h R« ;
n -h ct
on obtient ainsi
si l’on pose
+ |o g ( 1 _|)_.l° g ( , _£)-HR„,
K Sl
c«+ e il ~ a)x — e x — i
, x(i — e x ) £
Peut-etre n’est-il pas inutile de donner encore pour R' ;l une
limite sup<£rieure montant que cette quantity est nulle en suppo-
sant n infini, quelle que soit la valeur reelle ou imaginaire
Posons a cet efiet, pour abreger,
e ux -h e (l ~ a)x — e x — I
/(*) = -
x{i — e x )
jeremarque qu’on peut £crire en ajoulant el retrancbant ?.e ! au
numerateur
A x ) =
rjb-.r
x(i — e x ) x(i — e x )
On en d^duit par une proposition connue,
— - <- mod --—
mod f(x) < mod -
oc(i — e x )
oc(i — e x )’
c 5 est-a-dire
mod/(a?) < -
- •?. cos fix e 2
x(e x — i
L’expression suivante
r° e a.x — 2 cos P e 2
x(e x — i
r 0
est done une cjuanlite sup^rieure h I’int^grale / mod f(x)c ,2X dx
et a plus forte raison au module de R' /r Or en considdranl
d’abord la seconde des int^grales qui y entrent et qu’on peut
je remarque que lc maximum de la fraction - - -r- entre les
xK^e 1 -+-1/
limiles de Integration est donne a la limite supdrieure en fai-
sant a7 = o. Metlons en elfet —x au lieu de x, elle gardera la
m£me forme, et l’inegalite
x (e 2 -H 1 )
ou bien celle-ci
se v^rifie imm^diatement par le d^veloppement en serie, le coeffi¬
cient de (-) dans le premier membre dtant
dans le second.
Passant maintenant a la premiere int^grale, j’emploie la decom¬
position suivante
i ri... Ih_,w."1 2 , 1-
qui nons conduit a deux termes, dont l’un ^ s *- ~ $ x - e — at
* ’ x{e x — i)
encore son maximum pour x = o. Si on l’augmente en efl'e
i
remplagant sin 4 [ 3 # par 4 ( 3 #, il se reduit a l’expression - ■ >
]e maximum a ete obtenu plus haut, et ce resultat joint au pi
dent montre qu’on peut poser, en designant par s un nombre
petit que l’unitc
Quant au dernier terme qui nous reste a considdrer
nous l’ecrirons sous l’une ou 1’autre de ces deux formes
suivant que a est negatif ou positif, en mettant en Evidence, co
facteurs des exponentielles, des quantity ayant leur maxi
pour # — o. En nous bornant par exemple a la premiere
abr^ger, il sufBt de la decomposer ainsi
on retrouve en effet dans le premier facteur l’expression
1’etude a ete deja faite, et l’on verifie facilement que le se
augmente de zero 4 1 quand la variable augmenle de
k o.
De la resulte que nous pouvons poser
r i i T2
SUR l’integrale
Jr-
467
pour a negatif, et
r » » -
S'
X(e*— [)
-en*doc = r J^’ 1 ^l
J' e ln- a)
quand a est positif, yj designant un nombre <1. Suivant ces deux
cas, nous parvenons done aux expressions suivantes que je me suis
propose d’oblenir :
4 ( n 4 - a) 4 n
mod R' t = IL (> ~- 2a)2 -i- ^ P 2+ 0
4 (/i — *)
4 n
Elies donnent Ja formule
smai: = iza
el par consequent une demonstration rigoureuse du developpe-
ment du sinus en produit d’un nombre infini de facteurs.
5 . Les int^grales R„ et R' w sont des cas particuliers de cette
expression plus generate
f C H x ) e nx dx,
qui offre des circonstances sur lesquelles l’attention a ete appelee
pour la premiere fois par l’etude des integrates Euteriennes. Nous
allons voir qu’elle donne lieu 4 un ddveloppement en serie proce-
dant suivant les puissances decroissantes de n,mais que cette serie
est necessairement divergente pour toute valeur de cette quantite,
si grande qu’on la suppose. 11 enresulte qu’on ne peut en employer
que les premiers lermes, avec 1’obligation d’avoir une limite supe-
rieure du reste permettant cl’appr^cier pour quel nombre de Lermes
il est le plus petit possible. Admettons que pour x infiniment
mule elementaire
J £«*;+; _L J"&(&') e» x
f ®(x)e" x dx= .^-‘ W
J L « n 2 '
On en lire en effet
J' <5>(x)enxdx= S/db ~ J ^ i (x)e nx dx,
en posant
g._ »(o) ^ f (o) <t>"(o) $*-‘(0)
{ n n 2 «3 ^ ' "i ’
et nous allons voir que cette serie prolong^e ind&finiment est clii
gente, au moins dans tous les cas ou <E>(^c) n’est point une fo
tion holomorphe.
Soit en eflet
$(a?) = Ao-f- k y x . .4- A*a?*-|-..
sous la condition que ce developpement cesse d’etre converg
a l’exterieur d’un cercle de rayon p. G’est dire que A* est d
f° rme -p> a/f tendant vers une limite finie lorsque k augmc
ind^finiment. Or ayant
& k (o) _ a*
1.2.0. . .Ic P tc ’
on en conclut pour le terme general de S/, cette expression
i .u. 3 .. .&a/ c
^ (n p ’
et la divergence est rendue ainsi ^vidente, puisque ces ten
augmentent indefiniment a partir d’une certaine valeur de k. IV
la conclusion que nous venons d’obtenir pourrait ne plus avoir
si <&(#) dtait, dans toute l’^tendue du plan, ddveloppable en si
convergente. En supposant par exemple
a S(a) 2i -
on oblient pour S/ cette expression
i — 2a iS(fl), aS(fl) t
S/ ‘ K n n 3 n 3
qui doit finir par devenir divergente, la fraction -— e — —
n’etant pas en general synectique. Mais si I’on suppose que a soil
un nombre entier, elle change de nature; elie prend, suivanl qu’il
est n^gatif ou positif, l’une ou l’autre de ces deux formes
[ l _|_ g2ar_j_ g4a:_|_ t _ # _j_ Q-lctx j e {a+a)x^
— e (2«-2)x'j j
et alors la serie cesse d’etre divergente en ayant unc somme finie,
lorsque n est en valeur absolue plus grand que a.
La thdorie des integrates Eul^riennes, a laquelle j’arrive mainte-
nant, va nous donuer de nouvelles et iinporlantes applications des
m^mes considerations.
6. Nous rattacberons cette theorie a I’etude de 1 ’integrate
jC
1 Z‘ l ~ l — z~ a
I — 3
dz.
en d^veloppant une idee jetee par Cauchy dans son Memoire sur
les integrals definies prises entre cles limiles imaginaires (p. 45 )>
et dont le grand geometre se borne a tirer, lorsque n est un grand
nombre, la formula de Laplace
_ y'i'R n 2
I_ r(n) " 5
mais qui a une portee plus etendue, comme on va voir.
II — I
- logo — a)—hlog^i— ^ .-Hlog^
et integrons les deux membres entre les limites a — o et <
Les formules elementaires
J ' loga? dx = a?(loga?— i),
/i°g( i + ^) dx — (a7-H-^)]°g(i-)- — a
nous dormant
J ' \ ogada ~ / log(i— a ) da = — i,
0 '-'O
puis en general
/ [ log (' + I) + los (' - F+t)] da = (2k ~ h ') l0 *
on aura dans le second membre, pour la somme des integrates
logarithmes, la quantity
- 2 /i-H 3 logs -h 5 (log 3 — log i ) + .., + (an — i) [logu. — log(/i -
ou bien en r^duisant
-in — % log(i .2.3 .. .n — i) -+- (in — i) lo gn .
On tire ensuite de l’expression de R' z , a savoir
u gaar_|_ e (i-a)x — e x ~
w ,r(] — e x )
par un calcul facile
f\' n da= f‘
Jo J -„ v 2 (i — e *)
. . r\
que nous obtenons ainsi. Soil pour an moment,
.. > /'*, sina-re
f(a) — J log—— da-
on aura aisement ces relations
/(«; =/(» — «),
/(«)=/(f) H-/f + lOg-2 TT,
et nous conclurons de la seconde
f /(«)<*« = jf f(j^j da +- jf da -+- logait.
Mais les deux integrates du second membre sont dgales, et l’on.
peut dcrire par consequent
If f(a)da = *j' /(f) + lo 8 2TC -
Remarquant cnsuile quo la premiere relation nous donne
f J'(a)da = -2 f ' f(a) da,
J o o
et qu’on a evidemment
^ f(~/J da — J' f(a) da,
nous conclurons la valeur cherchde
f log da = — log air.
Au moyen de ce rdsullal, on parvient & la relation suivante
— log-2Tt ;=— mi — -2 log [i . 2.3 .. .(n — i)] h- (in — i) logu
0 e x (i — x) — a — x .
-t- — -:— - e»x dx.
x ' 1 (i — e x )
l°g[l .2.3. . .(/I — I )]
/ i \ | . /— 1 r 0 e x (2 — x) — 2 — x
et nous allons en exposer les consequences.
7 . En premier lieu nous avons une demonstration rigourei
de la formule de Laplace par cette remarque que le maximum
la fonction - — ^ —- a Jieu pour x = 0, et a par conseque
pour yaleur|- Afin de considdrer des valeurs positives delavarial
mettons en effet — x au lieu de x, ce qui n’en change pas la valei
et nous verifierons sur le champ l’inegalite
2 -+- x — (2 — x) e x <_x % (e JC — 1),
par le ddveloppement en serie, car on Lrouve pour le prem
memhre
i-y-x — (2 — x)e x ~ %- ---
6 1 . 2 .. .n ■+■■>.
tandis que le coefficient de x n+ - dans le second est^—^—-qui
evidemment superieur a - w a - H suit de la qu’on p<
ecrire, en designant par e un nombre < 1,
i:
e x (‘i — x) -
x^(i — e x )
et qu’on a par consequent
log T(n) = ( n — - ) log n — n -+- log 1/271: H-— •
\ 2/ 0 0 12/1
En second lieu j’dtablirai que si l’on remplace dans l’egalite
lo g r(«)= (n-l) logn-n+logv^^l
le nombre entier 11 par une quantite quelconque a, et qu
pose
F(a) = fa — loga — a h- log \fxiz 4- - f — - * H . AZlif e ax
\ 2/ ov 2./_ oo x-(i--e x )
puis
e*-('x — cr) — « — x
F'(a) = log a -1— /
v ' ” la a?(i — e x )
e ax doc,
F"(a) = - -+• f
a xa 1 x
e x (x — x ) — X -
Or on obtient un d^veloppement en serie de cetle quantity, en
remplagant t _j— > dans l’integrate, par la progression ind6finic
i e * q- ... -f- e nx H- ...; les integrates de chaque lerme r^sultenL
de la formule suivante
f 0 [e*(*
- 37) -
v] e {a+n)x dx =
et 1’on en conclul aisemenl cette expression
F "( a ) — •+"
a‘ l (a- i-i)- (a
qui est precisementD^logT (a). Les deux fonclions F(a) cllogT(a)
ne pourront ainsi differer que par un binome du premier degre
en a, el com me ellcs sont <5gales pour loulcs les valcurs entieres
de a, on voit, comrae nous avions pour but de l’dlablir, qu’elles
sonl identiques.
La ddcouverte de J’equation quo nous venons de ddmontrer est
due a Binet qui 1’a donn^e dans son beau M<hnoire intitule Sur
les integrates cUJinies E liter iennes et leur application a La
theorie des suites , ainsi quid Vevaluation des fonctions de
grands nombres (Journal de V&cole Poly technique, t. XVI,
p. ia3). Elle a eid ensuile Je sujet des rcchercbes de Cauchy
qui y a consacre une partie essentielle d’un travail d’nne grande
importance, public dans le Tome II. des Nouveaux Exercices
d’A nalyse et de Physique mathematique , p. 384, sous ce litre :
Menioire sur la theorie des integrates dejinies singuli&res ,
appliquee generalement d la determination des integrates
dejinies , el en partie utter d l’ evaluation des integrates Eide¬
riennes. L’analyse un peu longue du grand g^ometre peul 6tre
annees auparavant; et c’esl l’etude de la courte indication donne
a ce snjet dans le M^moire sur les int^grales iniinies prises entr
des limites imaginaires, qui m’a conduit aux recherclies qu’oi
vient de lire.
EXTRAIT D’UNE LETTRE A M. BRIOSCHL.
SUR LIQUATION DE LAME.
Annali di Matematica pura ed applicata ,
2 C sei’ie, t. IX, p. 21-2/j.
Vous ne serez done pas surpris qne je sois parvenu de mon cole
a l’equalion dilTdrentielJe du iroisieme ordre
z" -+- 3 pz ff -+- ( p' -+- 2 /> 2 -l- 4 q ) H- >■ ( q' -t- 0.pq ) z = o
donl, les solutions sonl les produits de deux solutions de liquation
du second ordre
y-'rpy-'rqy = 0;
mais je I’obtiens sous une forme un peu dilferentc, en prenant
pour point de depart l’equation
(1) ?.A/-h My = By.
Un calcul facile me donne
(u) 2 A *'"■+• 3 A 'z"~h A "z' — 13 z'-h 2B'z,
et voici les consequences que j’en tire. Faisaiit dans 1’dquation de
Lame, sn 2 a? = l, on obtiendra pour transformee l’equation ( 1 ), 011
I on prendra
A = t (1 — t) (1 — /c a it),
a B = n(n h- 1 ) 7c 2 1 -h h.
Les fonctions A et B etant ainsi de simples polynomes, du troi-
C 1 A1Y1 n n ^ fill rvYinmi o n A r\ rmA an / 1 r. rK lT/iuiinhQ 1 An A ^ Anri m n fla
+ [^p(p — l )(P -^) ■+■ 9P(P~ 0 + 6 /? —(9.p + i)(n*^-n)]k*zP = <
or on peut mettre le coefficient de zP , sous la forme
(2 P +i)(p — n)(p + /n-i);
il s’annule done en faisant p = n, et en adoptant cette valeu
Fequation est satisfaite si l’on pose zP — const. Liquation (2) p
consequent admet pour solution un polynome entier en t <
degrd n , 5 = F(i), et les conclusions auxquelles vous (Hesparvei
pour n = 1 s’etendenl d’elles-memes au cas oil n est quelconqu
En elfet, deux solutions y t et y . 2 de liquation (1) sont li^es p
la relation
dy x dy t _
' 2 ~dt y ‘ ~dt ~~ ~^X‘
oil C est une constante, et en yjoignant la condition
d (y i-rO dy 1
dt y2 dt
-hr
dy% _ F
1 dt
'(0,
on en
deduira
dt
a
—a-
yi
dy* 1 I
dt 2 |
F'(0-
-a-
et par
suite
_L 111
_ir
F'(t)
_i_ c 1
1
dy% _ i
[F'(0
G
y 1 dt
a l.
F{t)
v/AF(0j
yi
dt 2
L F(0
i/af(<)
d’oii e
nfin
(3)
y
— 0 e
1 rrF'm , c 1
V Lf.o ^/afulT
+ G'
c -
\/A F{/)_
F,
en designant par G et G' deux constantes arbitraires.
Voici maintenant, a l’dgard de la constante C, une remarc
essentielle. On tire aisement de liquation (2) la suivante
(f) A(j«'-i'») + A'«'=2Bj*-N,
et ce resultat se verifie sur-le-cliamp en differentianl et drvis
les deuxmembres par z. Mais a la solution sp^ciale de cette eq
sun l’equation de lame.
477
tion qui est donnee en prenant pour z le polynome F(«), corres¬
pond une valeur entibrement ddterminbe de N. Qu’on attribue
en effet a la variable t pour valeur particuliere une racine de
l’equation y K — o, nous aurons en meme temps z = o, z s — y\y^
done N = A(jy'jy 2 ) 2 . O r en attribuant cette meme valeur a t , dans
l’equation
dy i
dyi __ C ^
dt y/ A
vous voyez qu’on en conclut G= /Ay'yjj nous parvenons par
suite a ceLte expression C = y/N, et tout se trouve par consequent
determine dans la formule (3) qui donne ainsi la solution complete
de l’equation de Lame.
Vous reconnaitrez maintenant sans peine qu’en posant N = o
on a les valeurs particulieres de h auxquelles correspondent les
solutions qui, a l’egard de la valuable a?, sont des fonctions double-
ment pbriodiques, mais en laissant de cotb ce point, je vous indi-
querai une derniere remarque. L’equation (4 ) montre qu’en stippo-
sant N different de zbro, il est impossible d’avoir a la fois
F(£) = o et F'(^) = o, de sorte que la premiere equation n’a que
des racines simples. Soil L = t l’une quelconque de ces racines,
et faisons
_j_ =y_i_
Si nous dbsignons par T la valeur de A. pour t = t, de sorte que
1 ’equation (4) donne
TF' 2 (t) = N,
on en conclura
y/N" _ V y/N —'V ^
F(t) F'(t)(/— x) ~~2d t~x’
et par consequent
F'(Q | y/N _ v[ 1 ! _/? ]_y \g+/T
F (*) y/AF(0 Zd\_l — x y/A(«— -c) J —
i N A-f-y/T
ij t — x
■/[■
sna?cna?dna7-+-sntoci
sn-a? — sn-* to
ti'(x — to) @'(x)
u) &(x)
H(57-
to dn to
dx
0 Vo_)]
0 ( 01 ) J
dx
(vojez Coniptes rendus , p. jo86). Soit pour plus de clarte to,,
w 2 , . . ., to,, les n determinations de to qui correspondent aux
diverses racines t, et qui ont etd choisies de telle sorte cju’on
ait /r = snto cnto dnto, en excluant comme vous vojez la suppo¬
sition y/T = — sno cnto dnto, nous parvenons a ce resultat
j/W> + ■" = H( g - Ml )H(«- M ,)...H(.T-u, a ) -s Is
*“(*)
et il est clair qu’on aurait semblablement
pf\vu\ ~ ^Tio] d> _ H(ar + toi) H(tg+ tu 2 ) ... HQ-1 -cq,,) —
Cette methode pour intdgrer liquation de Lame se trouve dans
les feuilles lithographiees de mon cours de 1872 & l’Ecole Poly¬
technique
17 d^cembre 1877.
(') Voir page 118 de ce Volume.
E. I\
SUR UN THEOREME DE GALOIS
llELATIF AUX
EQUATIONS SOLUBLES PAR RADICAUX (‘).
J.-A. Serret, Algebve supdrieure , t. If, 5 ® edition, p. 677-G80.
Etant donnees deux quelconques des racines d’une Equation
irreductible de degre premier, soluble par radicaux, les autres
sen deduisent ration nellement.
Lemme I. — Soient
F(3?) = o
une equation irreductible de degre quelconque n, et
# 0 , X\, # 2 , X n -i
ses n racines. Si toules les fonctions des racines invariables
par les substitutions de la forme x/ t , Xk +i ou (^' (les indices
£tant pris comme fail Galois, suivant le module n) sont ration-
nellement connues , on pourra determiner ration tie Heme nt une
fonction entiere cp(a?) du degre n — 1, telle qu’on ait
a?i = <pOo), x z — <f(x x ), ..., <pO/0> ..., x n ~i — cp(# w _2).
On a, en effet,
F fa?') = f — xA( X - Xi) ... (X - X„-< ).
(J.) __ ^2 1 ' l 1 (a?) ^0
^ x — x„ F'(a7 0 ) x — Xi F'(a?i) "* x — x n -i F'(a? rt _i)’
il est evident que v(x) sera une fonction entidre du degre n — i
en x et que ses coefficients seront des fonctions des racines inva¬
riables par les substitutions de la forme a?*, Xk +\; on voit aussi
imm^diatement qu’on a
cp(aj 0 ) = a?,, cp(a7i) = 57 2l •••,
ce qui demontre la proposition dnoncde.
Lemme II. — Si une equation irreductible de degre premier n
est telle que toutes les fonctions des racines invariables par
les substitutions de la forme a?*, , et de la forme a?*, x^ }
p designant une racineprimitive de n, soient radonnellement
connues, on pourra determiner rationnellement une fonction
entiere de f(x) de degre n — i, telle que Von ait
(Xi-h'kxp -t-A 2 a?pi .. -+• A w - 2 ^p»-> ) n ~ 1 = co(x 0 ),
(Xz-hlXp+i -hl^Xpi+i -+-.. ,-f- \ n -ixpn-> +l )«-* = <p(a?i),
(x n -h Aa?p +n ~ t -f- A 2 a7p» +ft _iH-.. .h- = tp),
les indices etant pris toujours suivant le module n et X desi¬
gnant une racine de Vequation binome \ n ~ { — i.
Pour demontrer cette proposition, nous ferons voir que le
systeme des equations lindaires ainsi posdes enLre les coefficients
indeterminds de la fonction cp n’est pas all^rd lorsqu’a la place
d’une racine quelconque Xh on met Xk +i et aussi quand on rem-
place Xk par x p h
Le premier point est Evident, puisque chaque equation se
deduit de la precedente en ajoutant une unitd aux indices des
racines, et qu’en operant de la sorte sur la derniere on reproduit
la premiere.
Le second point se verifie aussi immediatement par rapport a
liquation
(a7 t 4- Xa;pH- A 2 a?pj +...•+• A re—2 Xpn-i')"—! — ©(#(,),
. .4- X"“ 2 a? p n-3
ne change pas quand on muldplie celte fonclion par a; or cela
revient a multiplier les indices des racines par p, ce qui ne change
pas non plus le second membre <p(a? 0 ). Mais les autres equations
du systeme ne se component plus de mdme. Dans l’une quelconque
d’entre elles
(^ 1 - 1 -a ■+■ Xa7p+ a 4- X 2 a?p2 +a + X M 2 07p’*- 3 -i-a) ,i '~ 1 — 'f (&a),
faisons a = pi* (mod. n), ce qui est possible, puisque a ne regoit
plus la valeur zdro; il viendra
(1) (<K J+ pn-t- Xa7p + pH.+ X 2 a?p3 + pii-|-. - .4- X'^iCpn-a+pii)"-* 1 = cp(a7p;j.),
et, en multipliant les indices par p,
( 2 ) (a?p + pfi+i -I- Xa?p3 + pn-i-i -l- X 2 a7p2-|_pn+ i 4 .. . 4 - X w ~ 2 a7p»—i+p!<H->) ,£ “' 1 = <p (a?pn+i).
Or la (11 — i) Ume puissance de la fonclion lineaire
37 p+p!*+‘ 4 - Xa 7 p 3 +p;i-H 4 - • • • 4 - X ' t—1 a?p»—i^-p^+i
ne change pas quand on mulliplie celte fonclion par A; au lieu de
1 ’equation (2), on peut done dcrire la suivante :
(a?pn-i+pn+>- 1 -Xa^p+pii+i- 4 - X 2 3?p2.j_pfi+* 4 -. . .4- X H- * 2 a7p»—3.|.piA+i ) ,t_1 = cp(a?p!i+i).
Or, en remarquanl que p M “' — 1 (mod. n), on reconnail. que celle-ci'
se ddduit de 1’dquation (1) par le changement de pi en pi -4- 1.
11 suit de la que la substitution x/ ( , x p i< ne fait que permuler
circulairement nos Equations, rangdes, a partir de la deuxidme,
suivant l’ordre des valenrs croissanles de pi. En les rdsolvant par
rapport aux coeflicienls de <p, on sera conduit it des fonctions
rationnelles des racines, invariables par les substitutions x/ r ,
et X /(, x p k- de sorte que ces coeflicients s’exprimeront bien ration-
nellemenl, comme nous l’avons annoned. Notre lemme est done
ddmontrd, et l’on en ddduil le suivant :
Lemme III. — Si une Equation de degi '6 premier est reso¬
luble alg&brique merit, VEquation de degri moindre d’une
En effet, relativement a liquation de degre n — i, qu’on obtient
par la suppression du facteur x — a? a , et dont les racines ont 6te
reprdsentees par
#p+a> ^p’+aj •••> x p n ~ a -i-oii
on connait rationne lie meat la fonction rdsolvante
(•^ n-a■+- X x p+a"+" X 2 a 'p 3 ~i-a■+■ • • • ■+■ X ,i— 2 •'^p’ 1 - 1 +a ) M—1 •
Les trois lemmes que nous venons de ddmontrer j:>ermel-
tent maintenant d’etablir ires aisement le th^oreme que nous avons
en vue. Faisons pour un instant
^p^-t-a = X-A-.
Puisque nous connaissons (lemme III), en fonction rationnelle
de x a , 1’expression
( Xo-+- X Xi -+- X 2 X 2 -|- X ,i_ 2 X,j_2) /i—1 ,
nous devons pareillement regarder comme connue toute fonction
rationnelle des racines X*, invariable par les substitutions de la
forme X*, X^ +1 . Cela nous place dans les conditions du lemme 1 ;
ainsi nous pouvons former une fonction z> telle qu’on ait generale-
ment
X/c+i = ffl(X&).
D’ailleurs, les coefficients de cette fonction s’exprimeront ration-
nellement par les quantity connues et la racine a? a ; de sorte qu’en
mettant cette racine en Evidence nous aurons
Xah-i = <p(X/,, Xa) ou .r p «;+i +a = o(ar p t +a , x a ).
Or on peut prendre p k = 6, 6 etant un entier arbitraire, mais essen-
tiellement different de zero; il vient ainsi
^pS-i-a = ®(^6+a? x a.)'
Cette equation exprime precisemenl la relation que nous nous
proposions d’etablir; elle monlre tr6s facilement comment toules
les racines s’expriment de proclie en proche, au moyen des deux
dans quel ordre elles naissent ainsi les unes des autres.
11 est aise de demontrer que, reciproquement, la relation
precddente, admise entre Irois racines x a , a? a+ g, x a+p £, entraine la
resolution par radicaux de Tequation.
A cet efFet, soient 9 une racine de 1 ’equation binome x n = i, et
F( 9 ) = (iKo+ Oa?i-+- 0 2 a?2-f-. • .-h 0 ,l - 1 a?rt-i) rt
la fonction r^solvante de Lagrange. D’apres la propriety caracte-
ristique de cette fouction, on pourra, sans alterer sa valeur,
ajouter aux indices des racines un norabre entier arbitraire a, et
ecrire
F( 0 ) = (»«-+- 0 :r a+ , ■+• e s a? a+s 4 -..On-iiPfltH-M-i)".
Cela pose, soit 6 un autre nombre entier arbitraire, mais different
de zero, et prenons 6 0 de manure qu’on ait
66 0 ==i (mod.n),
on yoit immediatement qu’on a
F(9§o) = (a? a 4- ea? a +6-J- 0 2 # a +2g-l-- • .-t- O'*- 1 a-a+(«-t)0)"»
et il est clair qu’en employant la relation
tfp«+a= <f>(^g+a, a?a)»
on pourra, par des substitutions successives, transformer le second
membre en une fonction rationnelle II de deux racines x a , Xa+e,
de maniere & avoir
F(0*.)=n(.r a ,a7 a+6 )
pour une valeur quelconque de 1’indice arbitraire a.
Cela etant, soit, comme plus liant, X une racine de 1’equation
binome x ,l ~' = i, la fonction
[n(a? a , ® a+ g) ■+• xri(a7 a , a; a . hp g)
•+■ X 2 ll(a; a , Va+p'Z) .. 4- X«- s II(a? a , x aL + 9 »-*s)] a ~ l
conserve la meme valeur quand on met p 6 au lieu de 6 , c’est-a-dire
qu’elle est independante de la valeur atlribuee 4 6 . Cbacun des
^oH-pS— c ?( a7 a-t-6> x a),
en une fonction rationnelle des deux seules racines x a et ,a: a+ g,
cette fonction devra se reduire a une quantity connue. Effective-
ment, si une fonction
u = x u )
conserve la meme valeur, quels qne soient les indices a el 6, le
second indice etant different de z&ro, on peut dcrire
n(n — i)«=y V ^(a7 a+6 , *a),
■“■a-•“6
relation'[dont le second membre est une fonction symetrique de
toutes les racines a? 0l x K , ...
II r^sulte de la que nous pouvons regarder les n — i quantiles
II(a7 ai a? a -|_g), n(a? a , a7 a -|_pg), ••••, n(a?a, #oH-p" —J 6)
co mine les racines d’une equation abelienne resoluble par l’extrac-
tion d’un seul radical de degre n — i. Or, ces quantity une fois
obtenues, nous connaissons, pour toutes les valeurs de 6, except^
6 = o, la puissance n lime de la fonction rdsolvante F(6 s o); done,
par l’extraction de n — i radicaux du n iime degre, nous aurons ces
diverses fonctions resolvantes, et, par consequent, les racines
elies-memes. On sait d’ailleurs, par une observation d’Abel, que
ces n — i radicaux s’expriment rationnellement en fonction de
l’un d’entre eux et des quantites sur lesquelles ils portent, quan¬
tity qui sont, comme nous venons de le dire, les racines d’une
equation abelienne.
SUR LE CONTACT DES SURFACES.
Hermite, Cours d’Analyse de V&cole Polytechnique,
p. 1 3 g-149* Gauthier-Villars, 1873.
I. tine surface dtant ddfinie par liquation F (x,y, z) = 0, les
coordonndes d’un quelconque de ses points seront des fonctions
de deux variables diflerentes, et devront s’exprimer de cette
man! ere
x = ep(/f, a), y—ty(t,u), z = §(t,u).
Et si nous consid^rons une seconde surface dont tous les points
se deduisent par une construction d^terminee de ceux de la
premiere, leurs coordonndes seront reprdsentees pareillement par
ces expressions oil figurent le« m£mes variables independantes t
et it
X = <I >(t,u), \ r = W(t,u), x = 9(t,u).
Celaetant, la thdorie du contact repose encore sur la considera¬
tion de la fonction 8 =f(t, u ), qui donoe la distance de deux
points correspondants, savoir
= )[$( t, u) — ®(t, a)p-l- [V(<, u) - k)]* + [0(t, U) -8(t, it)] 2 ' 1 )
et nous dirons qu’en un point donn^ par les valeurs t = a , u = b,
les surfaces ont un contact du n' &mc ordre, lorsqu’en posant
t = a A, u = b -(— /r, la distance 8 est infiniment petite d ordre
n -h 1 par rapport & h et k. Mais il faut tout d’abord preciser ce
qu’on entend par l’ordre d’un infiniment petit par rapport a deux
autres. Nous imaginerons 4 cet effet que h et k dependent dune
S —f(a H- h, b -l- oj /))
pourra se developper en s^rie suivant les puissances croissantes
de A, et il sera desormais entendu qu’elle est infiniment petite
d’ordre n -b i, lorsque independamment. de toute yaleur attribute
a co, les coefficients des puissances de h jusqu’a la n'* me seront tons
nuls. En admettant ce principe, on deduira sur-le-champ de la
definition de l’ordre du contact a l’^gard des deux surfaces, ces
consequences qu’il suffit d’enoncer :
i° Les Lrois differences X — x, Y — y, Z — z doivent dtre cha-
cune infiniment petites de l’ordre n i ;
2 ° Ces conditions restent les memes en changeant les axes coor-
donnes;
3° Elies subsistent si l’on change de variables inddpendantes,
en posant
^=/(x, u), u).
Ainsi en admettant qu’a t — a , u — b repondent t — a, o = (3,
et qu’on ait
a + /i = /(a4- i, £-+-/), 6 + ^=/,(a+i, pH-y),
si les quantitds X — x , Y— y, Z— z sont infiniment petites
d’ordre n-y i par rapport a h et A, elles seront infiniment petites
du meme ordre par rapport a i et j.
4° Prenant d’apres cela pour variables independantes les coor-
donnees x et y, de sorte que les Equations des surfaces devien-
nent
• * = /0,r),
X = $(x,y), Y-§i(x,y), Z = F(x,y),
une des trois fonctions §, § { , F determine la nature de la secondc
surface, les deux autres, 4 et ^ par exemple, la loi de correspon-
dance de leurs points, et les conditions relatives aux differences
X — x , Y —y caractdrisent les lois de correspondances compa¬
tibles avec la definition de 1’ordre du contact. Quant aux condi¬
tions concernant les surfaces elles-m£mes, elles se ddduisent des
developpements que donne la s^rie de Taylor etendue a deux
F(a-+-/i, 6 + A-)
= F(a, b) H-
(dF
\da °
0^
dA J
h /d 2 F
i "^(da 2 + 2W
d 2 F
dadb~*~ W
|2 ^
dA 2 y
A 2
I .2 ~ r '
f(a -h A, b -h a)
= /(«. b )
h)
db)
A /d 2 /
l 7 + (5S5 + aw
d 2 /
da dA l_ u
dA 2 /
A 2
-K
r .2
on exprime en ellet que la difference Z — 3 est infiniment petite
d’ordre n H- i, en posant
F(«, f >) = /(«> b ),
dF dF _ d/ df
da db ~ da db ’
d 2 F d 2 F d“F __ d 2 / d 2 / , dV
da 2 ~ t ~ 9 W da db ~ 4_ 10 d6 2 ~ da 2 -l 2 W da dA W dA 2 ’
d« F n d"F
da'* i W da' 4-1 db
d n f n d' l f
da" i da 1 '- 1 db
d" F
da dA" 1
da db ,l ~ l
d« F
db"
db n ’
et considerant w dans ce systeme de relations comme nne indeter-
minee; il en resulte que le contact du premier ordre exige trois
equations :
F(a,A)=/(«,A),
dF _ df
da ~~ da ’
dF __ d/
dA dA'
le contact du second ordre six, car aux precedentes il faudra
joindre celles-ci :
dfV_df£ d*F d 2 / d 2 F __ d 2 /
da 2 ~ da 2 ’ da db ~~ da db' db' 1 ~~ db 2 ’
et en general le contact d’ordre /t, • - n - H equations. G’esl
ce nombre qui donne a la theorie dont nous nous occupons son
caractere propre, et eloigne, sauf le premier cas de n — i, toute
analogie avec celle du contact de deux courbes, ou d’une conrbe
et .d’une surface, comme on va le voir par les applications sui-
(loni'i equation renierme trois coemcients, ae sorte qu on peui,
comme pour la ligne droite a l’dgard d’une courbe, obtenir, en tin
point quelconque
un contact de premier ordre avec toute surface z = f(x,y). Ayanl
en effet
F(X,Y) = aX + 6Y + c,
les conditions
y ) =/(®, y\
donnent immediatement
dF_4L
dx dx
d¥_ _ df
dy ~ dy
■z = ax -+- by -+- c,
dz
dx
b
dz
dy ’
et Ton retrouve ainsi l’equation ddja obtenue du plan tangent sous
la forme
z —= S(X-«) + $!Y_,>.
Nous remarquerons, avantde faire les applications de ce resullal,
qu’en supposant paraliele au plancoordonnd des XYle plan tangenl
en x,y, z a la surface z-=f(&,y), on a ndcessairement
it
dx
o,
df
dy
Et si le plan des X.Y est lui-meme tangent a I’origine des coor-
donndes, la fonction f(x,y) ainsi que ses ddrivdes partielles du
premier ordre s’annuleront pour x = o, y = o, de sorle que le
ddveloppement par la serie de Maclaurin de l’ordonnde z suivant
les puissances croissantes de x et y commencera seulement aux
termes du second degrd, et sera de la forme
z = ax % -+- bxy -+- cy* -i- dx 3 -i- e x-y -+-_
De U se' ddduirait que la distance au plan tangent d’un point
d une surface infiniment voisin d’un point de contact est un infini-
comme par definition la distance 8 de deux points correspondants A
et B de deux surfaces, infiniment voisins de leur point de contact,
est infiniment petite d’ordre a + i lorsqu’elles ont un contact du
n. ihne ordre, il en resulte a fortiori que la plus courle distance du
point A de la premiere surface a la seconde, est aussi infiniment
petite du m&me ordre.
Observons enfin qu’en supposant z une fonction implicite delcr-
minee par la relation
/(a?, y, z) = o,
V equation
, dz
repreud la forme sous laquelle nous Favions prdcedemmenl
obtenue. On a en effet
df dz df
dz dx dx
d’oii I’on tire
a
dz _ dx
dx df
dz
et en substituanl il vient
d£d±^_ df
dz dy dy
df
dz __ dy
7 ’
dz
(X-
df _
, df
->£ = ■>.
Nous en conclurons pour la normale a la surface, c’est-a-dirc
la perpendiculaire dlevde en .-r, y, z an plan tangent, les equa¬
tions
X-x _ Y_—r Z — z
df ~ df df 5
dx dy dz
en supposant que les axes coordonncs soient rectanguiaircs.
III. Soit pour premiere application les surfaces donndes par
l’dquation
f(x — az,y — bz) — a,
ou plus simplement
en posant
a — x — az^ — bz.
On lirera de la
dx da. dy d$ ’ dz da d \i
de sorte qu’en reunissant les termes en ~ et l’equation du plan
tangent devient
£ r X_ : r_a(Z-^)j + ^[Y_ r -4(Z- i )] = o.
Ce resultat fait voir que, quelle que soit la fonction /(a, (3), ce
plan contient la droite
X — x = a(Z — z), Y —y = b{Z — z).
EfFectivement, l’equation propos^e est celle des surfaces cylin-
driques , el le calcul met en Evidence cette propriety du plan
tangent, de contenir la g^n^ratrice qui passe par le point de
contact.
Nous considerons en second lieu les surf aces coniques qui sont
donndes par l’equation
./(«, P)=
en posant
_ x — a o __ y — b
z — c ^ z — c
On aura alors
df _ i df df i df
dx z — c da ’ dy ~ z — c d$ ’
d f _ x — a df y — b d f
dz (z — c) 2 da (z — c) 2 df
et, par suite, pour liquation du plan tangent, apres avoir supprime
le facteur —^,
z — c
g — a ~\ , df ",
s — c _ -r d$
^—y — (z s')-.
II contient done encore la g^neratrice qui passe par le point de
en faisant
a = x- -t-JK 2 , jE = s,
seront
X-a? Y-y __ Z-z
a) 2 y f'{cc) /'($)’
et les deux premieres se r^duisant a ^ == il en r^sulte que cette
droite est dans le plan d^termin^ par Je point (%,y,z) el l’axe
des vs, qui est l’axe de revolution de la surface.
IV. Une surface recoit le nom d > osculatrice ) lorsqu’on a dispose
de toutes Les conslantes qui fixent sa position et determinenl sa
nature, de maniere a obtenir, avec une surface donnee, le contact
de l’ordre le plus 6feve possible. G’esl la, comme on voit, l’exten-
sion naturelle de La notion qui s’est offerte dans la th^orie du
contact des courbes consid^r^es sur un plan ou dans l’espace, et
qui a recu, dans le cas du cercle, une application d’une grande
importance. Mais loule surface ne peut point devenir osculalrice
d’une autre, comme toute courbe plane, quelle qu’elle soil,, d’une
ligne donnde. II faut en efTet que Le nombre des conslantes k deter¬
miner soil un terme de la s£rie
3, 6, io, i5, 2\
(ra + i)(» + 2)
de sorte qu’il n’y a ni sphere, ni surface du second degr^ oscula-
trices, puisque leurs Equations g^ndrales renfermenl repeclive-
ment 4 et g coefficients. En gdn^ral, une surface du degrd
. , (m + i)(nt + 2 )(m + 3) . ■, . ,
en contient ----——-i, ce qui conduit a poser
liquation
(/H-i)(ft + 2 ) _ (m -i- i ) ( m -t- a) (in -+- 3)
4 J. (> ’
dont il y aurait lieu ainsi de recbercher toutes les solutions en
nombres entiers et positifs pour m et n. Mais l’Arithmdtique supe-
rieure ne donne k cet 6gard aucune m^thode, et je me bornerai k
remarquer qu’on y satisfait, par les moindres nombres, en pre-
nant m = 5 et n = g. Il n’y a done aucune surface alg^brique, de
cependant d’aller plus loin. En disposant des deux coordonn^es
d’un point d’une surface, on peut en effet ajouter deux constanles
a celles qui determinent une sphere, et par consequent la rendre
en ces points osculatrice du second ordre, puisqu’on aura le
nombre voulu de six quantites arbitraires. En disposant d’une
seule des coordomiies on ajoute une arbitraire aux neuf coeffi¬
cients d’une surface du second degre, ce qui permeltra de la rendre
osculatrice du troisieme ordre, non plus alors en un certain nombre
de points, mais comme il le senible au premier abord, tout le long
d’une ligne determinee d’une surface quelconque. Nous allons
traiter ces deux questions.
V. Liquation de la sphere etant
(X — «)*-+-(Y —.6)* + (Z —c)s= R 2 ,
on obtiendra les d&rivees du premier ordre
par les relations
et celles du second
P
rfZ
dX
Q
dZ
dY
X — a-t-P(Z — c) = o,
Y — b +Q(Z — c) = o,
R c d>Z T _d 1 Z
~ dX* ’ dXdY’ dY 2 7
par celles-ci, qui s’en deduisenl en diffdrentiant successivement par
rapport a X eta Y,
[ -+- P 2 -+- R(Z — c) = o,
PQ + S(Z — c) = o,
r -+- Q 2 +T(Z — c) = o.
Or les conditions du contact du second ordre avec une surface
quelconque z =/ (x,y), au point X = #, Y = y, sont
Z=z,
R
d*z
dx * 7
P
dz
dx
S = -
Q
dz
dy
T =
d % z
dv
clos
• —
dx l ’
dz_
dy
d*-z
dx dy
d i z
dy 1
3 S obliendrons en remplacant dans les relations prece-
j Z, Pj Q, R, S, T par y , z , r, s, £, ce qui
a
.•37 — a -t-y(z — c) = o,
JK — 6 -+■ £ ( 3 -- c) = 0,
i -t- p- -i- r{z — c) — o,
pq -ys(s — c) = o t
i -t- q 2 -+- t(z — c) = o.
<5tant, les irois dernieres conduisent immediatement par
ration de c ou plntdt de 3 — c aux denx Equations de condi-
ercbdes entre x et y, savoir
i + p i _ pq __ i -i- g 2
r s t ’
hassant les ddnominateurs,
(!-+-/>*)« -pqr= 0 ,
(n-/>*)« — ( I -hgr*)r = o.
lonnele nom d’ombtlics aux points de la surface z= f($,y),
Jterminent ces relations, et que bientdt nous verrons s’offrir
n autre point de vue. Je me bornerai en ce moment a les
r 1’dgard de I’ellipsoi'de
out im rdle extrdmementimportant dans l’etude geomdtrique
rnrbes tracdes sur celte surface. En formant a cet effet les
*s des quantites p , q , r, s , t , on trouve
c 2 # c'-y
c**(b 2 — y 2 ) c i xy f _ c 4 (a 2 )
= ~~ cflb’tz* ’ S ==_ ~ a*b*z*' ~~ «*&***
£s quelques reductions, il viendra simplement
/i2\ — ft.
inegaux, et qu’on suppose
a > b > c,
nous parviendrons tres aisdment a ces solutions, les seules reelies,
savoir
x =± a
\
V 2 — b 2
« 2 — c 2
7 = o,
On en conclut que les ombilics sont les quatre points ou les plans
des sections circulaires deviennent tangents a la surface.
VI. Dans la seconde question, il s’agit de liquation generate
du second degre
F(X, Y, Z) = a' Y 2 4 - a!' Z 2 +- a b YZ + a b' ZX -4- a b"X Y
+ 2 cX + ?.c' Y -+• ac"Z -h = o,
et des conditions du contact du Iroisieme ordre avec la surface
quelconque s =/(#, j'). Alors il est ndcessaire d’introduire, en
outre des derivees partielles du premier et du second ordre p, q ,
r, s , £, celles du Lroisieme que je ddsignerai ainsi
^ __ d*z _ d 3 z d- z . _ z
’ 1 dx- dy ’ 1 dx dy- ’ dy 3
Cela etant, et sans rdpdter ce qui a ele dil Lout a IMieure a
propos de la sphere, j’ecrirai immddiatement ces relations
ax-->r a'y*-t-a" z* ■+■ ‘ibyz-yib’zxy-ib"xy -t- icx^r 2c'y-\~ 2c” z->rd = o,
( b'x ->rby-\- a"z -t- c") p -h ax -t- b"y -t- b'z -+■ c = o,
(6 'x -t- by -t- az -+- o")q -+- b” x -+- a! y bz -+- c' = o;
puis celles-ci, qui contiennent les ddrivdes du second ordre, et oil
jc fais pour abreger
i df ,, ,
to =- f- = b x + or + flz + c,
i dz ^
tar -h a"pi- 1 - 2 b'p -t- a = o,
ws -h a"pq -h bp -+- b'q -h b" = o,
w t -+- a"ibq -t- a' —. o.
savoir
lions, ou entrent les derivees partielles du troisieme ordre, el qui
ne contiennent plus que les coefficients a", b, b\ c" sous forme
homogene
+ 3(«> •+• b') r = o,
wA-i- {a"q -+- b ) r -+- i^p -4- b')s — o,
w^ + (a> + i')« + 2fa'? + fi )* = o,
10 l -+- 3 (a"q -+- b )t — o.
Voici la consequence remarquable a laquelle elles conduisenl;
deux d’entre elles donnent
a> + 4' = _|£, a' ? + i=-2i,
et, en substituant dans les deux autres, la quantite to disparailra
comme facteur commun, de sorte qu’au lieu d’une seule equation
de condition entre x et y, nous obtenons les deux suivanles ('):
3 hrt — l r 2 — r igst = o,
3 krt — g L % — 'i Irs — o.
Mais, en meme temps, les inconnues </, 6, bd' entre lesqnelles
onn’a plus que deux equations, et par suite Lous les coefficients
de F(X, Y, Z), s’exprimeront en fonction lineaire et liomogene de
deux indeterminees \ el u, de sorte qu’on doit poser
F(X, Y, Z) +
ou <I> et d>, sont des polynomes entierement determines. Ils’ensuil
qu’en un nombre fini de points de la surface z = /(a?, jk), et non
le long d’une ligne comme on 1’avait d’abord presume, nous oble-
nons un faisceau de surfaces, au lieu d’une surface osculatricc
unique du second degrd ( 2 ).
(') Elles expriment, coinme on le vdrifie aisdmenl, que le polynorae du Lroi-
sidme degrd g'V-t- 3 AX 3 + 3 /cX l est exaclement divisible par /• V+ asX -+- 1 .
( 3 ) II est remarquable qu’on irouve des Lignes en appliquant cette thdorie aux
surfaces du troisieme degre; ces lignes sont les 27 droites situdes sur ccs surfaces.
SUR LES
EQUATIONS DJFFERENTIELLES LINEAIRES.
Bulletin des Sciences mathimatiques, i e serie, t. Ill,
1879, p. 3 ii- 325 .
C’est a Euler qu’est due la premiere m^thode d’integration de ces,
equations dans le cas ou, les coefficients etant supposes constants,
liquation a la forme
4 -
„ d \r
d n y
d^^°‘
Cauchy a ensuite donne une seconde m^thode, qui est celle que
nous allons exposer.
A cette Equation differentielle, Cauchy a rattache liquation algd-
brique suivante
a p z Y- 3 2 -+-. . .- 4 - s ' 1 = o,
obtenue en remplacant les derivdes successives de lafonctiony par
les puissances de l’inconnue z, dont les exposants sont respeetive-
ment egaux aux ordres de derivation. SoitF(s) le premier membre
de cette equation, que Cauchy a appelee VEquation caracterislique
de 1’equation differentielle proposee. Si nous envisageons l’integrale
suivante
(z)
dz,
ou ITfs) estun polynome entier en z a coefficients arbitrages, etsi
Daiis le cas particulier ou le contour ne renferine aucun pole de
lafonclion e c’est-a-dire aucun point qui ait pour affixe une
racine de l’equation caracteristique, l’intdgrale est nulle, ety = o
esL bien une solution de liquation difkrentielle proposee; mais
c ! est dans le cas ou le contour renferme des poles que nous obte-
nons eflectivement des solutions.
Pour demontrer ou plutdt pour verifier ce th^or^me, formons
les derivees successives de l’intdgrale par rapport a x\ nous
aurons
S =J F U,
d°-y re= x z*YI(z) ,
>(*') d *'
d a Y __ r e zx z n U(z)
dx tl F(.s)
chacune de ces inldgrales dlanl toujours supposde effectudele long
du contour fermd.
Substituons dans l’equation proposee; le premier membre de-
vient
/ <a ^• ■ h_ z " ) dz -
On voit que F(s) disparait comme facleur commun et que l’in-
tegrale esL celle de e zx W(z). qui, eflectuee le long du contour
ferme, est nulle, puisque 11(5) est un polynome entier. L’dquation
est done vdrifide, ce cpii ddmontre que, quel que soil le contour
fermd d’int<5gration, 1’integrale
K*)
est une solution de liquation proposde.
Remarque. — n(z) dtant un polynome de degrd quelconque, il
semble qu’il entre dans la solution un nombre quelconque de con-
slantes arbitraires; mais il est facile de voir que ce nombre est au
plus dgal & n. En ellet, on pent toujours, si H(.s) est de degre
supdrieurii celui de F(s), ^crire identiquement
/
e**n (a)
F(*)
dz = e z * <f>(z) dz -I- ^
*(*)
dz
mais, en integrant le long d’un contour ferme quelconq
que la premiere integrate s’evanouit, puisque <E>(.s) est un
entier, et il ne reste que la seconde ou W (z) renl'en
n constantes arbltraires, puisque son degrd est au
an — i.
Nous allons maintenant passer de l’expression de la so
forme d’intdgrale a une expression sous forme explicite
Soit S la somme des residus de la foncLion <
pondent aux racines du denominateur affixes de points
au contour d’intdgration.
L’integrale aura pour valeur 2 /ttS.
Calculons ces residus.
Supposons d’abord que liquation caracldrislique n
racine multiple, et ddcomposons la fonclion er
simples. On pent toujours supposer que le degre II(
ferieur a celui de F(s); par suite, le resultat de la decc
sera
£Cf) = _A_ . _J?_ L
F(z) z — a z — b z — /
Faisons z = a -{- h dans la fonction - .,^7 -; elle devici
r {z)
e x(a+h) u(a ■+■ h) ( hx h^x- \
F(a ^ h) .-
x ^ ^^ ^-t - • < . y ?
puisque le terme donne seid un terme en ^ • Le 1
done egal & h.e ax \ on a done pour premiere solution, ej
le long d’un contour qui ne conlient que la racine a ,
En general, le contour pouvant conlenir un nombre q
de poles de la fonction ? la solution gdndrale
bd a
etant les racines de liquation caracteristiqae, et A,
, L, n constantes arbitraires qui peuvent £tre nulles et qui
renferment le facteur 2 iiz.
Supposons maintenant qae liquation caracteristiqae ait des
racines multiples, et soit
F(z) = (z — rt ) a+1 (s — .. .(z — l)^ 1 .
La formule de decomposition est alors
n(a) _ A ___ B
F(.z) — z — a ( z — b)
A, B,
(z — a)* ' + “ (z — b ) 2 _h '“
A a
” 1- (z —
13 P_ ,
z-b)P- 1-1
Nous aurons, en faisant z — a ■+■ h,
Ilfa -i- h) _ A Aj A a
F(a + A) “I + I 2+ ‘'‘ +
les termes suivants ne contenant pas de puissances negatives de h\
d’ailleurs,
e x[a+h) — e ax
h*a;*
1 .2
Pour avoir lerdsidu correspondant a z — a , c’cst-a-dire le coeffi¬
cient du terme en ^ dans le developpement de e x(a+A) , il
suflit de multiplier les coefficients des termes qui se correspondent
dans les seconds membres des deux dgalitds prdcedentes. On tronve
ainsi pour expression du rdsidu, et par consequent pour une solu¬
tion de liquation difierentielle proposee,
2 iize ax
A
Aia?
La solution generate sera done de la forme
e ax (<&> -+- .. -+- JUa^ 01 ) -+- e bx ('\\]y -+- t)b| as • •
on voit que la solution gen^rale conlient n coefficients arbitrages.
Faisons une verification dans le cas des racines simples.
Montrons d’abord que y = A.e ax est une solution; nous parti-
rons de 1& pour verifier la solution generate. Soit done
y = A e ax ,
dy .
= ha e ax ,
d'y
dx 2
= e ax .
d' l y
dx ' 1
— A a ' 1 e ax .
Substituant dans l’equation diff^rentielle, le premier membre
devient
A e ax (<x-\- $a -+- y« 2 -(-. •«")•
Or le second facteur n’est autre chose que F(a); il est done
nul, puisque F(s) = o admet la racine a . Done y = Ae ax est une
solution.
Je dis que, si y K et y 2 sont des solutions, il en est de meme
tey\+y^
En effet, si l’on a
3 dy\
. <Vy±
d*yi
a ^ 2 ~ f " P •+• T
.. d*y t
d H y*
dx"
o,
il vient, en ajoutant,
/ \ a d . . d%
a (yi + 72) •+• [3 ^ (yt -H Y ^ ifi -H JK2 )+••. = 0,
ce qui montre que -by 2 est une solution. Il en serait de meme
de la somme d’un nombre quelconque de solutions de la forme
Ke ax , ce qui verifie la solut'Dn g^nerale
Ae^+ B e bx -+-..L e tx .
Passons au cas des racines multiples. La verification est moins
de I equation dmerentieite proposee, aont ia vaname z sera liee a
la variable y par Ja relation
y = c mx
m etant une conslante arbitraire. Formons les d^rivees successives
dey; on aura
= e" lx { m>z -+- 2 mz z").
dx 2
On voit que, en substituant dans liquation proposee, on obtienl
le produit de e mx par une fonction lindaire de z et de ses ddrivees.
Nous avons done identiquement
a7+ ^+...+ 0 = e >nx(Q z -+. Hz'+...+ L zin>).
Pcfur calculer les coefficients constants G, H, ..., L, remarquons
que nous n’avons fait aucune hypothfese sur la nature de s, qui est
une fonction quelconque de a:. Faisons z = e hx , h etant une con¬
slante; nous devons avoir identiquement, en divisant les deux
membres par le facteur
a -4- |3( m ■+■ h) -H y (m h)% -+-... -+- (m -+- h) n = G- M- II h ... -H L h a .
Le premier membre est F(m •+■ h)\ l’identitd prdcedenle devant
avoir lieu quel que soit h, les coefficients G, H, ... doivent 6Lre
dgaux respectivement aux coefficients des puissances successives
de h dans le ddveloppement de F(/w •+■ h). On a done
G = F ( m ),
H = F'(m),
L= EliUll.
i. ‘2 ,... n
Liquation transformde est done la suivante :
e mx
zF{m)
dz ■ . dzz¥"(m)
+ -hr 1 *--
dz
terme en ; elle est done vdrifi^e si 1’on suppose que z est une
constante A. L’equation proposde aura pour solution correspon-
dante
y = A e moc .
Si m est une racine double, on a F(m) = o, F / (m) = o; la
transformee, commengant par un terme en est verifi^e si 1’on
suppose que z estunbinomedu premierdegry en x(z = A-f- B#).
La solution correspondante pour liquation proposee est
y = e mx {k.-\- Bx).
On verrait de m£me que, si m est une racine d’ordre de multi¬
plicity a + ] de la caractyristique, on a pour solution de liquation
differentielle
y = -t- La? a ),
A, B, ..., L ytant des coefficients arbitraires.
Nous allons maintenant determiner les constantes arbitraires
que renferme la solution generale de liquation differentielle
lm^aire, de fagon que pour une valeur particuli&re de x, pour
x = o par exemple, la fonction y et ses dyrivees successives pren-
nent des valeurs donn^es.
Yoici quelle ytait la m^tbode suivie avant que Cauchy eut donnd
une solution generale de ce probleme. Prenons le cas ou F(^) n’a
que des racines simples; la solution est de la forme
y = A e ax -h B e hx -\-.. , + L e lx .
On forme les (n — i) premieres d^riv^es, on y fait x — o, el,
en egalant les valeurs qu’elles prennent aux valeurs donndes
JKo, y' 0 , • • •, /J" 1 , on obtient, pour dy terminer A, B, *.., L, les
n yquations suivantes :
A -f- B L = yo,
A a B b +...+ L l =y' 0 ,
Aa»-i+ L = y( Q n -i).
multiples, cette metnode est d une application ctilnciie, puisque
les derivees de y sont plus compliquees et que les diverses racines
n’entrent plus de la m&me maniere dans les equations a rdsoudre.
Cauchy a donne une methode tres simple, qui est la m&me dans
le cas des racines simples et des racines multiples.
Reprenons la solution de l’equation diflerentielle sous la forme
y =
2 it: J
e zx U (z)
-W(jr dz]
pour que cette intdgrale soit la solution gdn^rale, il faut supposer
que le contour d’integration renferme a son interieur Lous les
points dont les affixes sont des racines de F(.z), et, comme l’inte-
grale ne change pas de valeur quand on agrandit le contour, je
supposerai que c’est un cercle dont le centre est a 1 ’origine des
coordonnees et dont le rayon sera ires grand.
II s’agit de determiner les coefficients de n (.s) de sorte que, pour
i re zx Yl(z) }
a: = o, / 1 ~ p^-y - - az et ses n — i premieres derivees prennent
les valeurs donnees, que je supposerai eire ro, yj,,
nous avons les n equations
I
2 IT c J
('wr ) dz= r°'
2 IT J
I
2 iT J
g.
11
2 in J
r rfs _ r ,„
Pour oblenir ces diverses integrales, developpons suivantles
puissances decroissantes de la variable; II (z) etant en general de
degre n — i, le premier terme du developpement sera du degre
— i en 3, et l’on aura
tl(-g) _ e 0 e, e 2
P(-») “ •= + -=* + S*
que les racines de l’equation soient imaginaires; or, en general,
diant donnde une equation differentielle lindaire sans second
membre et a coefficients constants, je dis que, si ces coefficients
sont reels, ainsi que les quantitdsjyoj y ' 01 y" 0 , ..., onpourra mettre
aisement l’intdgrale sous forme explicitement rdelle. En effel, a
etant une racine imaginaire de l’equation caractdristique, on pren-
dra sa conjuguee b et l’on considerera les deux termes Ae rta; -|- Be bx .
A et B sont evidemment conjugues, puisque ce sont les residus
d’une mdme fonction reelle pour deux racines conjuguees du
ddnominateur.
Supposons que a=a- J r ifi, b — a —t (3 et A. = P-+-fQ,
B = P — i Q; nous aurons
A e ax -+-B e bx — A e ax (cos fix i sin fix) -+- B e* x (cos fix — i sin fix)
= e ax cos( 3 ;r(A -+- B) -+- e ax sin (Ba?( A — B)i
= 2P e ax cos fix — 2Q e* x sin (Ba?,
quantite qui est en effet rdelle.
JNous avons vu tout & fiheure que, etant donnde une solution de
-b n-y — 0, en y changeant x en x -(- c, on a encore une
solution. Cela se voit immediatement sur la forme generate
y ~ A.e ax Be bx car les difierents termes se trouvent sim-
plement multiplies par e ax , e bx , ce qui revient a changer les con-
stantes A, B, qui sont arbitraires.
Equations lineaires a second membre et a coefficients constants.
Je supposerai que, ce second membre dtant un polynome entiei'
f (%) de degrd /?, l’dquation proposee soit
+ -+-T
d r , „ d\y
dfy _.
■■fix).
dx ' 1 dx % 1 dx' 1
Si je prends la ddrivee d’ordre p -1- 1 des deux membres, je
SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES L1NEAIRES. 507
trouverai
dP +i y g di’ +2 y d n+ P +l y
que je sais integrer et dont ies solutions fourniront celles de la
proposee. A la vt 5 rite, cette nouvelle equation est plus g^nerale
que la premiere; aussi devrons-nous parliculariser le r^sultat
obtenu.
L’equation caracteristique est
a zP +i -+- $zP +i z n+ i >+l = o.
Le premier membre est zP +i mulliplie par le premier me mb re
de I’equation caracteristique qui correspondrait a l’equation diffe-
rentielle proposee sans second membre. On sail qu’une racine a
d’ordre (p -f- i) de liquation caracieristique donne dans I’inte-
grale un terme e ax (g -f- hx -f-... -b xP ).Ici a = o; on aura done
simplement un polynome de degre p y F(#), auquelilfaudra ajouler
I’ensemble des Lermes correspondant aux racines simples ou mul¬
tiples de l’equation caracteristique
a + p^+...+ 3»=o.
La valeur dey sera done
y = F (a?) -i- A e ax -+- B e bx -t-...,
oil la partie ajoutee a F(#) reprdsente la solution de liquation
proposee, privee de second membre.
II s’agit maintenant de determiner les coefficients de F(<r); on
pourraitle faire en effecluani. la substitution de cette valeur dey
dans liquation proposee, el il n’y aura qu’a s’occuper des termes
produits par F(,:r) et ses derivees successives et identifier la somme
de ces termes au second membre / (x).
Mais nous donnerons le moyen de determiner plus rapidemenl
les coefficients de ¥(x). EfTectuons la division- 5 --—;->
v ' a •+• ( 3 z -+- yz 2 -+- .. •
et representons le cjuotient par ot 0 —( 3 0 ^3 —|— y 0 -S 2 —L" So—l— -
Les coefficients a 0 , ( 3 0 , y 0: ... seront lies par les relations
serie qui s’arr£tera d’elle-meme quand on arrivera a fP^ K (a;), qui
est nul.
Pour verifier cette valeur de F(a?), il suffit de faire la substitu¬
tion corame ii a ete dit tout a l’heure; or on trouvera ainsi
**0/(3?) -t- (ajB 0 -+- P*o )f'{ x ) -H ( a Yo ■+■ PPo -+• Y a ») f"( x ) ■+■•••>
qui doit etre identique a F(x), et cette condition est satisfaite
d’apres les relations (1).
Comine exemple, je prendrai l’equation lin^aire du premier
ordre
que nous savons deja integrer; nous allons ainsi retrouver le
resultat prec^demment obtenu. En appliquant la methode qui
vient d’etre expos^e, nous ferons le quotient
I _ I - z-
a z a a- a-
En posant alors
a a- a A
la solution g6n6rale sera
y — c e~ ax -f- F(ar).
Remarque. — Dans un grand nombre de questions, on se sert,
commenousl’avonsfaitici, d’unefonction© (x) = a.-\-^x- s r‘^x-- J r ..
dans laquelle les exposants de la variable correspondent a des indi ces
de derivation d’une fonction donn^e F(#). Lorsqu’on deduit ainsi
de F (x) la nouvelle fonction aF(a?) [ 4 F'( x ) yF"_(#)
cela s’appelle operer sur F(x) a 1 ’aide de cp(a?).
En terminant, nous indiquerons, sans la demontrer, la conse¬
quence suivante : Lorsque Cequation caracteristique a toutes
ses racines reelles , le nombre des racines reelles de F(x) est au
plus egal au nombre des racines reelles de f{x).
SUR
L’INDICE DES FRACTIONS RATIONNELLES.
Bulletin de la Sociite. mathernatique de France ,
t. VII, 1879, P- I28 -i 3 i.
Soient (J et V deux polynomes de degre n et 11 — 1, que je
pposerai premiers entre eux; je me propose de monlrer, par
le consideration directe et entierement elementaire, que I’indice
la fraction -gj entre les limites —go et +00 de la variable,
inne la difference entre le nombre des racines imaginaires de
quation U -j- iV = o, ou le coefficient de i est positif, et le
imbre de ces racines ou il est negalif. Soit, a cet effet,
U + iV = (a? — a t — 161) {sc — a 2 — ib 2 )...(% — a n — ib n ),
posons
U1 —|- i Vj = (sc — a% — ib% • - (on a t i ),
sorte qu’on ait
U -h iV = (a? — ai — ib\) (Ui+ iV1),
, par consequent,
U = (a? — ) Ui61 Vi,
V = — 6,Ui-t-(ar — «i)V,,
Je remarque d’abord qu’il rdsulte de ces relations que les poly-
mes U et TJ| sont premiers entre eux; car autrement U et V
raient un diviseur oommun, contre la supposition faite. Cela
se, l’egaiite
(U + iV)(Ui— i'V,) = (a? -a,-i6i)(Ui-t-V?)
ou bien
V V. _ 6i(U? + V?)
u u, ~ uu,
Faisons croitre maintenant la variable de —oo a +co; puisque
lespoljnomes U et U< ne pen vent s’^vanouir pourlameme valeur,
on voit que l’indice du premier membre sera la difference des
indices des fractions ^ et qui va s’obtenir immediatemenl.
Supprimons, en effet, le facteur positif 4-V^; nous sommes
amene a la quantite dont la reciproque a un indice nul, de
sorte qu’il suffit d’appliquer la proposition contenue dans 1’egalite
ou e = +i lorsque f(x 0 )>o, /(#,,) <C o, e = —i si l’on a
f(oc 0 ) < o, /(a?,) > o, et enfin e = o lorsque f(x Q ) et f{x K ) sont
de meme signe. Dans le cas present, x 0 —— oo, 34=4-0o; d’ail-
leurs U et U, sont de degres « et n — 1 : il en r^sulte que e sera -f- 1
ou — 1 suivant que b\ sera positif ou n^gatif.
La proposition ^nonc^e a 1 ’dgard de l’equation U 4- fV = o, de
degre n, se trouve ainsi ramen^e au cas de liquation U ( 4- « = o,
dont le degre est moindre d’une unit6, et, de procbe en proche,
on arrivera au cas le plus simple, a savoir
x — a n — ib„ = 0,
ou elle se verifie immediatement.
Une premiere consequence a en tirer, c’est que, en designant
V
pari l’indice de^j c’est-a-dire l’exces du nombre de fois que cette
fraction, en devenant infinie, passe du positif au ndgatif sur le
nombre de fois qu’elle passe du negatif au positif, le nombre des
racines imaginaires de liquation U 4- iV = o dans lesquelles le
coefficient de i est positif est donne par la formule — •
Supposons ensuite que, en changeant x en x 4- fX, U 4- iV de-
de l’equation proposee dans lesquelles le coefficient de i est
superieur a X sera - ; la formule - x -- -- x ' donnera done, en
supposant X <C X', le nombre des racines ou le coefficient de i est
compris entre les deux limites X et XX La transformee ddduite de
l’equation U -f- iY = o par le changement de x en ix conduira
d’ailleurs de la mke manidre au nombre des racines dont la
partie reelle est dans un intervalle donntL Considerons encore
l’equation en y obtenue en faisant
et la droite passant par les points dont les affixes sont g et h.
L’indicc relalif a cette nouvelle transformde donnera le nombre
des racines de la proposee qui sont au-dessus ou au-dessous de
cette droite, et, si nous rempla^ons g et h par g-+- k et h-\-k,
de maniere a ddfinir une seconde droite parallele a la premiere,
la demi-difierence des indices relatifs aux deux transfornides
representera le nombre des racines comprises entre les deux
paralleles.
En dernier lieu, je remarquerai que, si 1 ’on suppose les quan-
tites b ,, b 2 , ..., b n loutes de m£me signe, on a
I = n ou I =— 7i,
selon qu’elles seront positives ou negatives. Dans les deux cas, la
fraction^ doit, par consequent, passer n fois par I’infini lorsque
la variable croit de —oo a +oo; ainsi l’dquation TJ = o a ndees-
sairement toutes ses racines rdelles. G’estdonc un nouvel exemple
qui s’ajoute, en AJgebre, a l’equation dont dependent les in^galilds
sdculaires du mouvement elliptique des plan&tes etqui a etdl’objet
du travail c^ldbre de notre confrere M. Borchardt. Je ne tenterai
point de suivre la voie cju’a ouverte l’illustre gdom<Hre en appli-
quantle thioreme de Sturm a 1 ’dquation U == o pour obtenir, sous
forme de sommes de carrds,les fonctions littdrales dont dependent
les conditions de rdalite des racines; mais je saisis l’occasion d’em-
nl rvtrPr nrmr 1 rl/imAnlrnr rliuianf/ivnonf la rrnP /ai ATI VHP.
M. Gascheau, intitule Application clu theoreme cle Sturm aux
transformees des equations binomes , t. VII, p. 126 ( voir aussi le
Cours d’Algebre saperieure de M. Serret, t. I, p. 1 83). J’intro-
duis, a cet efFet, la serie entiere des polynomes U,, U 2 , • • •, CJ«_ 1,
en posant
U*-f- i\/c — (sc — ajt+i — ibk+i) (x — a/ c+i — ib/ c + 2). . .(x — a n — ib n ),
et je remarque que la suite
U, U,, Us, .U„_,, 1
presente n variations pour x— —00 et 71 permanences pour
x — -\-cp. J’observe ensuite que trois fonctions consecutives
quelconques, par exemple U, U1, U 2 , sont liees par la relation
bo U — [61 (a7 — a 2 ) -+- b 2 (x — a, )] U, -+- bj [(x — tf 2 ) 2 -+- b\ ] U 2 = o.
Sous la condition admise a l’egard des quantites 6,, b 2 , .. ., on
voit done que, quand une fonction s’annule, la prec^denle et la
suivante sont de signes contraires; il en r^sulte que, en faisant
croitre la variable de — 00 a -h 00, des changements dans le nombre
des variations de la suite considdree ne peuventse produire qu’au-
tant que e’est la premiere fonction qui s’evanouit. Puisqu’on perd
n variations, il est done d^montrd que le polynome U passe n fois
par zero; en meme temps que nons voyons que, a I’^gard de U, la
fonction U t possede la propri^te caract^rislique de la derivee,
e’est-a-dire que le rapport — passe toujours, en s’evanouissant,
du negatif au positif. pour des valeurs croissantes de la variable.
SUR UNE EXTENSION DONNEE
A LA
THEORIE DES FRACTIONS CONTINUES
PAR M. TCHEBYCHEF.
Journal de Crelle , t. 88, 1879, p. 10-1 5 .
M. Tchebychef m’a fail pari, dans un entretien, d’un theoreme
arithmdtique qui m’a vivement interesse. 11 a dtabli, dans un Me¬
mo ire public en langue russe dans les Memoires de Saint-
Petersbourg et dont sans lui je n’aurais jamais eu connaissance,
cette proposition exlrdmemenl remarquable, qu’il existe une infi¬
nite de systemes de nombres entiers x et y tels que la fonction
lineaire
x — ay — 6,
oil a et b sont fleux conslantes quelconques, soit plus petite en
valeur absolue que —• C’est, comme vous voyez,le resultat funda¬
mental de la theorie des fractions continues, etendu a une expres¬
sion toute difldrente, el qui ouvre la voie a bien des recherches.
Dans une lettre adressee a M. Braschmann, et publiee dans le
Journal de Liouville, 2 0 serie, t. X, M/Tchebychef, appliquant
cette meme conception a l’Algebre, considere l’expression
x-uy-v,
ou U et V sont deux fonctions quelconques d’une variable x, et
le degre soit le nombre negatif le plus grand possible en valeur
absolue. Les recherches de I’illustre geometre sur la question sonl
extremement belles ; a bien des titres elles sont pour moi du plus
grand interet, et voici une remarque a laquelle elles m’ont amenc.
Me placant d’abord au point de vue arithmetique, je suppose que
a soit une quantite positive; les valeurs entieres de x et y s’ob-
tiennent alors comme il suit. Soient —, deux reduites consecu-
n n
tives du d^veloppement en fraction continue de a; posons
nb — N -+- to, n'b = N'-+- to',
en designant par N et N' des nombres entiers, par u> et to' des
quantites inferieures en valeur absolue a ^ • Soit encore, pour
abreger,
e = mn! — ml n = ± i;
on aura
zx = m.N'— m.'N, zy — nN'—/i'N.
Ces formules donnent en efl’et
z (x — ay ) = (m
— (m
r=.zb-
— an) 'S' — {ml — an') IN
— an) (n 1 b — to') — ( m' — an') ( nb
-t- u>( m' — an') — to' (m — an),
)
de sorte qu’il vient ddja
z(x — ay — b) = tn{m '— an') — to'(/n — an).
Employons maintenant la quantite X qu’on nomme c/uoticnl
complet dans la theorie des fractions continues et qui resulle de
J’egalite
ml X m
a — ,-;
tt A -f™ Yl
on aura
m
zk . . e
-tt- > m — an =--
i A —f- tt tt A —h ti
et, par suite,
i (in '— an') — to'(m — an) — — e ^3 ^ >
flA + ft
1 X 1
2 n’X H- n
Mais cette expression d^croit avec \ sous la condition qui
est ici remplie ; son maximum a done lieu pour \ = i, el de la re-
sulte qu’on peut poser
_ a _ b= 0
X y a y n! -|- n ’
0 etant compris entre — i et -t- i . Ce point <$tabli, il suffil de re-
marquer qu’ayanl
zy — «N'— ri N = n( n'b — «') — n' ( nb — w),
c’est-ii-dire
■,y = con'— co'/i,
I’entier y est renferme entre les limites
n' -+- n n'-f- n
ce qui demontre le beau theoreme d^couverl par M. Tcliebychef.
Les expressions de x et y conduisent facilemenl a une conse¬
quence qu’il n’esl pas inutile de remarquer. Supposons qu’on ait
g — ah — 6 = o, g el h < 5 tant entiers; je dis qu’ii partir d’une cer-
taine rdduite du d< 3 v<doppeinent de a en fraction continue, etpour
Louies celles qui suivenl, on Lrouvera constamment x = g,y — h.
La theorie des fractions continues donnanl en elfet
_ m 0 _ m' 0'
~ n an 1 ' ~ n! an!'
oil 9 et 9 ; d^signent des quanlitds moindres que l’unile, on obtienl,
en substituant dans la valeur 6 = g — ah,
. . 0/1 ,, 0 h
* n! ‘ n
Yous voyez done que, quand n! d^passera ih, nous aurons
ea? = mlN — m IN, e y — n — n in
on en tire sur-le-champ
x = g, y = h -
Si Ton suppose b = a-, cette remarque donm
pour ia determination des diviseurs du second deg
algebriques a coefficients entiers, lorsque le coeff
haute puissance de l’inconnue est l’unite.
Enfm, en passant de 1 ’A.rithmeLique a 1 ’A.lgebr
[’expression X — UY — V, ou U et V sont des fo:
ques dont la partie infinie estdela forme ~ H - ^ '
sous une forme toute semblable les polynomes X <
l’approximation la plus grande de la fonction V
X— UY. Designons encore par ~ deux r6du
du developpement de U en fraction continue alg
toujours e = MY — M 7 N =dr i, et repr^sentons
du developpement d’une fonction f{x) suivant le
cendantes de la variable par [/(#)], on aura
eX= M[N'V] - M'[NV"J,
eY = N[N'V] - N'[NV].
Soit, de plus, ^ la reduite qui suit ~ et posons s
e'X' = M'[N" V] — M"[N'V],
e'Y'= N'[N"VJ — N"[N'VJ.
En observant que e 7 = — s, on en deduira
e(X' - X) = (M"— M) [N'V] — M'[NV] — IV
s(Y' — Y) = ( N"— N) [N'V] -+• N'[NV] — P
Mais la loi de formation des r^duites donnant
par q le quotient incomplet,
M" = grM'-f- M,
N"= gN'+N,
en posant
O) = [ N' V] -h [ NV J — f N" V ].
Cette form ale se simplify, si Ton remplace dans le dernier terme
Y par sa valeur, et devient dvidemment
w = ^7 [ JN' V J — f^N'V].
De la se tire Texpression des polynomes X et Y sous forme
de series, telle que I’a donnde M. Tchebychef dans sa lettre a
M. Brasclimann, et je remplis I’intention qu’a bien voulu m’ex-
primer L’illustre gdometrc en vous communiquant ce qul m’a did
suggere par l’dtude de son beau travail.
La consideration de la forme
f=(x-ay — bs)*+-
ouS et S sont des quantilds variables essentiellemenl positives,
qui donne une demonstration facile des rdsullais ddcouverts par
Diriclilet sur les minima de la fonction lindaire x ay bz , con¬
duit dgalement a la proposition de M. Tchebycliel. Soil d’abord
8—^2^ I'-tu' 1 , de sorte que l 1 invariant D ait pour expression
£3 m 3 j j e rappelle qu’un minimum de /, pour des valeurs enticres
des i’nddtermindes, ayanl pour limite supdrieure le double de Tin-
variant, oil a, quelles que soient les quanlites positives de i el m,
{x — ay — bz)*-+- ^
tu
et par consequent
(x — ay — bz)* <
v 5
tu
-ay — b z
V *7 r z
puis
< i ^ 7 , z* < U
Cela pose, je remarque en premier lieu que, si la limite supeneure
de s est infdrieure a Vunitd, on aura z = o, etles minima oblenus
en faisant croitre t inddfmiment seront ceux de la fonction lindane
x — ay que donne le ddveloppement de a en fraction continue.
33.
Je me fonderai pour cela sur la remarque suivante : Con-
siderant une forme definie a coefficients variables quelconques
f(x,y, z) = ax- -f- a!y--\- a!'z--\- .. .; je suppose que, pour trois
systemes de valeurs infiniment voisines de ces coefficients, les
minima soient
f(m,n,p ), f(m',n’.p'), f{m",n",p")\
jedis que le determinant
m m! ni
A = n n' n"
P P' P" I
sera zero ou l’unite.
Soit en effet D 1 ’invariant de /, AX 2 -b k'Y- — A"Z- la
transformee qui en resulte en faisant
x = mX + m'Y + m" Z,
y = n X -4- n Y n' Z ,
z = pX + />'Y+ />"Z,
et dont l’invariant sera, par consequent, A 2 D. Comme, pour Louie
forme definie, le produit des coefficients des carres des variables
surpasse l’invariant, nous aurons A A'A" > A 2 D, ou bien
f(m, n,p)f{m', n',p')f(m!\ n\p") > A 2 D.
Mais on pent poser, en n^gligeant les quantity infiniment petiles,
/( m, n, p ) < D ^2, /( in’, n', p') < D ^2, /( m", n", p") < D
et par consequent
/(m, n,p)f(m', n',p')f(m", n", p") < 2D.
Nous en tirons la condition A 2 < 2, de sorte qu’on a bien A = o
ou A = dz 1.
Cela etablietrevenantalaforme /'= (x — ay —6s) 2 - 4 -— —-il,
je consid&re / et h comme fabscisse et l’ordonnde d’un point rap-
porle dans un plan a des axes rectangulaires, de sorte qu’a un sys-
telles aires limitees par la partie positive de Paxe des abscisses
s’otl’rent d’abord lorsqu’en faisant varier t, on suppose u assez
petit pour avoir z = o, el a deux aires conligues appartiennent
deux minima successifs de x — ay, on bien deux rdduites consd-
cutives ~ de a. Vous voyez qu’en un point de la ligne de sepa¬
ration de ces deux aires voisines, Les valeurs des quantites t el u
presentent cetle circonstance qu’une variation inliniment pelite
donne les minima correspondant aux deux syslemes /n, /i, o el
m', n 1 , o. Suivons cette ligne jusqu’a son extremity ou elle aboutil
a une nouvelle aire placee au-dessus des prdcedenles el a laquelle
appartiennent les nombres /n", n\ p". Nous introduirons, en sup-
posant p" different de zdro, la condition que cetle aire ne fasse
plus partie de la premiere serie ou la troisieme indclerminee esL
toujours nulle. Mais il enrdsulte que le determinant
A =
ni m' m"
a n' n"
o o p"
ayant pour valeur dz//, esllui-meme alors different de zero ; or on
a vu dans ce cas qiPil esl en valeur absolue dgal a P unite, nous de-
montrons done ainsi que p" = zt i., ce qui etablit bien Pexistenoo
du minimum decouvert par M. Tchebyclief. Enlin et comme con¬
sequence de cette seconde mdthode, la limitation prdcedemmenl
obtenue x — ay — b <C — se trouve remplacde par celle-ci :
x — ay —• b <C \/y 011 le coefficient numerique esl sen¬
sible men t plus petit que
Paris, le 'vi mars 187^.
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